Лекции в формате PDF (1124094), страница 12
Текст из файла (страница 12)
Îíî ñëåäóåò íà ñàìîì äåëåèç òðåõ ïðåäûäóùèõ. ×òîáû ýòî óâèäåòü, íóæíî âçÿòü ñïåöèàëüíóþ ëèíåéíóþ êîìáèíàöèþ íåñêîëüêèõ òîæäåñòâ ßêîáè. àññìîòðèì íà÷àëà âûðàæåíèå hR(Y, Z)X, W i. Çàòåì âîçüìåì ÷åòûðå âûðàæåíèÿ, ïîëó÷àþùèåñÿ èçíåãî öèêëè÷åñêèìè ïåðåñòàíîâêàìè âñåõ ÷åòûðåõ àðãóìåíòîâ, è íàêîíåö,äëÿ êàæäîãî èç ïîëó÷åííûõ âûðàæåíèé âûïèøåì òîæäåñòâî ßêîáè (ïîïåðâûì òðåì àðãóìåíòàì) è ñëîæèì ïîëó÷åííûå ÷åòûðå òîæäåñòâà. ÈìååìhR(Y, Z)X, W i + hR(Z, X)Y, W i + hR(X, Y )Z, W i = 0,hR(Z, X)W, Y i + hR(X, W )Z, Y i + hR(W, Z)X, Y i = 0,hR(X, W )Y, Zi + hR(W, Y )X, Zi + hR(Y, X)W, Zi = 0,hR(W, Y )Z, Xi + hR(Y, Z)W, Xi + hR(Z, W )Y, Xi = 0.Ñóììèðóÿ ýòè âûðàæåíèÿ è èñïîëüçóÿ óæå äîêàçàííûå ñâîéñòâà êîñîé ñèììåòðèè 1) è 3), ëåãêî óáåäèòüñÿ, ÷òî âñå ÷ëåíû ñîêðàùàþòñÿ, êðîìå ñòîÿùèõíà ïîñëåäíåì ìåñòå.
Îíè ïîïàðíî ñîâïàäàþò è ìû â èòîãå ïîëó÷àåìhR(X, Y )Z, W i + hR(W, Z)X, Y i + hR(Y, X)W, Zi + hR(Z, W )Y, Xi == 2hR(X, Y )Z, W i − 2hR(Z, W )X, Y i = 0,÷òî è òðåáîâàëîñü. Òåîðåìà äîêàçàíà.Ìîæíî ïðîâåðèòü âñå óòâåðæäåíèÿ òåîðåìû è ñ ïîìîùüþ ÿâíûõ îðìóëäëÿ êîìïîíåíò òåíçîðà êðèâèçíû. Äëÿ òåíçîðà R îäíèì âåðõíèì èíäåêñîìòàêàÿ îðìóëà óæå áûëà ïîëó÷åíà. Ïðèâåäåì òàêæå ÿâíóþ îðìóëó äëÿ55òåíçîðà êðèâèçíû ñ íèæíèìè èíäåêñàìè.
Ïðè÷åì, ïîëüçóÿñü òåì, ÷òî ñèìâîëû Êðèñòîåëÿ ìîãóò áûòü âûðàæåíû ÷åðåç ìåòðèêó, ìû ïîñòàðàåìñÿâûðàçèòü êîìïîíåíòû òåíçîðà êðèâèçíû ÷åðåç ìåòðèêó íåïîñðåäñòâåííî.ÏðåäëîæåíèåRiq,kl1=2∂ 2 gli∂ 2 gqk∂ 2 gki∂ 2 gql+−−∂xk ∂xq∂xl ∂xi∂xl ∂xq∂xk ∂xiβα β+ gαβ ΓαΓ−ΓΓqk ilql ikÄîêàçàòåëüñòâî Êîìïîíåíòû òåíçîðà êðèâèçíû ìîãóò áûòü âû÷èñëåíûïî îðìóëåRiq,kl = hR(ek , el )eq , ei i = h∇ek ∇el eq , ei i − h∇el ∇ek eq , ei i.Âû÷èñëèì îòäåëüíî ïåðâûé ÷ëåí ýòîãî âûðàæåíèÿ (âòîðîé ïîëó÷àåòñÿ èçíåãî ïåðåñòàíîâêîé èíäåêñîâ k è l). Èìååìh∇ek ∇el eq , ei i == ∇ek h∇el eq , ei i − h∇el eq , ∇ek ei i =∂βΓql,i − gαβ Γα=ql Γik =∂xk1 ∂giq∂gli∂gqlΓql,i =+−2 ∂xl∂xq∂xi 2221∂ giq∂ gli∂ gqlβ+ k q − k i − gαβ Γαql Γikkl2 ∂x ∂x∂x ∂x∂x ∂xïðèìåíÿåì îðìóëóÒåïåðü ìåíÿåì èíäåêñû k è l ìåñòàìè è âû÷èòàåì èç ïîëó÷åííîãî âûðàæåíèÿ (ò.å.
