Лекции в формате PDF (1124094), страница 13
Текст из файла (страница 13)
Ïðåäëàãàåòñÿ ñäåëàòü ýòî ñàìîñòîÿòåëüíî. Îáðàòèì, îäíàêî, âíèìàíèå íà ñëåäóþùåå îáñòîÿòåëüñòâî. Åñëè áû îòîáðàæåíèå F áûëî äèåîìîðèçìîì, òî åãî ëîêàëüíî ìîæíî áûëî áû èíòåðïðåòèðîâàòü êàê ïåðåõîä ê íîâûì êîîðäèíàòàì: îðìóëà äëÿ F ∗ ñîâïàäàëà áû â ýòîì ñëó÷àåñ îðìóëîé ïðåîáðàçîâàíèÿ îðìû ïðè çàìåíå êîîðäèíàò. À ðàâåíñòâîF ∗ (dω) = d(F ∗ ω) áûëî áû â òî÷íîñòè ýêâèâàëåíòíî êîððåêòíîñòè êîîðäèíàòíîãî îïðåäåëåíèÿ âíåøíåãî äèåðåíöèðîâàíèÿ. Äåéñòâèòåëüíî, ýòà60îðìóëà îçíà÷àåò, ÷òî ñäåëàâ çàìåíó êîîðäèíàò, à çàòåì ïðîäèåðåíöèðîâàâ îðìó, ìû ïîëó÷èì òîò æå ñàìûé ðåçóëüòàò, êàê åñëè áû ìû ñíà÷àëàïðîäèåðåíöèðîâàëè îðìó, à çàòåì ñäåëàëè çàìåíó.
Ñïðàâåäëèâîñòü ýòîãî àêòà áûëà óæå óñòàíîâëåíà íàìè ðàíåå. Äîêàçàòåëüñòâî â îáùåì ñëó÷àåäîñëîâíî ïîâòîðÿåòñÿ (òî ÷òî F äèåîìîðèçì íèãäå íå èñïîëüçóåòñÿ).Ëåêöèÿ 11.Èíòåãðèðîâàíèå äèåðåíöèàëüíûõ îðì. Ôîðìóëà Ñòîêñà.Äëÿ îðìóëèðîâêè òåîðåìû Ñòîêñà íàì ïîòðåáóþòñÿ íåêîòîðûå àêòûî ìíîãîîáðàçèÿõ ñ êðàåì è îá èíòåãðèðîâàíèè äèåðåíöèàëüíûõ îðì íàãëàäêîì ìíîãîîáðàçèè.Ìíîãîîáðàçèÿ ñ êðàåìÍàïîìíèì îñíîâíûå îïðåäåëåíèÿ.Îïðåäåëåíèå Ìåòðè÷åñêîå ïðîñòðàíñòâî X íàçûâàåòñÿ ìíîãîîáðàçèå ñêðàåì, åñëè êàæäàÿ åãî òî÷êà èìååò îêðåñòíîñòü ãîìåîìîðíóþ íåêîòîðîìóîòêðûòîìó ïîäìíîæåñòâó ïîëóïðîñòðàíñòâà Rn+ = {(x1 , .
. . , xn ) | xn ≥ 0}.Òàêæå êàê è â ñëó÷àå ìíîãîîáðàçèé òàêèå îêðåñòíîñòè Uα âìåñòå ñ èêñèðîâàííûìè ãîìåîìîðèçìàìè ϕα : Uα → Vα , ãäå Vα îòêðûòîå ïîäìíîæåñòâî èç Rn+ , íàçûâàþòñÿ êàðòàìè, à èõ ñîâîêóïíîñòü àòëàñîì. Åäèíñòâåííîå îòëè÷èå îò ñëó÷àÿ îáû÷íîãî ìíîãîîáðàçèÿ çàêëþ÷àåòñÿ â òîì, ÷òîçäåñü ïîÿâëÿþòñÿ êàðòû äâóõ âèäîâ: îáû÷íûå êàðòû, ãîìåîìîðíûå äèñêàì, è íîâûå êàðòû, ãîìåîìîðíûå ïîëóäèñêàì.Ñîâåðøåííî àíàëîãè÷íûì îáðàçîì ââîäÿòñÿ ëîêàëüíûå ñèñòåìû êîîðäèíàò, óíêöèè ïåðåõîäà è îïðåäåëÿåòñÿ ïîíÿòèå ãëàäêîãî ìíîãîîáðàçèÿ ñêðàåì (òðåáóåòñÿ, ÷òîáû âñå óíêöèè ïåðåõîäà áûëè ãëàäêèìè).Îïðåäåëåíèå Ïóñòü X ìíîãîîáðàçèå ñ êðàåì.
