Лекции в формате PDF (1124094), страница 15
Текст из файла (страница 15)
Ýòî ýêâèâàëåíòíîòîìó, ÷òî èõ ðàçíîñòü ÿâëÿåòñÿ òî÷íîé îðìîé.Îòìåòèì, ÷òî ïðîñòðàíñòâà çàìêíóòûõ è òî÷íûõ îðì ÿâëÿþòñÿ áåñêîíå÷íîìåðíûìè. Òåì íå ìåíåå äëÿ àêòîðïðîñòðàíñòâà èìååò ìåñòî ñëåäóþùåå âàæíîå óòâåðæäåíèå, êîòîðîå ìû äàäèì áåç äîêàçàòåëüñòâà.Òåîðåìà Åñëè ìíîãîîáðàçèå M êîìïàêòíî, òî dim H k (M ) < ∞.×èñëî bk = dim H k (M ) íàçûâàåòñÿ â ýòîì ñëó÷àå k ûì ÷èñëîì Áåòòèìíîãîîáðàçèÿ M .Õîòÿ ãðóïïû êîãîìîëîãèé îïðåäåëÿþòñÿ ñ èñïîëüçîâàíèåì ãëàäêîé ñòðóêòóðû íà ìíîãîîáðàçèè, îíè îïèñûâàþò òîïîëîãè÷åñêèå ñâîéñòâà ìíîãîîáðàçèÿ. àññìîòðèì ïðîñòåéøèå ïðèìåðû.1.
Íóëüìåðíûå ãðóïïû êîãîìîëîãèé.Ïðîñòðàíñòâî çàìêíóòûõ 0îðì Z 0 (M ) ñîñòîèò èç óíêöèé, äèåðåíöèàë êîòîðûõ òîæäåñòâåííî ðàâåí íóëþ. ßñíî, ÷òî òàêèå óíêöèè äîëæíû áûòü ëîêàëüíî ïîñòîÿííû, ò.å. ïîñòîÿííû íà êàæäîé ñâÿçíîé êîìïîíåíòåìíîãîîáðàçèÿ. Ïðè÷åì íà êàæäîé êîìïîíåíòå óíêöèÿ ìîæåò ïðèíèìàòüïðîèçâîëüíîå çíà÷åíèå. Òàêèì îáðàçîì, ïðîñòðàíñòâî Z 0 (M ) èçîìîðíîïðîñòðàíñòâó Rl , ãäå l ÷èñëî ñâÿçíûõ êîìïîíåíò ìíîãîîáðàçèÿ.Ïðîñòðàíñòâî òî÷íûõ 0îðì ïî îïðåäåëåíèþ òðèâèàëüíî (ñîñòîèò èçíóëÿ), ïîñêîëüêó îðì ñòåïåíè −1 íå ñóùåñòâóåò.Èòàê, H 0 (M ) = Z 0 (M )/B 0 (M ) = Rl /{0} = Rl .
Òàêèì îáðàçîì, ðàçìåðíîñòü íóëüìåðíîé ãðóïïû êîãîìîëîãèé ïîêàçûâàåò ÷èñëî ñâÿçíûõ êîìïîíåíò ìíîãîîáðàçèÿ.2. Îäíîìåðíûå ãðóïïû êîãîìîëîãèé.×òîáû ïîíÿòü êàê óñòðîåíû îäíîìåðíûå ãðóïïû êîãîìîëîãèé, íåîáõîäèìî âûÿñíèòü íåîáõîäèìûå è äîñòàòî÷íûå óñëîâèÿ äëÿ òîãî ÷òîáû çàìêíóòàÿîðìà ω áûëà äèåðåíöèàëîì íåêîòîðîé ãëàäêîé óíêöèè f . Äðóãèìèñëîâàìè, ìû äîëæíû âûÿñíèòü óñëîâèÿ, ïðè êîòîðûõ óðàâíåíèå df = ωèìååò ðåøåíèå.Ïðåäëîæåíèå 2 Ïóñòü ìíîãîîáðàçèå M îäíîñâÿçíî, òîãäà ãðóïïà îäíîìåðíûõ êîãîìîëîãèé òðèâèàëüíà: H 1 (M ) = 0.Äîêàçàòåëüñòâî Óòâåðæäåíèå ýêâèâàëåíòíî òîìó, ÷òî ëþáàÿ çàìêíóòàÿ1îðìà ω òî÷íà, ò.å. óðàâíåíèå df = ω âñåãäà èìååò ðåøåíèå.