àêòè÷åñêè äåëàåì àëüòåðíèðîâàíèå). Îêîí÷àòåëüíî ïîëó÷àåì 2∂ gli∂ 2 gqk∂ 2 gki∂ 2 gql1α βα βRiq,kl =+−−+gΓΓ−ΓΓαβqk ilql ik ,2 ∂xk ∂xq∂xl ∂xi∂xl ∂xq∂xk ∂xi÷òî è òðåáîâàëîñü. Ëåãêî âèäåòü, ÷òî èç ýòîé ÿâíîé îðìóëû ñðàçó ñëåäóþòñâîéñòâà (2), (3) è (4) èç äîêàçàííîé âûøå òåîðåìû î ñèììåòðèÿõ òåíçîðàêðèâèçíû.56Ëåêöèÿ 10.Òåíçîð è÷÷è è ñêàëÿðíàÿ êðèâèçíà.Îïðåäåëåíèå 1 Òåíçîðîì è÷÷è íàçûâàåòñÿ ñâåðòêà òåíçîðà êðèâèçíûâèäàiRql = Rq,il.Îïðåäåëåíèå 2 Ñêàëÿðíîé êðèâèçíîé ìíîãîîáðàçèÿ íàçûâàåòñÿ óíêöèÿ(òåíçîð òèïà (0,0)), ÿâëÿþùàÿñÿ ïîëíîé ñâåðòêîé òåíçîðà è÷÷èR = g ql Rql .Ìîæíî îïðåäåëèòü ñêàëÿðíóþ êðèâèçíó íåïîñðåäñòâåííî ÷åðåç òåíçîð êðèâèçíû:R = g ik g ql Riq,kl .åîìåòðè÷åñêèé ñìûñë ñêàëÿðíîé êðèâèçíû â ñëó÷àå äâóìåðíîãî ìíîãîîáðàçèÿ.
Òåîðåìà àóññà. ñëó÷àå äâóìåðíîãî ìíîãîîáðàçèÿ òåíçîð êðèâèçíû Riq,kl èìååò òîëüêîîäíó ñóùåñòâåííóþ êîìïîíåíòó R12,12 . Âñå îñòàëüíûå ëèáî âûðàæàþòñÿ÷åðåç íåå, ëèáî ðàâíû íóëþ. Òî÷íååR12,12 = R21,21 = −R12,21 = −R21,12 ,à âñå îñòàëüíûå êîìïîíåíòû ðàâíû íóëþ. Ýòî îáñòîÿòåëüñòâî ïîçâîëÿåòâûïèñàòü ïðîñòóþ îêîí÷àòåëüíóþ îðìóëó äëÿ ñêàëÿðíîé êðèâèçíû (ýòóîðìóëó, êñòàòè, ìîæíî èñïîëüçîâàòü è äëÿ âû÷èñëåíèÿ êîìïîíåíò òåíçîðàêðèâèçíû):R = g ik g ql Riq,kl == R12,12 g 11 g 22 + R21,21 g 22 g 11 + R12,21 g 12 g 21 + R21,12 g 21 g 12 =2R12,12= 2R12,12 (g 11 g 22 − g 12 g 21 ) =,det Gãäå G ìàòðèöà ðèìàíîâîé ìåòðèêè. Èòàê, ìû äîêàçàëè ñëåäóþùåå óòâåðæäåíèå.Ïðåäëîæåíèå 1  ñëó÷àå äâóìåðíîãî ìíîãîîáðàçèÿ èìååò ìåñòî îðìóëàR=2R12,12det GÒåïåðü ìû äîêàæåì åùå îäíî óòâåðæäåíèå, äàþùåå ãåîìåòðè÷åñêóþ èíòåðïðåòàöèþ ñêàëÿðíîé êðèâèçíû â ñëó÷àå äâóìåðíûõ ïîâåðõíîñòåé â òðåõìåðíîì ïðîñòðàíñòâå.Òåîðåìà àóññà Ïóñòü V 2 ⊂ R3 äâóìåðíàÿ ïîâåðõíîñòü â òðåõìåðíîìåâêëèäîâîì ïðîñòðàíñòâå.