Òî÷êà P ∈ X íàçûâàåòñÿ âíóòðåííåé, åñëè â ëîêàëüíîé ñèñòåìå êîîðäèíàò (x1 , . . . , xn ) ìû èìååìxn (P ) > 0.  ïðîòèâíîì ñëó÷àå, êîãäà xn (P ) = 0, òî÷êà P íàçûâàåòñÿ ãðàíè÷íîé.Ïðåäëîæåíèå 1 Ñâîéñòâî òî÷êè áûòü "âíóòðåííåé"èëè "ãðàíè÷íîé"íåçàâèñèò îò âûáîðà ëîêàëüíîé ñèñòåìû êîîðäèíàò â åå îêðåñòíîñòè. Äðóãèìèñëîâàìè, äàííîå îïðåäåëåíèå êîððåêòíî.′′Äîêàçàòåëüñòâî Ïóñòü (x1 , . . .
, xn ) è (x1 , . . . , xn ) äâå ëîêàëüíûå ñèñòåìû êîîðäèíàò â îêðåñòíîñòè òî÷êè P . Ïðåäïîëîæèì îò ïðîòèâíîãî, ÷òî′xn (P ) = 0, à xn (P ) > 0. àññìîòðèì óíêöèè ïåðåõîäà′′′′′′x1 = x1 (x1 , . . . , xn ),x2 = x2 (x1 , . . . , xn ),...x = xn (x1 , . . .
, xn ).nÏîñêîëüêó ýòè óíêöèè çàäàþò ëîêàëüíûé äèåîìîðèçì, òî ÿêîáèàí61çàìåíû îòëè÷åí îò íóëÿ. Íî óíêöèÿ ïåðåõîäà xn = xn (x1 , . . . , xn ) èìååòâ òî÷êå ϕ′ (P ) ëîêàëüíûé ìèíèìóì, ïîýòîìó â ýòîé òî÷êå âñå åå ÷àñòíûåïðîèçâîäíûå îáðàùàþòñÿ â íóëü:′′∂xn ′(ϕ (P )) = 0.∂xi′Òàêèì îáðàçîì, ïîñëåäíÿÿ ñòðîêà ìàòðèöû ßêîáè â òî÷êå P íóëåâàÿ, ÷òîïðîòèâîðå÷èò íåâûðîæäåííîñòè. Ïðåäëîæåíèå äîêàçàíî.Îïðåäåëåíèå Ìíîæåñòâî ãðàíè÷íûõ òî÷åê íàçûâàåòñÿ êðàåì ìíîãîîáðàçèÿ X è îáîçíà÷àåòñÿ ÷åðåç ∂X .Ôîðìàëüíîå çàìå÷àíèå Îáû÷íîå ìíîãîîáðàçèå (áåç êðàÿ) ÿâëÿåòñÿ ÷àñòíûì ñëó÷àåì ìíîãîîáðàçèÿ ñ êðàåì (åãî êðàé ïóñò).
Íàïðîòèâ, ìíîãîîáðàçèå ñ êðàåì, âîîáùå ãîâîðÿ, ìíîãîîáðàçèåì íå ÿâëÿåòñÿ. Òåì íå ìåíåå âòåõ ñëó÷àÿõ, êîãäà ýòî íå ïðèâîäèò ê íåäîðàçóìåíèÿì, ìíîãîîáðàçèÿ ñ êðàåì òàêæå íàçûâàþò ìíîãîîáðàçèÿìè. ×àñòî, æåëàÿ ïîä÷åðêíóòü îòñóòñòâèåêðàÿ è ãîâîðÿ î êîìïàêòíûõ ìíîãîîáðàçèÿõ áåç êðàÿ, èõ íàçûâàþò çàìêíóòûìè.Ïðåäëîæåíèå 2 Ïóñòü X nìåðíîå ìíîãîîáðàçèå ñ êðàåì. Òîãäà åãîêðàé ∂X (åñëè îí íåïóñò) ÿâëÿåòñÿ ãëàäêèì ìíîãîîáðàçèåì ðàçìåðíîñòèn − 1 (áåç êðàÿ).Äîêàçàòåëüñòâî Äëÿ êðàÿ ∂X ìû äîëæíû ïîñòðîèòü ãëàäêèé àòëàñ. Îíåñòåñòâåííûì îáðàçîì ñòðîèòñÿ ïî àòëàñó íà ñàìîì ìíîãîîáðàçèè X .
