Лекции в формате PDF (1124094), страница 11
Текст из файла (страница 11)
Ñ åãî ïîìîùüþ ìû ñðàçó ìîæåì îòâåòèòü íà âîïðîñ î ëîêàëüíîéåâêëèäîâîñòè ìåòðèêè. Äîñòàòî÷íî ïîäñ÷èòàòü åãî è ïîñìîòðåòü íîëüèëè íåò. Ïðè ýòîì âàæíûì ÿâëÿåòñÿ òî îáñòîÿòåëüñòâî, ÷òî ïîäñ÷åò ìûìîæåì ïðîâîäèòü âñèñòåìå êîîðäèíàò (íå îáÿçàòåëüíî åâêëèäîâîé),ïîñêîëüêó àêò îáðàùåíèÿ òåíçîðà â íóëü íå çàâèñèò îò âûáîðà ñèñòåìûêîîðäèíàò.ëþáîé49Ëåêöèÿ 9.Èíâàðèàíòíîå îïðåäåëåíèå òåíçîðà êðèâèçíû. Àëãåáðàè÷åñêèåñâîéñòâà òåíçîðà êðèâèçíû.Ïðåæäå ÷åì äàòü èíâàðèàíòíîå îïðåäåëåíèå òåíçîðà êðèâèçíû, ìû ââåäåì è îáñóäèì âàæíîå ïîíÿòèå êîììóòàòîðà âåêòîðíûõ ïîëåé.Ïóñòü ∇ ñèììåòðè÷íàÿ ñâÿçíîñòü.
Îïðåäåëåíèå Êîììóòàòîðîì âåêòîðíûõ ïîëåé ξ è η íàçûâàåòñÿ âåêòîðíîå ïîëå[ξ, η] = ∇ξ η − ∇η ξ.Ëåììà Íà ñàìîì äåëå êîììóòàòîð âåêòîðíûõ ïîëåé íå çàâèñèò îò âûáîðàñèììåòðè÷íîé ñâÿçíîñòè ∇. Äîêàçàòåëüñòâî Ïðîâåäåì ÿâíûé ïîäñ÷åò.[ξ, η]i = ξ ji∂η iik jj ∂ξ+Γηξ−η− Γikj ξ k η j =kj∂xj∂xjξji∂η ij ∂ξ−η∂xj∂xj×ëåíû, ñîäåðæàùèå ñèìâîëû Êðèñòîåëÿ ñîêðàòèëèñü â ñèëó èõ ñèììåòðèè ïî íèæíèì èíäåêñàì k, j . Êîììóòàòîð âåêòîðíûõ ïîëåé, òàêèì îáðàçîì, îò ñâÿçíîñòè íå çàâèñèò è îðìóëó â ðàìêå ìîæíî ñ÷èòàòü åãî êîîðäèíàòíûì îïðåäåëåíèåì.Ìîæíî äàòü åùå îäíî åñòåñòâåííîå îïðåäåëåíèå êîììóòàòîðà âåêòîðíûõïîëåé, èñïîëüçóÿ ïðåäñòàâëåíèå âåêòîðíûõ ïîëåé êàê îïåðàòîðîâ äèåðåíöèðîâàíèÿ.
Íàïîìíèì, ÷òî êàæäîå âåêòîðíîå ïîëå ξ ìîæíî ïîíèìàòüêàê îïåðàòîð äèåðåíöèðîâàíèÿ, äåéñòâóþùèé íà ãëàäêèå óíêöèè ïî∂fîðìóëå ξ(f ) = ξ i i = (÷òî òî æå ñàìîå = ∇ξ f ). Òîãäà êîììóòàòîð [ξ, η]∂x ýòî îïåðàòîð äèåðåíöèðîâàíèÿ, äåéñòâóþùèé íà óíêöèè òàê[ξ, η](f ) = ξ(η(f )) − η(ξ(f ))Äåéñòâèòåëüíî,ξ(η(f )) − η(ξ(f )) = ξ i=∂∂xi∂f∂∂fηj j − ηi i ξ j j =∂x∂x∂x∂η j∂ξ j ∂f∂ 2f∂2fξ i i − ηi i+ ξ i ηj i j − ηi ξ j i j =j∂x∂x ∂x∂x ∂x∂x ∂xjj∂η∂ξ∂f= ξ i i − ηi i= [ξ, η](f )∂x∂x ∂xjÎñíîâíûå ñâîéñòâà êîììóòàòîðà).Ïðåäëîæåíèå (501) êîñîñèììåòðè÷íîñòü[ξ, η] = −[η, ξ];2) ëèíåéíîñòü íàä R;3) ïðàâèëî Ëåéáíèöà= f [ξ, η] + ξ(f )η,[f ξ, η] = f [ξ, η] − η(f )ξ;4) òîæäåñòâî ßêîáè[[ξ, η], ζ] + [[η, ζ], ξ] + [[ζ, ξ], η].5) äëÿ ëþáîé ëîêàëüíîé ñèñòåìû êîîðäèíàò (x1 , . .
