Лекции в формате PDF (1124094), страница 7
Текст из файла (страница 7)
Äåðèâàöèîííûå îðìóëû äîêàçàíû.Âåðíåìñÿ ê äîêàçàòåëüñòâó òåîðåìû. Ïóñòü ξ~ âåêòîðíîå ïîëå âäîëüêðèâîé íà ïîâåðõíîñòè (êàñàòåëüíîå ê ïîâåðõíîñòè). Åãî ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå ξ~ = ξ i~rui . Ïðîäèåðåíöèðóåì ýòî âûðàæåíèå âäîëü êðèâîé γâ îáúåìëþùåì åâêëèäîâîì ïðîñòðàíñòâådξ~dξ id~r idξ i∂~r i duj=~rui + ξ i u =~rui + ξ i uj=dtdtdtdt∂u dtruèñïîëüçóåì äåðèâàöèîííûå îðìóëû äëÿ ∂~∂uji== ~rui uj dujdξ i~rui + ξ i Γkij ~ruk + bij ~n.dtdtÑïðîåêòèðóåì òåïåðü ïîëó÷åííîå âûðàæåíèå íà êàñàòåëüíóþ ïëîñêîñòüê ïîâåðõíîñòè.
Äëÿ ýòîãî äîñòàòî÷íî îòáðîñèòü ÷ëåíû, ñîäåðæàùèå ~n (ïîñêîëüêó âåêòîð ~n îðòîãîíàëåí êàñàòåëüíîé ïëîñêîñòè, à âñå îñòàëüíûå âåêòîðû ~ruk , ó÷àñòâóþùèå â ýòîì âûðàæåíèè ëåæàò â êàñàòåëüíîé ïëîñêîñòè).Ïîëó÷àåì!dξ~dξ idujpr=~rui + Γkij ξ i~r k =dtdtdt uâ ïåðâîì ñëàãàåìîì èçìåíèì èíäåêñ ñóììèðîâàíèÿi íà k è ïðèâåäåì ïîäîáíûå ñëàãàåìûå=dξ kduj+ Γkij ξ idtdt~ruk = ∇γ ξ,÷òî è òðåáîâàëîñü. (Çäåñü âûðàæåíèå â ñêîáêàõ ñîâïàäàåò ñî ñòàíäàðòíîéîðìóëîé äëÿ k -îé êîîðäèíàòû êîâàðèàíòíîé ïðîèçâîäíîé ïîëÿ ξ âäîëüêðèâîé γ ). Òåîðåìà äîêàçàíà.Ëåêöèÿ 6.30Ïàðàëëåëüíûé ïåðåíîñ.Ïðåæäå ÷åì äàòü òî÷íîå îïðåäåëåíèå îïåðàöèè ïàðàëëåëüíîãî ïåðåíîñà âåêòîðà íà ðèìàíîâîì ìíîãîîáðàçèè, îáñóäèì ñàìó èäåþ ïàðàëëåëüíîãîïåðåíåñåíèÿ.
Ïðåäïîëîæèì, ÷òî íàì äàíû äâà êàñàòåëüíûõ âåêòîðà íà ãëàäêîì ìíîãîîáðàçèè, ïðèëîæåííûå â ðàçíûõ òî÷êàõ (ò.å. ëåæàùèå â ðàçíûõêàñàòåëüíûõ ïðîñòðàíñòâà). Ìîæíî ëè â êàêîì-òî ñìûñëå ãîâîðèòü îá èõðàâåíñòâå?  åâêëèäîâîì ïðîñòðàíñòâå ïðîáëåì ñ ïîëîæèòåëüíûì îòâåòîìíå âîçíèêàåò: äâà âåêòîðà ðàâíû, åñëè îíè ïàðàëëåëüíû, íàïðàâëåíû â îäíó ñòîðîíó è èõ äëèíû ñîâïàäàþò. Íà ïðîèçâîëüíîì ìíîãîîáðàçèè òàêîåîïðåäåëåíèå íå ðàáîòàåò. Òàì, ÷òîáû ñðàâíèòü äâà âåêòîðà íóæíî ïðåæäåêàêèì-òî îáðàçîì ïðåæäå "ñîâìåñòèòü íà÷àëà ýòèõ âåêòîðîâ", ò.å. ñäåëàòüòàê, ÷òîáû îíè ëåæàëè â îäíîì è òîì æå êàñàòåëüíîì ïðîñòðàíñòâå.