Äåéñòâèòåëüíî, ïóñòü P ∈ ∂X è Uα êàðòà, ñîäåðæàùàÿ òî÷êó P . ÏîëîæèìWα = Uα ∩ ∂X .Ëåãêî âèäåòü, ÷òî òîãäà îãðàíè÷åíèå êîîðäèíàòíîãî ãîìåîìîðèçìà ϕαíà Wα îòîáðàæàåò ìíîæåñòâî Wα íà íåêîòîðîå îòêðûòîå ïîäìíîæåñòîâîYα = ϕ(Wα ) = ϕ(Uα ) ∩ {Rn−1 = {xn = 0}}. ßñíî, ÷òî ϕα : Wα → Yα ãîìåîìîðèçì, è ïîýòîìó ïîäìíîæåñòâà âèäà Wα = Uα ∩ ∂X äåéñòâèòåëüíîîáðàçóþò àòëàñ äëÿ êðàÿ ∂X . ëàäêîñòü ýòîãî àòëàñà ñëåäóåò èç ãëàäêîñòè èñõîäíîãî àòëàñà äëÿ âñåãî ìíîãîîáðàçèÿ X è ïðåäëîæåíèÿ 1, êîòîðîåàêòè÷åñêè ïîêàçûâàåò, ÷òî óíêöèÿìè ïåðåõîäà ìåæäó äâóìÿ êàðòàìèíà êðàå áóäóò ïåðâûå n − 1 óíêöèé ïåðåõîäà ìåæäó ñîîòâåòñòâóþùèìèêàðòàìè íà ìíîãîîáðàçèè.Ïðåäëîæåíèå 3 Åñëè ìíîãîîáðàçèå ñ êðàåì X îðèåíòèðóåìî, òî åãî êðàéòîæå îðèåíòèðóåì.Çàäà÷à Îáðàòíîå óòâåðæäåíèå íåâåðíî.
Ïðèâåäèòå ïðèìåð. Ïîñòðîéòåòàêæå ïðèìåð ìíîãîîáðàçèÿ, êðàé êîòîðîãî íåîðèåíòèðóåì.Äîêàçàòåëüñòâî  ïðåäûäóùåì ïðåäëîæåíèè ìû ïî àòëàñó {Uα } íà ìíîãîîáðàçèè X ïîñòðîèëè àòëàñ {Wα } íà åãî êðàå. Ìû ïîêàæåì ñåé÷àñ, ÷òîåñëè èñõîäíûé àòëàñ áûë îðèåíòèðîâàí, òî àòëàñ äëÿ êðàÿ ïîëó÷èòñÿ îðèåíòèðîâàííûì àâòîìàòè÷åñêè. (Íàïîìíèì, ÷òî àòëàñ íàçûâàåòñÿ îðèåíòèðîâàííûì, åñëè ÿêîáèàíû âñåõ óíêöèé ïåðåõîäà ïîëîæèòåëüíû).′′Èòàê, ïóñòü (x1 , . .
