Лекции в формате PDF (1124094), страница 4
Текст из файла (страница 4)
∂xn∂xn.........∂x1′∂xn′∂x1′∂xn′ ÿêîáèàí çàìåíû. Èòàê, ìû ïîëó÷èëè ñëåäóþùóþ âàæíóþ îðìóëóT1′ 2′ ...n′ = T12...n · JÝòà îðìóëà àíàëîãè÷íà îðìóëå çàìåíû êîîðäèíàò ïîä çíàêîì êðàòíîãîèíòåãðàëà. Ìû áóäåì ïîëüçîâàòüñÿ åå íèæå, êîãäà çàéìåìñÿ èíòåãðèðîâàíèåì äèåðåíöèàëüíûõ îðì ïî ìíîãîîáðàçèþ.Äèåðåíöèàëüíûå îðìû íà ãëàäêîì ìíîãîîáðàçèè. Äèåðåíöèàëüíóþ îðìó íà ãëàäêîì ìíîãîîáðàçèè ìîæíî ðàññìàòðèâàòü äâîÿêî:141) êàê ïîëèëèíåéíîå îòîáðàæåíèå2) îðìàëüíî, êàê âûðàæåíèå âèäàXω=Ti1 ...ik dxi1 ∧ · · · ∧ dxik .Ïî-ñóùåñòâó äèåðåíöèàëüíàÿ îðìà ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê óäîáíóþ îðìó ïðåäñòàâëåíèÿ êîñîñèììåòðè÷åñêîãî òåíçîðíîãî ïîëÿ. Åñëè ìûðàññìàòðèâàåì äèåðåíöèàëüíóþ îðìó êàê âûðàæåíèå ñïåöèàëüíîãîâèäà, ìû äîëæíû óìåòü ñðàâíèâàòü òàêèå âûðàæåíèÿ, îòíîñÿùèå ê ðàçíûìñèñòåìàì êîîðäèíàò.
 ÷àñòíîñòè, ìû äîëæíû îáúÿñíèòü â êàêîì ñëó÷àåäâà âûðàæåíèÿXω=Ti1 ...ik dxi1 ∧ · · · ∧ dxikX′′ω′ =T̃i′1 ...i′k dxi1 ∧ · · · ∧ dxikìû áóäåì ñ÷èòàòü ñîâïàäàþùèìè íà ïåðåñå÷åíèè ñîîòâåòñòâóþùèõ êàðò.Îòâåò ïðîñòîé. Âî-ïåðâûõ, îáà ýòèõ âûðàæåíèÿ ìîãóò áûòü ðàññìîòðåíû êàê òåíçîðíûå ïîëÿ, ïîýòîìó èõ ñîâïàäåíèå îçíà÷àåò, ÷òî îíè çàäàþòîäíî è òî æå òåíçîðíîå ïîëå.
Äðóãèìè ñëîâàìè, äëÿ ëþáîãî íàáîðà èç kêàñàòåëüíûõ âåêòîðîâ íà ïåðåñå÷åíèè êàðò äîëæíî áûòü âûïîëíåíî òîæäåñòâî ω(ξ~1 , . . . , ξ~k ) = ω ′ (ξ~1 , . . . , ξ~k ).Âî-âòîðûõ, ìû ìîæåì âîñïîëüçîâàòüñÿ åñòåñòâåííûì çàêîíîì ïðåîáðàçîâàíèÿ êîîðäèíàò â äèåðåíöèàëüíûõ îðìàõ. Ôîðìû ω è ω ′ ñîâïàäàþò(íà ïåðåñå÷åíèè êàðò), åñëè âûðàæåíèå ω ′ ïåðåõîäèò â ω ïîñëå ïîäñòàíîâ′′′′∂xij ijêè xij = xij (x1 , .