Ýòî ðåøåíèåëåãêî âûïèñûâàåòñÿ â ÿâíîì âèäåZ Qf (Q) =ω,Pãäå èíòåãðèðîâàíèå âåäåòñÿ ïî ïðîèçâîëüíîé êðèâîé, ñîåäèíÿþùåé èêñèðîâàííóþ òî÷êó P ñ ïåðåìåííîé òî÷êîé Q. Ýòî îïðåäåëåíèå êîððåêòíî, ò.ê.íà îäíîñâÿçíîì ìíîãîîáðàçèè èíòåãðàë îò çàìêíóòîé îðìû íå çàâèñèò îòâûáîðà êðèâîé, ñîåäèíÿþùåé òî÷êè P è Q (ñì. âûøå). Óñëîâèå df = ω ëåãêîïðîâåðÿåòñÿ (ñäåëàéòå ýòî ñàìîñòîÿòåëüíî).70Ñëåäñòâèå H 1 (S 2 ) = 0.Äîêàçàòåëüñòâî Ïîêàæèòå, ÷òî ñåðà îäíîñâÿçíà.RQÈç ïðèâåäåííîé âûøå îðìóëû f (Q) = P ω ëåãêî âûâåñòè íåîáõîäèìûåè äîñòàòî÷íûå óñëîâèÿ òî÷íîñòè çàìêíóòîé 1îðìû ω â îáùåì ñëó÷àå.Ïðåäëîæåíèå 3 Çàìêíóòàÿ 1îðìà ω òî÷íà òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäàèíòåãðàë îò ýòîé îðìû ïî ëþáîé çàìêíóòîé êðèâîé γ ðàâåí íóëþ:Zω = 0.γÄîêàçàòåëüñòâî Åñëè ñîðìóëèðîâàííîå óñëîâèå âûïîëíåíî, òî ðåøåíèåRQóðàâíåíèÿ df = ω ìîæíî íàéòè ïî îðìóëå f (Q) = P ω , êîòîðàÿ áóäåò,î÷åâèäíî, êîððåêòíîé.RR Íàîáîðîò, åñëè df = ω , òî äëÿ ëþáîé çàìêíóòîé êðèâîé γ èìååì γ ω = γ df = 0 (ñì.
ñëåäñòâèå îðìóëû Ñòîêñà â ïðåäûäóùåéëåêöèè).Îáñóæäåíèå Èñïîëüçóÿ ýòîò ðåçóëüòàò ìîæíî ïîíÿòü, êàêR äîëæíà áûòüóñòðîåíà îäíîìåðíàÿ ãðóïïà êîãîìîëîãèé. Óðàâíåíèÿ âèäà γ ω = 0 äëÿ âñåâîçìîæíûõ çàìêíóòûõ êðèâûõ íà ìíîãîîáðàçèè ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàêñèñòåìó ëèíåéíûõ óðàâíåíèé, çàäàþùèõ ïîäïðîñòðàíñòâî òî÷íûõ îðì âïðîñòðàíñòâå çàìêíóòûõ îðì. àçìåðíîñòü àêòîðïðîñòðàíñòâà H 1 (M ) =Z 1 (M )/B 1 (M ) ðàâíà òîãäà ÷èñëó íåçàâèñèìûõ óðàâíåíèé, ò.å. àêòè÷åñêè÷èñëó íåçàâèñèìûõ çàìêíóòûõ êðèâûõ. Ïðîêîììåíòèðóåì, ÷òî îçíà÷àåòíåçàâèñèìîñòü çàìêíóòûõ êðèâûõ â äàííîì ñëó÷àå.
Âî-ïåðâûõ, íàì ñëåäóåò ðàññìàòðèâàòü êðèâûå ñ òî÷íîñòüþ äî ãîìîòîïèè, ïîñêîëüêó, êàê ìûâèäåëè âûøå, èíòåãðàëû ïî ãîìîòîïíûì ïóòÿì îò çàìêíóòîé îðìû ñîâïàäàþò (ãîìîòîïíûå êðèâûå çàâèñèìû).  ÷àñòíîñòè, íóæíî ðàññìàòðèâàòüòîëüêî íåñòÿãèâàåìûå çàìêíóòûå êðèâûå. Âî-âòîðûõ, íåêîòîðûå çàìêíóòûåêðèâûå ìîæíî ïðåäñòàâèòü êàê ñóììó íåêîòîðûõ áîëåå ïðîñòûõ (áàçèñíûõ)çàìêíóòûõ êðèâûõ.