. , xn ) è (x1 , . . . , xn ) äâå ëîêàëüíûå ñèñòåìû êîîðäèíàò, îòâå÷àþùèå êàðòàì Uα è Uα′ . Òîãäà êàðòàì êðàÿ Wα è Wα′ îòâå÷àþò′′ëîêàëüíûå ñèñòåìû êîîðäèíàò (x1 , . . . , xn−1 ) è (x1 , . . . , x(n−1) ). Îáîçíà÷èì62÷åðåç Jn è Jn−1 ìàòðèöû ßêîáè äëÿ ìíîãîîáðàçèÿ è äëÿ åãî êðàÿ ñîîòâåòñòâåííî. Íàì äàíî, ÷òî det Jn > 0. Òðåáóåòñÿ ïðîâåðèòü, ÷òî det Jn−1 òîæåáîëüøå íóëÿ. àññìîòðèì äëÿ ýòîãî ïîäðîáíåå ñòðîåíèå ìàòðèöû Jn :..∂x1∂xn−1 ∂xn∂xn ∂xnJn =Jn−1 .. . . (n−1)′∂xn′∂xn′ ∂x1′∂xn′∂xËåãêî âèäåòü, ÷òî â òî÷êàõ êðàÿ âñå ýëåìåíòû ïîñëåäíåé ñòðîêè çà èñêëþ÷åíèåì ïîñëåäíåãî îáðàùàþòñÿ â íóëü (ýòî ñëåäóåò èç òîãî, ÷òî óíê′′öèÿ xn êàê óíêöèÿ îò ïåðåìåííûõ x1 , .
. . , x(n−1) òîæäåñòâåííî ðàâíà íóëþ íà êðàå). Ïîýòîìódet Jn = det Jn−1 ·∂xn.∂xn′∂xn> 0, ïîñêîëüêó óíêöèÿ xn âîçðàñòàåò ïðè∂xn′′îòõîäå îò êðàÿ (ò.å. ïðè óâåëè÷åíèè xn ). Òàêèì îáðàçîì,Îñòàëîñü çàìåòèòü, ÷òîdet Jn−1 > 0,÷òî è òðåáîâàëîñü äîêàçàòü.Çàìå÷àíèå Îðèåíòàöèÿ, ââåäåííàÿ ïðè äîêàçàòåëüñòâå ïðåäëîæåíèÿ 3,ÿâëÿåòñÿ îðèåíòàöèåé "ïðè ïîìîùè âíóòðåííåé íîðìàëè". Ýêâèâàëåíòíûìîáðàçîì åå ìîæíî îïðåäåëèòü òàê.
Áàçèñ e1 , . . . , en−1 â êàñàòåëüíîì ïðîñòðàíñòâå ê êðàþ áóäåò íàçûâàòüñÿ ïîëîæèòåëüíî îðèåíòèðîâàííûì, åñëèáàçèñ e1 , . . . , en−1 , n ïîëîæèòåëüíî îðèåíòèðîâàí â êàñàòåëüíîì ïðîñòðàíñòâå êî âñåìó ìíîãîîáðàçèþ. Çäåñü n âíóòðåííÿÿ íîðìàëü ê êðàþ.Èíòåãðèðîâàíèå äèåðåíöèàëüíûõ îðìÏóñòü M ìíîãîîáðàçèå ñ êðàåì, èω = f (x1 , . . . , xn )dx1 ∧ · · · ∧ dxnRäèåðåíöèàëüíàÿ îðìà ìàêñèìàëüíîãî ðàíãà íà íåì.
×òî òàêîå M ω ?Îáñóæäåíèåëàâíîå òðåáîâàíèå, êîòîðîì äîëæíî óäîâëåòâîðÿòü èíòåãðèðîâàíèå ýòî íåçàâèñèìîñòü îò âûáîðà ëîêàëüíîé ñèñòåìû êîîðäèíàò. Âòîðîå åñòåñòâåííîå òðåáîâàíèå: èíòåãðàë îò äèåðåíöèàëüíîé îðìû äîëæåí áûòüàíàëîãîì îáû÷íîãî êðàòíîãî èíòåãðàëà ïî îáëàñòè åâêëèäîâà ïðîñòðàíñòâà.Ïðåäïîëîæèì ñíà÷àëà, ÷òî íîñèòåëü äèåðåíöèàëüíîé îðìû ω ñîäåðæèòñÿ â íåêîòîðîé êàðòå U . Ïóñòü ϕ : U → V êîîðäèíàòíûé ãîìåîìîðèçì, V îáëàñòü â åâêëèäîâîì ïðîñòðàíñòâå Rn è x1 , .