. , xn ) áàçèñíûå âåê∂∂è ej =êîììóòèðóþò, ò.å.òîðíûå ïîëÿ ei =i∂x∂xj[ei , ej ] = 0Äîêàçàòåëüñòâî Ïåðâûå äâà óòâåðæäåíèÿ î÷åâèäíû. Òðåòüå è ÷åòâåðòîåëåãêî ñëåäóþò èç ïîñëåäíåãî îïðåäåëåíèÿ êîììóòàòîðà êàê îïåðàòîðà äèåðåíöèðîâàíèÿ.. Ïÿòîåñâîéñòâî òîæå î÷åâèäíî, ïîñêîëüêó â ÿâíîé îðìóëå äëÿ êîììóòàòîðà (âëîêàëüíûõ êîîðäèíàòàõ) ó÷àñòâóþò ÷àñòíûå ïðîèçâîäíûå êîîðäèíàò âåêòîðíûõ ïîëåé.  äàííîì ñëó÷àå îíè îáðàùàþòñÿ â íóëü, ïîñêîëüêó êîîðäèíàòû áàçèñíûõ âåêòîðíûõ ïîëåé ïîñòîÿííû (ëèáî 0, ëèáî 1).iÂåðíåìñÿ òåïåðü ê òåíçîðó êðèâèçíû R = {Rq,kl}.
Åãî ìîæíî ðàññìîòðåòü êàê ïîëèëèíåéíîå îòîáðàæåíèå, êîòîðîå òðåì âåêòîðíûì ïîëÿì X, Y, Zñòàâèò â ñîîòâåòñòâèå íîâîå âåêòîðíîå ïîëå R(X, Y )Z ñî ñëåäóþùèìè êîîðäèíàòàìèi(R(X, Y )Z)i = Rq,klZ qX kY l(Îáÿçàòåëüíî ïðîâåðèòü ýòî ñàìîñòîÿòåëüíî)×òî ýòî çà âåêòîðíîå ïîëå? Êàê ìîæíî îïðåäåëèòü åãî áåñêîîðäèíàòíûìñïîñîáîì? Òåîðåìà.(èíâàðèàíòíîå îïðåäåëåíèå òåíçîðà êðèâèçíû)R(X, Y )Z = ∇X ∇Y Z − ∇Y ∇X Z − ∇[X,Y ] ZÄîêàçàòåëüñòâî Îáîçíà÷èì ïðàâóþ ÷àñòü ýòîãî ðàâåíñòâà ÷åðåç R̃(X, Y )Z .Ïîêàæåì, ÷òî R̃, ðàññìàòðèâàåìîå êàê îòîáðàæåíèå, ñîïîñòàâëÿþùåå òðåìâåêòîðíûì ïîëÿì íîâîå âåêòîðíîå ïîëå, ÿâëÿåòñÿ ïîëèëèíåéíûì íàä êîëüöîì ãëàäêèõ óíêöèé. Äðóãèìè ñëîâàìè ïîêàæåì, ÷òî åñëè X = X k ek ,Y = Y l el , Z = Z q eq , òîR̃(X, Y )Z = X k Y l Z q R̃(ek , el )eq51∂ áàçèñíûå âåêòîðíûå ïîëÿ, îòâå÷àþùèå íåêîòîðîé ëîêàëüíîé∂xiñèñòåìå êîîðäèíàò (x1 , . .