Çäåñü ñóììà ïîíèìàåòñÿ êàê ïîñëåäîâàòåëüíîå ïðîõîæäåíèå. ßñíî, ÷òî èíòåãðàë ïî ñóììå äâóõ ïóòåé ðàâåí ñóììå èíòåãðàëîâ, èïîýòîìó íå äàåò íåçàâèñèìîãî óðàâíåíèÿ. Íàêîíåö â-òðåòüèõ, âîçìîæíà òàêàÿ ñèòóàöèÿ, êîãäà íåêîòîðàÿ çàìêíóòàÿ êðèâàÿ ÿâëÿåòñÿ íåñòÿãèâàåìîé,îäíàêî, åñëè åå ïðîéòè äâàæäû (èëè íåñêîëüêî ðàç), òî îíà ñòàíåò ñòÿãèâàåìîé. Èíòåãðàë îò çàìêíóòîé îðìû ïî òàêîé êðèâîé áóäåò ðàâåí íóëþàâòîìàòè÷åñêè, è ïîýòîìó òàêèå êðèâûå òîæå ìîæíî íå ðàññìàòðèâàòü. êà÷åñòâå ïðîñòåéøåãî ïðèìåðà ìû âû÷èñëèì ãðóïïó êîãîìîëîãèé îêðóæíîñòè.
Ïóñòü ϕ ñòàíäàðòíûé ïàðàìåòð íà îêðóæíîñòè, çàäàííûé ïî ìîäóëþ 2π . àññìîòðèì çàìêíóòóþ 1îðìó ω = g(ϕ)dϕ. ×òîáû ýòà îðìóëàçàäàâàëà ãëàäêóþ äèåðåíöèàëüíóþ îðìó íà îêðóæíîñòè íåîáõîäèìî èäîñòàòî÷íî, ÷òîáû óíêöèÿ g(ϕ) áûëà ïåðèîäè÷åñêîé ñ ïåðèîäîì 2π . Ïðè÷åì ëþáàÿ çàìêíóòàÿ 1îðìà ìîæåò áûòü çàïèñàíà â òàêîì âèäå.åøèì óðàâíåíèå df = g(ϕ)dϕ. Èñêîìàÿ óíêöèÿ f (ϕ) äîëæíà áûòüãëàäêîé óíêöèåé íà îêðóæíîñòè.
Äëÿ ýòîãî íåîáõîäèìî è äîñòàòî÷íî, ÷òîáû îíà áûëà 2π ïåðèîäè÷åñêîé.Êàê ìû óæå âèäåëè âûøå,íåîáõîäèìûìóñëîâèåì äëÿ ñóùåñòâîâàíèÿRR 2πðåøåíèÿ áóäåò ðàâåíñòâî S 1 ω = 0 g(τ )dτ = 0. Ýòî æå óñëîâèå áóäåò è71äîñòàòî÷íûì. Äåéñòâèòåëüíî, ïîëàãàÿZ ϕf (ϕ) =g(τ )dτ,0ìû ïîëó÷èì ãëàäêóþ êîððåêòíî îïðåäåëåííóþ óíêöèþ íà îêðóæíîñòè(ïîñêîëüêó îíà áóäåò 2π ïåðèîäè÷íîé), óäîâëåòâîðÿþùóþ óñëîâèþ df = ω .Ýòî ðàññóæäåíèå, î÷åâèäíî, ïîêàçûâàåò, ÷òî ãðóïïà êîãîìîëîãèé îêðóæíîñòè H 1 (S 1 ) îäíîìåðíà, ò.å. H 1 (S 1 ) = R1 . Ìû, òåì íå ìåíåå, äàäèì îðìàëüíîå äîêàçàòåëüñòâî.Ïîñòðîèì ÿâíî èçîìîðèçì ξ : H 1 (S 1 ) → R1 .
Ïóñòü [ω] ñìåæíûéêëàññîðìû ω ïî ïîäïðîñòðàíñòâó òî÷íûõ îðì. Òîãäà ïîëîæèì ξ([ω]) =Rω.Ýòî îòîáðàæåíèå êîððåêòíî îïðåäåëåíî, ïîñêîëüêó íå çàâèñèò îò âû1S′áîðàïðåäñòàâèòåëÿRRR â êëàññåR êîãîìîëîãèé. Äåéñòâèòåëüíî, åñëè ω = ω + df ,′òî S 1 ω = S 1 ω + S 1 df = S 1 ω .ÊðîìåR òîãî, ïîñòðîåííîåîòîáðàæåíèåRR âçàèìíî îäíîçíà÷íî. Åñëè ξ[ω] =ξ[ω ′ ], òî S 1 ω ′ = S 1 ω . Ñëåäîâàòåëüíî S 1 (ω ′ − ω) = 0, ò.å.