. . , xn ñîîòâåòñòâóþùèå ëîêàëüíûå êîîðäèíàòû. Òîãäà ïî îïðåäåëåíèþ ìû ïîëàãàåìZZZω=f (x1 , . . . , xn )dx1 ∧ · · · ∧ dxn =f (x1 , . . . , xn )dx1 . . . dxn .MUVÏîñìîòðèì, ÷òî ïðîèçîéäåò ïðè çàìåíå ëîêàëüíûõ êîîðäèíàò â îáëàñòèU . Ïóñòü x1′ , . . . , xn′ äðóãèå ëîêàëüíûå êîîðäèíàòû â U . Ñ îðìàëüíîé63òî÷êè çðåíèÿ ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ìû ðàññìàòðèâàåì íîâûé êîîðäèíàòíûéãîìåîìîðèçì ϕ′ : U → V ′ . Ôóíêöèè ïåðåõîäà êàê âñåãäà ïðåäïîëàãàþòñÿãëàäêèìè.Òîãäà çàïèñü äèåðåíöèàëüíîé îðìû â ëîêàëüíûõ êîîðäèíàòàõ èçìåíèòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì′′f dx1 ∧ · · · ∧ dxn = f · det J dx1 ∧ · · · ∧ dxn .Òîãäà êàê äëÿ êðàòíîãî èíòåãðàëà ìû èìååì ñëåäóþùóþ îðìóëóZZ′′1nf dx .
. . dx =f · | det J| dx1 . . . dxn .VV′Ñðàâíèâàÿ ýòè äâå îðìóëû, ìû âèäèì, ÷òî äàííîå âûøå îïðåäåëåíèåèíòåãðàëà áóäåò êîððåêòíûì òîëüêî ïðè çàìåíàõ êîîðäèíàò ñ ïîëîæèòåëüíûì ÿêîáèàíîì. Òàêèì îáðàçîì, ìû äîëæíû ïîòðåáîâàòü, ÷òîáû ìíîãîîáðàçèå áûëî îðèåíòèðîâàííûì, çàòåì ñ÷èòàòü îðèåíòàöèþ íà íåì èêñèðîâàííîé è ðàññìàòðèâàòü òîëüêî ïîëîæèòåëüíî îðèåíòèðîâàííûå ñèñòåìûêîîðäèíàò.
Ïðè âûïîëíåíèè ýòèõ òðåáîâàíèé íèêàêèõ ïðîáëåì ñ êîððåêòíîñòüþ îïðåäåëåíèÿ íå âîçíèêàåò. È ìû ïîëó÷àåì îïðåäåëåíèå èíòåãðàëàâ ñëó÷àå, êîãäà íîñèòåëü îðìû ñîäåðæèòñÿ â íåêîòîðîé êàðòå.×òî äåëàòü, êîãäà íîñèòåëü îðìû íå ñîäåðæèòñÿ íè â êàêîé êàðòå? Âýòîì ñëó÷àå íàì, ãðóáî ãîâîðÿ, ïîòðåáóåòñÿ èñïîëüçîâàòü íåñêîëüêî êàðò,ïîêðûâàþùèõ íîñèòåëü îðìû ω , è âçÿòü çàòåì ñóììó èíòåãðàëîâ ïî êàæäîé êàðòå. Îäíàêî, êàðòû îáû÷íî ïåðåêðûâàþòñÿ, ïîýòîìó åñëè ïðèìåíèòüóêàçàííóþ ïðîöåäóðó áóêâàëüíî, òî ïî íåêîòîðûì ó÷àñòêàì ìíîãîîáðàçèÿèíòåãðèðîâàíèå áóäåò ïðîâåäåíî íåñêîëüêî ðàç, è ñîîòâåòñòâóþùåå çíà÷åíèå âîéäåò â êîíå÷íûé ðåçóëüòàò ñ íåêîòîðîé êðàòíîñòüþ, ÷åãî ìû, ðàçóìååòñÿ, íå õîòèì. ×òîáû óñòðàíèòü ýòó ïðîáëåìó, èñïîëüçóåì ñòàíäàðòíóþêîíñòðóêöèþ ðàçáèåíèÿ åäèíèöû.Ïóñòü ìíîãîîáðàçèå M êîìïàêòíî è îðèåíòèðîâàíî, {Uα } êîíå÷íûéïîëîæèòåëüíî îðèåíòèðîâàííûé àòëàñ. àññìîòðèì ðàçáèåíèå åäèíèöû, ïîä÷èíåííîå ýòîìó àòëàñó, ò.å.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