. , xn ). Ýòî óòâåðæäåíèå áóäåò â ÷àñòíîñòè îçíà÷àòü, ÷òî òåîðåìó äîñòàòî÷íî äîêàçàòü òîëüêî äëÿ áàçèñíûõ âåêòîðíûõ ïîëåé.Ïîñêîëüêó ïîëèëèíåéíîñòü íàä R èìååòñÿ, òî äîñòàòî÷íî äîêàçàòü ñëåäóþùóþ ëåììó. Ëåììà Ïóñòü f ïðîèçâîëüíàÿ ãëàäêàÿ óíêöèÿ. Òîãäàãäå ei =R̃(f X, Y )Z = f R̃(X, Y )ZR̃(X, f Y )Z = f R̃(X, Y )ZR̃(X, Y )f Z = f R̃(X, Y )ZÄîêàçàòåëüñòâî 1)R̃(f X, Y )Z = ∇f X ∇Y Z − ∇Y ∇f X Z − ∇[f X,Y ] Z =ïîëüçóåìñÿ î÷åâèäíûì ñîîòíîøåíèåì ∇f X = f ∇Xè ïðàâèëîì Ëåéáíèöà äëÿ êîììóòàòîðà= f ∇X ∇Y Z − ∇Y (f ∇X Z) − ∇f [X,Y ]−Y (f )X Z =ïîëüçóåìñÿ ïðàâèëîì Ëåéáíèöà äëÿ êîâàðèàíòíîãî äèåðåíöèðîâàíèÿè ëèíåéíîñòüþ ∇ξ ïî ξ= f ∇X ∇Y Z − f ∇Y (∇X Z) − ∇Y (f )∇X Z − f ∇[X,Y ] Z + Y (f )∇X Z =ïîëüçóåìñÿ òåì, ÷òî ∇Y f = Y (f ), ïîñêîëüêó äëÿóíêöèé îáû÷íàÿ è êîâàðèàíòíàÿ ïðîèçâîäíûå ñîâïàäàþò= f ∇X ∇Y Z − f ∇Y ∇X Z − f ∇[X,Y ] Z = f R̃(X, Y )Z,÷òî è òðåáîâàëîñü.2) Äëÿ âòîðîãî ÷ëåíà Y äîêàçàòåëüñòâî àíàëîãè÷íî.3) Äîêàæåì ïîñëåäíåå ñîîòíîøåíèå.
Ìû áóäåì èñïîëüçîâàòü òå æå ñàìûåñîîáðàæåíèÿ.R̃(X, Y )f Z = ∇X ∇Y f Z − ∇Y ∇X f Z − ∇[X,Y ] f Z =∇X (f ∇Y Z) + ∇X ((∇Y f )Z)−∇Y (f ∇X Z) − ∇Y ((∇X f )Z)−f ∇[X,Y ] Z − (∇[X,Y ] f )Z =f ∇X ∇Y Z + (∇X f )∇Y Z + (∇X ∇Y f )Z + (∇Y f )∇X Z−f ∇Y ∇X Z − (∇Y f )∇X Z − (∇Y ∇X f )Z − (∇X f )∇Y Z−−f ∇[X,Y ] Z − (∇[X,Y ] f )Z =ñãðóïïèðóåì ñëàãàåìûåf ∇X ∇Y Z − ∇Y ∇X Z − ∇[X,Y ] Z + ((∇X f )∇Y Z − (∇X f )∇Y Z)((∇Y f )∇X Z − (∇Y f )∇X Z) + ∇X ∇Y f − ∇Y ∇X f − ∇[X,Y ] f Z =52îñòàåòñÿ òîëüêî ïåðâàÿ ñêîáêàf ∇X ∇Y Z − ∇Y ∇X Z − ∇[X,Y ] Z = f R̃(X, Y )Z.Ëåììà äîêàçàíà.Âåðíåìñÿ ê äîêàçàòåëüñòâó òåîðåìû.
Íàì îñòàåòñÿ ïðîâåðèòü ðàâåíñòâîiR̃(ek , el )eq = Rq,klei = R(ek , el )eq .ÈìååìR̃(ek , el )eq = ∇ek ∇el eq − ∇el ∇ek eq − ∇[ek ,el ] eq == ∇ek Γiql ei − (ïåðåñòàíîâêà k è l) =∂Γiqlei + Γiql ∇ek ei − (ïåðåñòàíîâêà k è l) =∂xk∂Γiql=ei + Γiql Γpik ep − (ïåðåñòàíîâêà k è l) =∂xk=âî âòîðîì ñëàãàåìîì èíäåêñû ñóììèðîâàíèÿ p è i ïîìåíÿåì ìåñòàìè!∂Γiqlp iiei = R(ek , el )eq .+ Γql Γpk − (ïåðåñòàíîâêà k è l) ei = Rq,kl∂xkÒàêèì îáðàçîì, ïîëó÷àåìR̃(X, Y )Z = X k Y l Z q R̃(ek , el )eq = X k Y l Z q R̃(ek , el )eq = R(X, Y )Z,÷òî è òðåáîâàëîñü. Òåîðåìà äîêàçàíà.Çàäà÷à Õîðîøî èçâåñòíî, ÷òî ïîëèëèíåéíîå (íàä R) îòîáðàæåíèå, ñîïîñòàâëÿþùåå íàáîðó èç k âåêòîðîâ íåêîòîðûé íîâûé âåêòîð, ìîæåò ðàññìàòðèâàòüñÿ êàê òåíçîð òèïà (1, k).