îðìà ω ′ − ωòî÷íà è [ω] =R [ω ′ ]. Êðîìå òîãî ξ ÿâëÿåòñÿ îòîáðàæåíèåì "íà": äëÿ ëþáîãîcc ∈ R èìååì S 1 2πdϕ = c.11Èòàê, H (S ) = R1 .Çàìå÷àíèå Óòâåðæäåíèå, àíàëîãè÷íîå ïðåäëîæåíèþ 3, ñïðàâåäëèâî èäëÿ çàìêíóòûõ îðì ïðîèçâîëüíîé ñòåïåíè k . Çàìêíóòàÿ äèåðåíöèàëüíàÿ k îðìà ω òî÷íà òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà äëÿ ëþáîãî çàìêíóòîãîîðèåíòèðóåìîãî k ìåðíîãî ìíîãîîáðàçèÿ N è ïðîèçâîëüíîãî ãëàäêîãî îòîáðàæåíèÿ F : N → M èìååò ìåñòî ðàâåíñòâîZF ∗ ω = 0.N72Ëåêöèÿ 13.Êîãîìîëîãèè ãëàäêîãî ìíîãîîáðàçèÿ (ïðîäîëæåíèå).Äëÿ ëþáîãî ãëàäêîãî îòîáðàæåíèÿ f : M → N ìåæäó äâóìÿ ìíîãîîáðàçèÿìè ìîæíî ðàññìîòðåòü îòîáðàæåíèåf ∗ : Ωk (N ) → Ωk (M ),ñîïîñòàâëÿþùåå êàæäîé äèåðåíöèàëüíîé k îðìå íà ìíîãîîáðàçèè Näèåðåíöèàëüíóþ k îðìó íà ìíîãîîáðàçèè M (ñì. îïðåäåëåíèå âûøå).Êàê ìû ïîêàçàëè âûøå, îòîáðàæåíèå f ∗ êîììóòèðóåò ñ îïåðàòîðîì âíåøíåãî äèåðåíöèðîâàíèÿ è, ñëåäîâàòåëüíî, ïåðåâîäèò òî÷íûå îðìó â òî÷íûå, à çàìêíóòûå â çàìêíóòûå. Ïîýòîìó îòîáðàæåíèå f ∗ èíäóöèðóåòåñòåñòâåííûé ãîìîìîðèçì ãðóïï êîãîìîëîãèé (ìû îáîçíà÷èì åãî ñíîâà÷åðåç f ∗ ):f ∗ : H k (N ) → H k (M ).(Ïðîâåðüòå).Òåîðåìà Ïóñòü f è g ãëàäêî ãîìîòîïíûå îòîáðàæåíèÿ èç M â N .
Òîãäàèíäóöèðóåìûå èìè ãîìîìîðèçìû ãðóïï êîãîìîëîãèéf ∗ : H k (N ) → H k (M ),g ∗ : H k (N ) → H k (M ).ñîâïàäàþò, ò.å. f ∗ = g ∗ .Îïðåäåëåíèå Äâà ìíîãîîáðàçèÿ M è N íàçûâàþòñÿ ãîìîòîïè÷åñêè ýêâèâàëåíòíûìè, åñëè ñóùåñòâóþò (ãëàäêèå) îòîáðàæåíèÿf : M → N,g : N → M,òàêèå, ÷òî èõ êîìïîçèöèè f ◦ g : N → N è g ◦ f : M → M ãîìîòîïíûòîæäåñòâåííûì îòîáðàæåíèÿì, ò.å.f ◦ g ∼ idN ,g ◦ f ∼ idM .Òåîðåìà Ïóñòü ìíîãîîáðàçèÿ M è N ãîìîòîïè÷åñêè ýêâèâàëåíòíû. Òîãäà èõ ãðóïïû êîãîìîëîãèé èçîìîðíû:H k (M ) = H k (N ).Ñëåäñòâèå (Ëåììà Ïóàíêàðå) Ëþáàÿ çàìêíóòàÿ k îðìà â åâêëèäîâîìïðîñòðàíñòâå Rn ÿâëÿåòñÿ òî÷íîé.