Íàïðèìåð, äëÿ ýòîãî ìîæíî âçÿòü îäèí èç âåêòîðîâ è ïåðåíåñòè åãî â êàñàòåëüíîåïðîñòðàíñòâî äðóãîãî.Ëåãêî ñîîáðàçèòü, ÷òî, âîîáùå ãîâîðÿ, íåëüçÿ ïðåäëîæèòü óíèâåðñàëüíîé ïðîöåäóðû òàêîãî ïåðåíåñåíèÿ. Ïðîäåìîíñòðèðóåì ýòî íà ïðèìåðå äâóìåðíîé ñåðû. àññìîòðèì ïðîèçâîëüíûé êàñàòåëüíûé âåêòîð ê ñåðå èïðåäïîëîæèì, ÷òî ó íàñ èìååòñÿ íåêîòîðûé ñïîñîá (îäíîçíà÷íûé) ïåðåíåñåíèÿ ýòîãî âåêòîðà â ëþáóþ òî÷êó ñåðû.
Åñòåñòâåííî ìû õîòèì, ÷òîáû ðåçóëüòàò ïàðàëëåëüíîãî ïåðåíîñà ãëàäêî çàâèñåë îò òî÷êè, â êîòîðóþìû ïåðåíîñèì. Åùå îäíî åñòåñòâåííîå òðåáîâàíèå çàêëþ÷àåòñÿ â òîì, ÷òîáû ïðè ïåðåíåñåíèè íåíóëåâîé âåêòîð íå îáðàùàëñÿ â íóëü (è íàîáîðîò). ðåçóëüòàòå, åñëè áû òàêàÿ ïðîöåäóðà îêàçàëàñü âîçìîæíîé, ìû ïîëó÷èëè áû íà ìíîãîîáðàçèè ãëàäêîå âåêòîðíîå ïîëå, íèãäå íå îáðàùàþùååñÿ âíóëü. Îäíàêî, ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî íà ñåðå òàêîãî âåêòîðíîãî ïîëÿ íå ñóùåñòâóåò (íåëüçÿ ãëàäêî ïðè÷åñàòü åæà). Ýòî ïðèìåð ïîêàçûâàåò, ÷òî äëÿíåêîòîðûõ ìíîãîîáðàçèé íåâîçìîæíî îïðåäåëèòü óíèâåðñàëüíóþ îïåðàöèþïàðàëëåëüíîãî ïåðåíîñà.Òåì íå ìåíåå ìîæíî âûéòè èç çàòðóäíåíèÿ âîñïîëüçîâàâøèñü ñëåäóþùèì ñîîáðàæåíèåì.
Îïåðàöèþ ïàðàëëåëüíîãî ïåðåíåñåíèÿ âåêòîðà óäîáíîïðåäñòàâëÿòü ñåáå òàê. Ìû áåðåì âåêòîð ξ0 (ïðèëîæåííûé â òî÷êå P ∈ M )è äâèæåìñÿ ïî ìíîãîîáðàçèþ M â òî÷êó Q, ñëåäÿ çà òåì, ÷òîáû ïåðåíîñèìûé êàñàòåëüíûé âåêòîð íå ìåíÿëñÿ. Òîò âåêòîð ξ1 , êîòîðûé ìû ïîëó÷èìâ òî÷êå Q, ìû íàçîâåì ðåçóëüòàòîì ïàðàëëåëüíîãî ïåðåíåñåíèÿ âåêòîðà ξ0èç òî÷êè P â òî÷êó Q.Ïðè òàêîì ïîäõîäå, ñëåäóåò îáðàòèòü âíèìàíèå íà äâà îáñòîÿòåëüñòâà.Âî-ïåðâûõ, äâèãàÿñü èç P â Q, ìû èäåì ïî íåêîòîðîìó ïóòè (ò.å. âäîëü êðèâîé). Âî-âòîðûõ, ìû òðåáóåì, ÷òîáû â ïðîöåññå äâèæåíèÿ ïåðåíîñèìûé âåêòîð íå ìåíÿëñÿ. ×òî ýòî îçíà÷àåò? Åñòåñòâåííî ïðîñòî ïîòðåáîâàòü, ÷òîáûåãî ïðîèçâîäíàÿ âäîëü êðèâîé áûëà ðàâíà íóëþ.