Âîïðîñ: â êàêîì ñëó÷àå ïîëèëèíåéíîå (íàäR) îòîáðàæåíèå, ñîïîñòàâëÿþùåå íàáîðó èç k âåêòîðíûõ ïîëåé (à íå âåêòîðîâ) íåêîòîðîå íîâîå âåêòîðíîå ïîëå, ìîæåò ðàññìàòðèâàòüñÿ êàê òåíçîðíîåïîëå? Ïîêàçàòü, ÷òî ïîëèëèíåéíîñòè íàä R äëÿ ýòîãî íåäîñòàòî÷íî. Íóæíîòðåáîâàòü, ÷òîáû ýòî îòîáðàæåíèå áûëî ïîëèëèíåéíûì íàä êîëüöîì ãëàäêèõ óíêöèé íà ìíîãîîáðàçèè.
Íàïðèìåð, îòîáðàæåíèå (ξ, η) → ∇ξ η òåíçîðîì íå ÿâëÿåòñÿ, ïîñêîëüêó ∇ξ (f η) 6= f ∇ξ η , åñëè f ãëàäêàÿ óíêöèÿ,îòëè÷íàÿ îò êîíñòàíòû (ýòî îòîáðàæåíèå ïåðåâîäèò òåíçîðû â òåíçîðû, íîñàìî òåíçîðîì íå ÿâëÿåòñÿ).Àëãåáðàè÷åñêèå ñâîéñòâà è ñèììåòðèè òåíçîðà êðèâèçíû èìàíà.noiÂìåñòå ñ òåíçîðîì êðèâèçíû R = Rq,klìû ðàññìîòðèì òåíçîð êðèαâèçíû ñ îïóùåííûì èíäåêñîì Riq,kl = giα Rq,kl .Íàïîìíèì, ÷òî ìû ïðåäïîëàãàåì, ÷òî ñâÿçíîñòü ∇, ïî êîòîðîé áûë ïîñòðîåí òåíçîð êðèâèçíû R, ÿâëÿåòñÿ ñèììåòðè÷íîé ðèìàíîâîé ñâÿçíîñòüþ.53Ìû ïðîàíàëèçèðóåì ñåé÷àñ ñèììåòðèè òåíçîðà êðèâèçíû. Êàæäîå óòâåðæäåíèå â ñëåäóþùåì ïðåäëîæåíèè ìû ñîðìóëèðóåì äâóìÿ ýêâèâàëåíòíûìè ñïîñîáàìè êîîðäèíàòíîì è èíâàðèàíòîì.
Òåîðåìà.1) Êîñîñèììåòðè÷íîñòü ïî èíäåêñàì k, l:iiRq,kl= Rq,lk,R(X, Y )Z = R(Y, X)Z .(î ñèììåòðèÿõòåíçîðà êðèâèçíû)2) Òîæäåñòâî ßêîáè:iRq,kl+ (öèêëè÷åñêàÿ ïåðåñòàíîâêà ïî q, k, l) = 0;R(X, Y )Z + (öèêëè÷åñêàÿ ïåðåñòàíîâêà ïî X, Y, Z) = 0.3) Êîñîñèììåòðè÷íîñòü ïî èíäåêñàì i, q :Riq,kl = −Rqi,kl ;hR(X, Y )Z, W i = hR(X, Y )W, Zi.4) Ïàðíàÿ ñèììåòðè÷íîñòü:Riq,kl = Rkl,iq ;hR(X, Y )Z, W i = hR(Z, W )X, Y i Äîêàçàòåëüñòâî Ìû äàäèì èíâàðèàíòíûå (áåñêîîðäèíàòíûå) äîêàçàòåëüñòâà ýòèõ ñâîéñòâ.1) Ïåðâîå ñâîéñòâî î÷åâèäíî:∇X ∇Y − ∇Y ∇X − ∇[X,Y ] = − ∇Y ∇X − ∇X ∇Y − ∇[Y,X]2) Òîæäåñòâî ßêîáè ïðîâåðÿåòñÿ íåïîñðåäñòâåííûì âû÷èñëåíèåì:∇X ∇Y Z − ∇Y ∇X Z − ∇[X,Y ] Z++∇Y ∇Z X − ∇Z ∇Y X − ∇[Y,Z] X++∇Z ∇X Y − ∇X ∇Z Y − ∇[Z,X] Y == ∇X (∇Y Z − ∇Z Y ) − ∇[Y,Z] X + (öèêëè÷åñêàÿ ïåðåñòàíîâêà) == ∇X [Y, Z] − ∇[Y,Z] X + (öèêëè÷åñêàÿ ïåðåñòàíîâêà) == [X, [Y, Z]] + (öèêëè÷åñêàÿ ïåðåñòàíîâêà)Ïîëó÷åííîå âûðàæåíèå ðàâíî íóëþ â ñèëó òîæäåñòâà ßêîáè äëÿ êîììóòàòîðà (ñì.