Äðóãèìè ñëîâàìè,H k (Rn ) = 0äëÿ ëþáîãî k > 0.73Ëåêöèÿ 14.Ñòåïåíü îòîáðàæåíèÿ.Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ è òåîðåìû, êîòîðûå íóæíî çíàòü.åãóëÿðíûå òî÷êè è ðåãóëÿðíûå çíà÷åíèÿ ãëàäêèõ îòîáðàæåíèé.Òåîðåìà Ñàðäà (áåç äîêàçàòåëüñòâà) Ïóñòü M çàìêíóòîå (ò.å. êîìïàêòíîå áåç êðàÿ) ìíîãîîáðàçèå, f : M → N ãëàäêîå îòîáðàæåíèå. Òîãäàìíîæåñòâî ðåãóëÿðíûõ çíà÷åíèé îòîáðàæåíèÿ f ÿâëÿåòñÿ îòêðûòûì âñþäóïëîòíûì ìíîæåñòâîì â N (ñîîòâåòñòâåííî, ìíîæåñòâî êðèòè÷åñêèõ çíà÷åíèé îòîáðàæåíèÿ f ÿâëÿåòñÿ çàìêíóòûì ìíîæåñòâîì ìåðû íóëü).Ñòåïåíü ãëàäêîãî îòîáðàæåíèÿ f : M1 → M2 ìåæäó äâóìÿ çàìêíóòûìèîðèåíòèðîâàííûìè ìíîãîîáðàçèÿìè îäèíàêîâîé ðàçìåðíîñòè.Òåîðåìà Ñòåïåíü îòîáðàæåíèÿ f íå çàâèñèò:1) îò âûáîðà ðåãóëÿðíîé òî÷êè P ∈ M2 ,2) îò âûáîðà îòîáðàæåíèÿ f â êëàññå ãëàäêî ãîìîòîïíûõ îòîáðàæåíèé.Ïðèìåð Ñòåïåíü îòîáðàæåíèÿ f : S 1 → S 1 , çàäàííîãî îðìóëîé f (z) =kz , ðàâíà k .
Çäåñü îêðóæíîñòü ïðåäñòàâëåíà êàê ìíîæåñòâî êîìïëåêñíûõ÷èñåë, ðàâíûõ ïî ìîäóëþ åäèíèöå.Ëåêöèÿ 15.Ñòåïåíü îòîáðàæåíèÿ (ïðîäîëæåíèå). êà÷åñòâå ïðèëîæåíèÿ ïîíÿòèÿ ñòåïåíè ãëàäêîãî îòîáðàæåíèÿ ìîæíîäîâîëüíî ïðîñòî äîêàçàòü ñëåäóþùèå óòâåðæäåíèÿ.Îñíîâíàÿ òåîðåìà àëãåáû Ëþáîé ìíîãî÷ëåí ñòåïåíè ≥ 1 íàä ïîëåì êîìïëåêñíûõ ÷èñåë èìååò õîòÿ áû îäèí êîìïëåêñíûé êîðåíü.Òåîðåìà î åæå Íà äâóìåðíîé ñåðå íå ñóùåñòâóåò ãëàäêîãî (êàñàòåëüíîãî) âåêòîðíîãî ïîëÿ áåç íóëåé.Çàäà÷à Äîêàçàòü àíàëîãè÷íîå óòâåðæäåíèå äëÿ ñåðû ïðîèçâîëüíîé÷åòíîé ðàçìåðíîñòè.
Âåðíî ëè ýòî óòâåðæäåíèå äëÿ íå÷åòíîìåðíîé ñåðû?Òåîðåìà Ïóñòü f : M → N ãëàäêîå îòîáðàæåíèå ìåæäó ãëàäêèìè çàìêíóòûìè îðèåíòèðîâàííûìè ñâÿçíûìè ìíîãîîáðàçèÿìè îäèíàêîâîé ðàçìåðíîñòè, è ω âíåøíÿÿ äèåðåíöèàëüíàÿ îðìà ìàêñèìàëüíîãî ðàíãàn = dim M = dim N . ÒîãäàZZf ∗ (ω) = deg f ·ω.MNÏîíÿòèå ãàóññîâà îòîáðàæåíèÿ ãèïåðïîâåðõíîñòè.74Òåîðåìà Ïóñòü f : M → S n−1 ãàóññîâî îòîáðàæåíèå ãèïåðïîâåðõíîñòèM⊂ Rn , dσ ñòàíäàðòíàÿ îðìà îáúåìà íà ñåðå S n−1 , dσ ′ îðìàîáúåìà íà ïîâåðõíîñòè M n−1 , K åå ãàóññîâà êðèâèçíà.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