Òîãäà èìååò ìåñòî îðìóëàR = 2K,57ãäå R ñêàëÿðíàÿ êðèâèçíà, à K ãàóññîâà êðèâèçíà ïîâåðõíîñòè.Äîêàçàòåëüñòâî Íàïîìíèì, ÷òî ãàóññîâà êðèâèçíà ïîâåðõíîñòè îïðåäåëÿåòñÿ ïî îðìóëådet QK=,det Gãäå G ïåðâàÿ êâàäðàòè÷íàÿ îðìà, Q âòîðàÿ êâàäðàòè÷íàÿ îðìàïîâåðõíîñòè.Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà óòâåðæäåíèÿ âûáåðåì ñïåöèàëüíóþ (óäîáíóþ äëÿâû÷èñëåíèé) ëîêàëüíóþ ñèñòåìó êîîðäèíàò íà ïîâåðõíîñòè.
Çàìåòèì, ÷òîîðìóëà, êîòîðóþ íàì òðåáóåòñÿ äîêàçàòü íå çàâèñèò îò âûáîðà ñèñòåìûêîîðäèíàò. Ïîýòîìó âû÷èñëåíèÿ ìîæíî ïðîâîäèòü â òîé ñèñòåìå êîîðäèíàò,êîòîðóþ ìû ñàìè ñ÷èòàåì ïîäõîäÿùåé.Áåç îãðàíè÷åíèÿ îáùíîñòè (ñäåëàâ, åñëè òðåáóåòñÿ ïåðåõîä ê íîâîé ñèñòåìå äåêàðòîâûõ êîîðäèíàò â ïðîñòðàíñòâå) ìû ìîæåì ñ÷èòàòü, ÷òî âîêðåñòíîñòè ðàññìàòðèâàåìîé òî÷êè P ∈ V 2 ïîâåðõíîñòü çàäàíà â âèäåãðàèêà V = {z = f (x, y)}, ïðè÷åì êàñàòåëüíàÿ ïëîñêîñòü â èêñèðîâàííîé òî÷êå P ñîâïàäàåò ñ ïëîñêîñòüþ Oxy .
Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî fx = fy = 0 âòî÷êå P . êà÷åñòâå ëîêàëüíûõ êîîðäèíàò â òî÷êå P ìû âîçüìåì êîîðäèíàòû(x, y), êàê ýòî è äåëàåòñÿ îáû÷íî â ñëó÷àå ãðàèêà. Ïðè èñïîëüçîâàíèèòåíçîðíûõ îáîçíà÷åíèé ìû ïîëàãàåì x1 = x, x2 = y .Âû÷èñëèì çíà÷åíèå ìåòðè÷åñêîãî òåíçîðà è ñèìâîëîâ Êðèñòîåëÿ âýòîé ñèñòåìå êîîðäèíàòP . Èìååìâ äàííîé èêñèðîâàííîé òî÷êågij = δij + fxi fxj .Îòñþäàgij = δijâ òî÷êå P .Êðîìå òîãî, ëåãêî âèäåòü, ÷òî∂gij=0∂xkÏîýòîìóΓkij = 0â òî÷êå P .â òî÷êå P .Îòìåòèì, ÷òî ðàâåíñòâî íóëþ ñèìâîëîâ Êðèñòîåëÿ èìååò ìåñòî òîëüêîâ ñàìîé òî÷êå P , à íå â åå îêðåñòíîñòè.Òåïåðü ìû ìîæåì ïðèìåíèòü ïîëó÷åííûå âûøå îðìóëû äëÿ êîìïîíåíòòåíçîðà êðèâèçíû è ñêàëÿðíîé êðèâèçíû. Ïîëó÷àåì1∂g12∂g12∂g11∂g22R12,12 (P ) =+ 2 1− 2 2− 1 1 =2 ∂x1 ∂x2∂x ∂x∂x ∂x∂x ∂x1= (2(fx1 x1 fx2 x2 + fx1 x2 ) − 2fx1 x2 fx1 x2 ) =2= fxx fyy − (fxy )2 .58ÄàëååR=Ïîýòîìó â òî÷êå P2R12,12det G2R(P ) = 2(fxx fyy − fxy)Âñïîìíèì, íàêîíåö, îðìóëó äëÿ ãàóññîâîé êðèâèçíû.