Êàêàÿ ïðîèçâîäíàÿ? Êîíå÷íî, êîâàðèàíòíàÿ, ïîñêîëüêó èìåííî êîâàðèàíòíîå äèåðåíöèðîâàíèå,êàê ìû óæå îáñóæäàëè, ÿâëÿåòñÿ íàèáîëåå åñòåñòâåííûì íà ìíîãîîáðàçèè.Ñîðìóëèðóåì òåïåðü îêîí÷àòåëüíî ýòó èäåþ â âèäå ñòðîãîãî îïðåäåëåíèÿ.31Îïðåäåëåíèå Âåêòîðíîå ïîëå ξ íàçûâàåòñÿ ïàðàëëåëüíûì âäîëü êðèâîéγ(t), åñëè åãî êîâàðèàíòíàÿ ïðîèçâîäíàÿ âäîëü γ ðàâíà íóëþ∇γ ξ = 0.Ýòî óðàâíåíèå íàçûâàåòñÿ óðàâíåíèåì ïàðàëëåëüíîãî ïåðåíîñà.
Çàïèøåì ýòî óðàâíåíèå â êîîðäèíàòàõ. Ïóñòü x1 , . . . , xn ëîêàëüíàÿ ñèñòåìà~ = (ξ 1 (t), . . . , ξ n (t)). Òîãäàêîîðäèíàò, γ(t) = (x1 (t), . . . , xn (t)) è ξ(t)dξ idxk+ Γijk ξ j=0dtdtÏðîàíàëèçèðóåì ýòî óðàâíåíèå. Ýòî ëèíåéíîå äèåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå ïåðâîãî ïîðÿäêà â nìåðíîì ïðîñòðàíñòâå (íåèçâåñòíîé ÿâëÿåòñÿ~ = (ξ 1 (t), . . . , ξ n (t))). Äåéñòâèòåëüíî, ýòî óðàâíåíèå ìîâåêòîð-óíêöèÿ ξ(t)æåò áûòü ïåðåïèñàíî â âåêòîðíîì âèäådξ~= A(t)ξ,dtdxkãäå A(t) êâàäðàòíàÿ ìàòðèöà ñ êîýèöèåíòàìè Aij (t) = Γijk (x(t)),dtãëàäêî çàâèñÿùèìè îò t. Èç òåîðèè äèåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé èçâåñòíî,÷òî äëÿ ëþáîãî íà÷àëüíîãî âåêòîðà ξ~0 ñóùåñòâóåò è ïðèòîì åäèíñòâåííîå~ òàêîå, ÷òî ξ(t~ 0 ) = ξ~0 . Ïðè ýòîì ýòî ðåøåíèåðåøåíèå ýòîãî óðàâíåíèÿ ξ(t)îïðåäåëåíî ïðè âñåõ t, äëÿ êîòîðûõ óðàâíåíèå èìååò ñìûñë.
Äðóãèìè ñëîâàìè, åñëè çàäàí íà÷àëüíûé âåêòîð, òî ñóùåñòâóåò è ïðèòîì åäèíñòâåííîåïàðàëëåëüíîå âåêòîðíîå ïîëå, îïðåäåëåííîå íà âñåé êðèâîé è âêëþ÷àþùååâ ñåáÿ ýòîò íà÷àëüíûé âåêòîð.Èòàê, ÷òîáû ïàðàëëåëüíî ïåðåíåñòè âåêòîð ξ~0 èç òî÷êè P = γ(t0 ) â òî÷êóQ = γ(t1 ) âäîëü êðèâîé γ(t), ìû äîëæíû ðàññìîòðåòü ïàðàëëåëüíîå âäîëü~ ñ íà÷àëüíûì óñëîâèåì ξ(t~ 0 ) = ξ~0 . Òîãäà ðåçóëüòàòîìγ âåêòîðíîå ïîëå ξ(t)ïàðàëëåëüíîãî ïåðåíåñåíèÿ âåêòîðà ξ~0 èç òî÷êè P â òî÷êó Q âäîëü γ áóäåò~ 1 ). Ýòîò âåêòîð âñåãäà îïðåäåëåí è ïðèòîì îäíîçíà÷íî.âåêòîð ξ~1 = ξ(tÎòìåòèì òàêæå, ÷òî îïåðàöèÿ ïàðàëëåëüíîãî ïåðåíåñåíèÿ (åñëè êðèâàÿè òî÷êè íà íåé èêñèðîâàíû) ÿâëÿåòñÿ ëèíåéíûì îïåðàòîðîì, ò.å.