. . , xn ), dxij =dx , ðàñêðûòèÿ ñêîáîê è ïðèâåäåíèÿ∂xijïîäîáíûõ ñëàãàåìûõ.Ëåãêî âèäåòü, ÷òî ýòè äâà ñïîñîáà ýêâèâàëåíòíû (óáåäèòåñü â ýòîì).Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî âçàèìíî îäíîçíà÷íîå ñîîòâåòñòâèå ìåæäó äèåðåíöèàëüíûìè îðìàìè è êîñîñèììåòðè÷åñêèìè òåíçîðàìè íå çàâèñèò îò âûáîðàñèñòåìû êîîðäèíàò.Òàêèì îáðàçîì, ìû ìîæåì äàòü äâà ýêâèâàëåíòíûõ îïðåäåëåíèÿ äèåðåíöèàëüíîé îðìû íà ãëàäêîì ìíîãîîáðàçèè.Îïðåäåëåíèå 3 Äèåðåíöèàëüíàÿ îðìà ñòåïåíè k íà ãëàäêîì ìíîãîîáðàçèè M ýòî ãëàäêîå êîñîñèììåòðè÷åñêîå òåíçîðíîå ïîëå òèïà (0, k).Îïðåäåëåíèå 3' Ìû áóäåì ãîâîðèòü, ÷òî íà ãëàäêîì ìíîãîîáðàçèè Mçàäàíà äèåðåíöèàëüíàÿ îðìà ñòåïåíè k , åñëè â êàæäîé ëîêàëüíîé ñèñòåìå êîîðäèíàò çàäàíî âûðàæåíèå âèäàXω=Ti1 ...ik dxi1 ∧ · · · ∧ dxik ,Ïðè÷åì íà ïåðåñå÷åíèè êàðò ýòè âûðàæåíèÿ ñîâïàäàþò: ω = ω ′ (â ñìûñëåïðàâèëà çàìåíû êîîðäèíàò â äèåðåíöèàëüíûõ îðìàõ).Îáîçíà÷åíèå Ïðîñòðàíñòâî äèåðåíöèàëüíûõ îðì ñòåïåíè k íà ìíîãîîáðàçèè M ìû áóäåì îáîçíà÷àòü ÷åðåç Ωk (M ).Çàäà÷à Ïóñòü θ, ϕ ñòàíäàðòíûå êîîðäèíàòû íà ñåðå.
ßâëÿþòñÿ ëèãëàäêèìè äèåðåíöèàëüíûìè îðìàìè íà ñåðå âûðàæåíèÿ âèäà dϕ, dθ,sin θdθ.15Îïåðàöèÿ âíåøíåãî óìíîæåíèÿ.Ïóñòü ω1 , ω2 äèåðåíöèàëüíûå îðìû íà ìíîãîîáðàçèè M . Ìûõîòèì îïðåäåëèòü èõ âíåøíåå ïðîèçâåäåíèå ω1 ∧ ω2 .Ïóñòü â ëîêàëüíîé ñèñòåìå êîîðäèíàò x1 , . . . , xn ìû èìååìXω1 =Ti1 ...ik dxi1 ∧ · · · ∧ dxik ,(i)∈Iω2 =XTj1 ...jl dxj1 ∧ · · · ∧ dxjl(j)∈JÒîãäà ïî îïðåäåëåíèþ ìû ïîëàãàåì, ÷òî îðìà ω1 ∧ ω2 èìååò âèä XXω1 ∧ ω2 = Ti1 ...ik dxi1 ∧ · · · ∧ dxik ∧ Pj1 ...jl dxj1 ∧ · · · ∧ dxjl =(i)∈I(j)∈J=X Xi1Ti1 ...ik Pj1 ...jl dx ∧ · · · ∧ dxik ∧ dxj1 ∧ · · · ∧ dxjl ,(i)∈I (j)∈Jò.å. ÿâëÿåòñÿ äèåðåíöèàëüíîé îðìîé ñòåïåíè k + l.Ýòî îïðåäåëåíèå êîððåêòíî, ò.å. íå çàâèñèò îò âûáîðà ëîêàëüíîé ñèñòåìû êîîðäèíàò, â êîòîðîé ìû ïðîèçâîäèì âû÷èñëåíèÿ. Äðóãèìè ñëîâàìè, åñ′′ëè ìû èìååì äâå ëîêàëüíûå ñèñòåìû êîîðäèíàò (x1 , .
. . , xn ) è (x1 , . . . , xn )è íà ïåðåñå÷åíèè U ∪ U ′ ñîîòâåòñòâóþùèõ êàðòω1 = ω1′ ,ω2 = ω2′ ,òîω1 ∧ ω2 = ω1′ ∧ ω2′ .Ýòî óòâåðæäåíèå ïî÷òè î÷åâèäíî. Ñîãëàñíî äàííîìó âûøå îïðåäåëåíèþâíåøíåå óìíîæåíèå ñâîäèòñÿ ê ïðîñòîìó ðàñêðûòèþ ñêîáîê. ßñíî, ÷òî çàìåíó êîîðäèíàò ìîæíî äåëàòü è äî, è ïîñëå ðàñêðûòèÿ ñêîáîê. åçóëüòàòîò ýòîãî çàâèñåòü íå áóäåò.Îòìåòèì íåêîòîðûå âàæíûå ñâîéñòâà îïåðàöèè âíåøíåãî óìíîæåíèÿ.Ïðåäëîæåíèå 21) Îïåðàöèÿ âíåøíåãî ïðîèçâåäåíèÿ áèëèíåéíà ïî êàæäîìó èç ñîìíîæèòåëåé.2) Îïåðàöèÿ âíåøíåãî ïðîèçâåäåíèÿ àññîöèàòèâíà:ω1 ∧ (ω2 ∧ ω3 ) = (ω1 ∧ ω2 ) ∧ ω3.3) Îïåðàöèÿ âíåøíåãî ïðîèçâåäåíèÿ àíòèêîììóòàòèâíà:ω2 ∧ ω1 = (−1)kl ω1 ∧ ω2 ,ãäå k , l ñòåïåíè îðì ω1 è ω2 .16Äîêàçàòåëüñòâî Ïåðâîå óòâåðæäåíèå î÷åâèäíî. À äâà ñëåäóþùèõ (â ñèëó ïåðâîãî) äîñòàòî÷íî ïðîâåðèòü íà áàçèñíûõ îðìàõ.