 ñëó÷àå, êîãäàïîâåðõíîñòü çàäàíà â âèäå ãðàèêà, îíà èìååò âèäK=2fxx fyy − fxy.22(1 + fx + fy )2Òîãäà â òî÷êå P èìååì2K(P ) = fxx fyy − fxy.Òàêèì îáðàçîì, R(P ) = 2K(P ).  ñèëó ïðîèçâîëüíîñòè òî÷êè P òåîðåìàäîêàçàíà.Ñëåäñòâèå Åñëè íà ïîâåðõíîñòè V 2 ⊂ R3 ãàóññîâà êðèâèçíà K îòëè÷íà îòíóëÿ, òî íà ýòîé ïîâåðõíîñòè íåëüçÿ ââåñòè ëîêàëüíî åâêëèäîâû êîîðäèíàòû.
Íàîáîðîò, åñëè K ≡ 0, òî â îêðåñòíîñòè êàæäîé òî÷êè òàêèå êîîðäèíàòûñóùåñòâóþò, è èíäóöèðîâàííàÿ ìåòðèêà ÿâëÿåòñÿ ëîêàëüíî åâêëèäîâîé.Èíòåãðèðîâàíèå äèåðåíöèàëüíûõ îðì.Çäåñü ìû íàïîìíèì íåêîòîðûå êîíñòðóêöèè, ñâÿçàííûå ñ äèåðåíöèàëüíûìè îðìàìè.×åðåç Ωk (M ) ìû îáîçíà÷èì ïðîñòðàíñòâî ãëàäêèõ äèåðåíöèàëüíûõîðì ñòåïåíè k íà ìíîãîîáðàçèè M . Íà ýòîì ïðîñòðàíñòâå îïðåäåëåí îïåðàòîð êîâàðèàíòíîãî äèåðåíöèðîâàíèÿ d, ñîïîñòàâëÿþùèé êàæäîé äèåðåíöèàëüíîé îðìå îðìó íà åäèíèöó áîëüøåé ñòåïåíè:d : Ωk (M ) → Ωk+1 (M ).Ïåðå÷èñëèì îñíîâíûå ñâîéñòâà ýòîãî îïåðàòîðà.Ïðåäëîæåíèå. (Ñâîéñòâà âíåøíåãî äèåðåíöèðîâàíèÿ)1) Ëèíåéíîñòü: d(λω1 + µω2 ) = λdω1 + µdω2 äëÿ ëþáûõ λ, µ ∈ R;2) Åñëè f ãëàäêàÿ óíêöèÿ, òî d(f ω) = f dω + df ∧ ω ;3) Åñëè ω1 , ω2 äèåðåíöèàëüíûå îðìû ñòåïåíè k1 è k2 ñîîòâåòñòâåííî, òî d(ω1 ∧ ω2 ) = dω1 ∧ ω2 + (−1)k1 ω1 ∧ dω2 ;4) d2 = 0, ò.å.