ñóììàâåêòîðîâ ïåðåõîäèò â ñóììà, à ïðîèçâåäåíèå íà ÷èñëî â ïðîèçâåäåíèå íà òîæå ÷èñëî). Ýòî ñðàçó ñëåäóåò èç ëèíåéíîñòè ñîîòâåòñòâóþùåãî äèåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ. Îïåðàòîð ïàðàëëåëüíîãî ïåðåíåñåíèÿ ÿâëÿåòñÿ ïðèýòîì îïåðàòîðîì Êîøè, îáñóæäàâøåãîñÿ â êóðñå äèåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé.Åùå îäíèì âàæíûì îáñòîÿòåëüñòâîì ÿâëÿåòñÿ òî, ÷òî óñëîâèå ïàðàëëåëüíîñòè (è, ñëåäîâàòåëüíî, ðåçóëüòàò ïàðàëëåëüíîãî ïåðåíåñåíèÿ) íå çàâèñèò îò âûáîðà ïàðàìåòðèçàöèè íà êðèâîé.
Äåéñòâèòåëüíî, åñëè t = t(τ ) ãëàäêàÿ çàìåíà ïàðàìåòðà íà êðèâîé γ , òî ikkdξ idξdtij dxij dx+ Γjk ξ=+ Γjk ξ=0dτdτdtdt dτ32Ïîäâåäåì íåêîòîðûå èòîãè. Ïðåäëîæåíèå Ïóñòü P è Q òî÷êè, ñîåäèíåííûå ãëàäêîé êðèâîé γ . Òîãäà1) äëÿ ëþáîãî êàñàòåëüíîãî âåêòîðà ξ~0 ∈ TP M îäíîçíà÷íî îïðåäåëåíêàñàòåëüíûé âåêòîð ξ~1 ∈ TQ M , ÿâëÿþùèéñÿ ðåçóëüòàòîì ïàðàëëåëüíîãîïåðåíåñåíèÿ âåêòîðà ξ~0 èç òî÷êè P â òî÷êó Q âäîëü êðèâîé γ ;2) Ïàðàëëåëüíûé ïåðåíîñ èç òî÷êè P â òî÷êó Q âäîëü êðèâîé γ ÿâëÿåòñÿëèíåéíûì îïåðàòîðîì, äåéñòâóþùèì èç êàñàòåëüíîãî ïðîñòðàíñòâà TP M âêàñàòåëüíîå ïðîñòðàíñòâî TQ M ;3) Ïàðàëëåëüíûé ïåðåíîñ íå çàâèñèò îò ïàðàìåòðèçàöèè íà êðèâîé γ .Ýòè ñâîéñòâà ïàðàëëåëüíîãî ïåðåíîñà ÿâëÿþòñÿ îáùèìè è ñïðàâåäëèâûäëÿ ëþáîé ñâÿçíîñòè ∇.
Íàì íà ñàìîì äåëå èíòåðåñåí ãëàâíûì îáðàçîìñëó÷àé ñèììåòðè÷åñêîé ðèìàíîâîé ñâÿçíîñòè, â êîòîðîì ïàðàëëåëüíûé ïåðåíîñ îáëàäàåò íåêîòîðûìè äîïîëíèòåëüíûìè ñâîéñòâàìè. Ïðîäîëæèì èõèçó÷åíèå.1. àññìîòðèì åâêëèäîâî ïðîñòðàíñòâî Rn ñ åâêëèäîâîé ñâÿçíîñòüþ. äåêàðòîâûõ êîîðäèíàòàõ x1 , . . . , xn ñèìâîëû Êðèñòîåëÿ îáðàùàþòñÿâ íóëü, è óðàâíåíèå ïàðàëëåëüíîãî ïåðåíîñà âäîëü ïðîèçâîëüíîé ãëàäêîéêðèâîé γ(t) ïðèîáðåòàåò î÷åíü ïðîñòîé âèädξ k= 0.dtÒàêèì îáðàçîì, ïîëå ÿâëÿåòñÿ ïàðàëëåëüíûì òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäàåãî êîîðäèíàòû ïîñòîÿííû (â äåêàðòîâîé ñèñòåìå êîîðäèíàò). Ïàðàëëåëüíûé ïåðåíîñ â ýòîì ñëó÷àå ñîâïàäàåò ñ îáû÷íûì (è, â ÷àñòíîñòè, íå çàâèñèòîò êðèâîé).2.