âûøå ñâîéñòâà êîììóòàòîðà). Îäíàêî, ìîæíî íà íåãî äàæå íåññûëàòüñÿ. Ìîæíî ñðàçó ïðè äîêàçàòåëüñòâå ïðåäïîëàãàòü, ÷òî ðàññìàòðèâàåìûå ïîëÿ X, Y, Z êîììóòèðóþò. Äåéñòâèòåëüíî, â ñèëó òåíçîðíîñòè äî∂ñòàòî÷íî ïðîâåðÿòü ýòî òîæäåñòâî íà áàçèñíûõ âåêòîðíûõ ïîëÿõ ei =,∂xiêîòîðûå, êàê óæå îòìå÷àëîñü, êîììóòèðóþò.3) àññìîòðèì äèåðåíöèàëüíûé îïåðàòîð ∇X ∇Y − ∇Y ∇X − ∇[X,Y ] .Ïðèìåíÿÿ ýòîò îïåðàòîð ê âåêòîðíîìó ïîëó Z ìû ïîëó÷èì çíà÷åíèåòåíçîðà êðèâèçíû R(X, Y )Z .
À ÷òî ïîëó÷èòñÿ, åñëè ìû ýòîò îïåðàòîð ïðèìåíèì ê ãëàäêîé óíêöèè?  ñëó÷àå ãëàäêîé óíêöèè êîâàðèàíòíàÿ ïðîèçâîäíàÿ âäîëü âåêòîðíîãî ïîëÿ ñîâïàäàåò ñ îáû÷íîé ïðîèçâîäíîé, ïîýòîìó(∇X ∇Y − ∇Y ∇X − ∇[X,Y ] )f = X(Y (f )) − Y (X(f )) − [X, Y ](f ) = 054(ñì. îäíî èç îïðåäåëåíèé êîììóòàòîðà â òåðìèíàõ äèåðåíöèàëüíûõ îïåðàòîðîâ). Èñïîëüçóÿ åñòåñòâåííûå îáîçíà÷åíèÿ, ýòî ñîîòíîøåíèå ìîæíî ïåðåïèñàòü òàê: R(X, Y )f = 0. Ïîëüçóÿñü ýòèì íàáëþäåíèåì, ïðîäèåðåíöèðóåì ñ ïîìîùüþ îïåðàòîðà R(X, Y ) ãëàäêóþ óíêöèþ hZ, W i è ïðèðàâíÿåìðåçóëüòàò ê íóëþ.∇X ∇Y hZ, W i − ∇Y ∇X hZ, W i − ∇[X,Y ] hZ, W i == ∇X h∇Y Z, W i + ∇X hZ, ∇Y W i−−∇Y h∇X Z, W i − ∇Y hZ, ∇X W i−−h∇[X,Y ] Z, W i − hZ, ∇[X,Y ] W i =h∇X ∇Y Z, W i + h∇Y Z, ∇X W i + h∇X Z, ∇Y W i + hX, ∇X ∇Y W i−−h∇Y ∇X Z, W i − h∇X Z, ∇Y W i − h∇Y Z, ∇X W i − hZ, ∇Y ∇X W i−−h∇[X,Y ] Z, W i − hZ, ∇[X,Y ] W i =h∇X ∇Y Z − ∇Y ∇X Z − ∇[X,Y ] Z, W i + hZ, ∇X ∇Y W − ∇Y ∇X W − ∇[X,Y ] W i == hR(X, Y )Z, W i + hR(X, Y )W, Zi = 0(Äîêàçàííîå ñîîòíîøåíèå ìîæíî áûëî áû çàïèñàòü êîðî÷å R(X, Y )hZ, W i =hR(X, Y )Z, W i + hZ, R(X, Y )W i; ýòî àíàëîã ïðàâèëà Ëåéáíèöà äëÿ îïåðàòîðà R(X, Y )).4) Äîêàæåì, íàêîíåö, ïîñëåäíåå ñîîòíîøåíèå.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