d(dω) = 0 äëÿ ëþáîé äèåðåíöèàëüíîé îðìû ω .Äëÿ îðìóëèðîâêè åùå îäíîãî âàæíîãî ñâîéñòâà ââåäåì ïîíÿòèå ïðîîáðàçà äèåðåíöèàëüíîé îðìû ïðè ãëàäêîì îòîáðàæåíèè, èëè ÷òî òî æåñàìîå, îïåðàöèþ ïåðåíåñåíèÿ äèåðåíöèàëüíîé îðìû ñ ïîìîùüþ ãëàäêîãî îòîáðàæåíèÿ.àññìîòðèì ãëàäêîå îòîáðàæåíèå F : N → M ãëàäêèõ ìíîãîîáðàçèé.Ýòî îòîáðàæåíèå ïîçâîëÿåò ïî êàæäîé äèåðåíöèàëüíîé îðìå ω ∈ Ωk (M )íà ìíîãîîáðàçèè M ïîñòðîèòü íåêîòîðóþ äèåðåíöèàëüíóþ îðìó íàìíîãîîáðàçèè N , êîòîðóþ ìû îáîçíà÷èì ÷åðåç F ∗ ω . Äàäèì äâà îïðåäåëåíèÿ êîîðäèíàòíîå è èíâàðèàíòíîå.59Èíâàðèàíòíîå îïðåäåëåíèå Äèåðåíöèàëüíàÿ îðìà F ∗ ω , ðàññìàòðèâàåìàÿ êàê ïîëèëèíåéíîå îòîáðàæåíèå íà íàáîðàõ èç k êàñàòåëüíûõ âåêòîðîâ ê ìíîãîîáðàçèþ N , îïðåäåëÿåòñÿ ñëåäóþùèì ðàâåíñòâîìF ∗ ω(ξ1 , .
. . , ξk ) = ω(dF (ξ1 ), . . . , dF (ξk )),ãäå ξ1 , . . . , ξk ∈ TP N êàñàòåëüíûå âåêòîðû ê N , dF : TP N → TF (P ) M äèåðåíöèàë îòîáðàæåíèÿ F .Ïóñòü (x1 , . . . , xn ) ëîêàëüíûå êîîðäèíàòû â îêðåñòíîñòè òî÷êè P ∈ N ,1(y , . . . , y m ) ëîêàëüíûå êîîðäèíàòû â îêðåñòíîñòè åå îáðàçà F (P ) ∈ M .Òîãäà îòîáðàæåíèå F ìîæåò áûòü çàïèñàíî â ýòèõ êîîðäèíàòàõy 1 = f 1 (x1 , .
. . , xn ),...ym= f m (x1 , . . . , xn ).Êîîðäèíàòíîå îïðåäåëåíèå ÏóñòüXω=ωi1 ...ik (y 1 , . . . , y m )dy i1 ∧ · · · ∧ dy ik .ÒîãäàXF ∗ω =ωi1 ...ik (f 1 (x), . . . , f m (x))df i1 (x) ∧ · · · ∧ df ik (x) = i1 ikX∂f∂fj1jk=ωi1 ...ik (f 1 (x), . . . , f m (x))dx∧···∧dx=∂xj1∂xjkX∂f ik∂f i1=ωi1 ...ik (f 1 (x), . . . , f m (x)) j1 . . . j dxj1 ∧ · · · ∧ dxjk .∂x∂x kÇàäà÷à Ïðîâåðüòå ýêâèâàëåíòíîñòü ýòèõ äâóõ îïðåäåëåíèé.Èòàê, ìû ïîñòðîèëè ëèíåéíûé îïåðàòîðF ∗ : Ωk (M ) → Ωk (N ).Ñîðìóëèðóåì òåïåðü åùå îäíî ñâîéñòâî îïåðàòîðà d.Ïðåäëîæåíèå (ïðîäîëæåíèå)5) Îïåðàòîð ïåðåíåñåíèÿ F ∗ è îïåðàòîð âíåøíåãî äèåðåíöèðîâàíèÿd êîììóòèðóþò, ò.å.F ∗ (dω) = d(F ∗ ω).Äîêàçàòåëüñòâî Äîêàçàòåëüñòâî ëåãêî ïðîâîäèòñÿ â ëîêàëüíûõ êîîðäèíàòàõ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