Åñëè ñâÿçíîñòü ðèìàíîâà, òî ïàðàëëåëüíûé ïåðåíîñ íå ìåíÿåòñÿ ïðèèçîìåòðèÿõ ìíîãîîáðàçèÿ. Äåéñòâèòåëüíî, ïðè èçîìåòðèÿõ ìåòðèêà ñîõðàíÿåòñÿ. Ñëåäîâàòåëüíî, ñîõðàíÿþòñÿ è ñèìâîëû Êðèñòîåëÿ, è óðàâíåíèåïàðàëëåëüíîãî ïåðåíîñà. Äðóãèìè ñëîâàìè, åñëèf : M1 → M2èçîìåòðèÿ ìåæäó äâóìÿ ðèìàíîâûìè ìíîãîîáðàçèÿìè (äèåîìîðèçì,ñîõðàíÿþùèé äëèíû êðèâûõ), è ξ ïàðàëëåëüíîå âäîëü êðèâîé γ ⊂ M1âåêòîðíîå ïîëå, òî åãî îáðàç df (ξ) ÿâëÿåòñÿ ïàðàëëåëüíûì âåêòîðíûì ïîëåìâäîëü êðèâîé f (γ) ⊂ M2 .Ìû ìîæåì, íàïðèìåð, ïðèìåíèòü ýòî íàáëþäåíèå â ñëåäóþùåé ñèòóàöèè.
Ïóñòü íàì íóæíî ïàðàëëåëüíî ïåðåíåñòè âåêòîð âäîëü êðèâîé íàêîíóñå. Äëÿ ýòîãî äîñòàòî÷íî èçîìåòðè÷íî ðàçâåðíóòü êîíóñ íà ïëîñêîñòü,ñäåëàòü ïàðàëëåëüíûé ïåðåíîñ íà ïëîñêîñòè, à çàòåì âíîâü ñâåðíóòü èçïëîñêîñòè êîíóñ è ïîñìîòðåòü íà ïîëó÷èâøèéñÿ ðåçóëüòàò.Çàäà÷à Íà êàêîé óãîë ïîâåðíåòñÿ âåêòîð ïðè åãî ïàðàëëåëüíîì îáíåñåíèè âîêðóã êðóãîâîãî êîíóñà x2 + y 2 = z 2 ïî åãî ïàðàëëåëè?333. Ïóñòü äâå ïîâåðõíîñòè V1 è V2 , ëåæàùèå â òðåõìåðíîì ïðîñòðàíñòâå,êàñàþòñÿ äðóã äðóãà âäîëü êðèâîé γ ⊂ V1 ∩V2 . Òîãäà ïàðàëëåëüíûé ïåðåíîñâåêòîðà ïî ïîâåðõíîñòè âäîëü êðèâîé γ íå çàâèñèò îò ïîâåðõíîñòè. Äðóãèìè ñëîâàìè, åñëè âåêòîðíîå ïîëå ξ ïàðàëëåëüíî âäîëü γ íà ïîâåðõíîñòè V1 ,òî îíî ÿâëÿåòñÿ ïàðàëëåëüíûì âäîëü γ è íà ïîâåðõíîñòè V2 è íàîáîðîò (îòìåòèì, ÷òî ïðè ñäåëàííûõ ïðåäïîëîæåíèÿõ ïîëå ξ îäíîâðåìåííî êàñàåòñÿîáåèõ ïîâåðõíîñòåé, ïîýòîìó èìååò ñìûñë ãîâîðèòü î åãî ïàðàëëåëüíîñòè íàîáåèõ ïîâåðõíîñòÿõ).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