Ïðîäåëàéòå ýòîñàìîñòîÿòåëüíî.Ïîñêîëüêó ìû ìîæåì èíòåðïðåòèðîâàòü äèåðåíöèàëüíûå îðìû êàêêîñîñèììåòðè÷åñêèå òåíçîðû, òî è îïåðàöèþ âíåøíåãî óìíîæåíèÿ ìîæíîïåðåîðìóëèðîâàòü â òåðìèíàõ òåíçîðíûõ îïåðàöèé. Ñîðìóëèðóåì ðåçóëüòàò â âèäå çàäà÷è.Çàäà÷à Ïóñòü äèåðåíöèàëüíûå îðìû ω1 è ω2 ñîîòâåòñòâóþò êîñîñèììåòðè÷åñêèì òåíçîðíûì ïîëÿì T = {Ti1 ...ik } è P = {Pj1 ...jl } ñîîòâåòñòâåííî. Òîãäà êîñîñèììåòðè÷åñêîå òåíçîðíîå ïîëå, îòâå÷àþùåå îðìåω1 ∧ ω2 èìååò âèä(k + l)!alt(T ⊗ P ).k! l!Ëåêöèÿ 4.Îïåðàöèÿ êîâàðèàíòíîãî äèåðåíöèðîâàíèÿ.Ïðåæäå, ÷åì îïðåäåëèòü îïåðàöèþ êîâàðèàíòíîãî äèåðåíöèðîâàíèÿ,ìû íàïîìíèì óæå èçâåñòíóþ èç êóðñà ìàòåìàòè÷åñêîãî àíàëèçà îïåðàöèþâíåøíåãî äèåðåíöèðîâàíèÿ äèåðåíöèàëüíûõ îðì.Ïóñòü M ãëàäêîå ìíîãîîáðàçèå è ω ∈ Ωk (M ) äèåðåíöèàëüíàÿîðìà íà íåì. Ïóñòü â ëîêàëüíîé ñèñòåìå êîîðäèíàò ýòà îðìà èìååò âèäXω=Ti1 ...ik dxi1 ∧ · · · ∧ dxik .Îïðåäåëèì îïåðàöèþ êîâàðèàíòíîãî äèåðåíöèðîâàíèÿ d : Ωk (M ) →Ωk+1 (M ), êîòîðàÿ êàæäîé äèåðåíöèàëüíîé îðìå ñòåïåíè k ñîïîñòàâëÿåò äèåðåíöèàëüíóþ îðìó ñòåïåíè k + 1. êàæäîé ëîêàëüíîé ñèñòåìå êîîðäèíàò ýòà îïåðàöèÿ îïðåäåëÿåòñÿ òàêdω =X(dTi1 ...ik (x))∧dxi1 ∧· · ·∧dxik =X X ∂Ti1 ...ikα∂xα(x)dxα ∧dxi1 ∧· · ·∧dxik .Ýòà îïåðàöèÿ êîððåêòíî îïðåäåëåíà, ò.å.
íå çàâèñèò îò âûáîðà êîíêðåòíîé ñèñòåìû êîîðäèíàò. Ìîæíî ëè îïðåäåëèòü àíàëîãè÷íóþ îïåðàöèþ∇ : {òåíçîðíûå ïîëÿòèïà (p, q)} → {òåíçîðíûå ïîëÿòèïà (p, q + 1)}äëÿ ïðîèçâîëüíûõ òåíçîðíûõ ïîëåé òèïà (p, q) (íå îáÿçàòåëüíî äèåðåíöèàëüíûõ îðì)?Ïîñìîòðèì, ìîæíî ëè â êà÷åñòâån òàêîé îïåðàöèèâçÿòü îáû÷íîå ÷àñòoi ...iíîå äèåðåíöèðîâàíèå. Ïóñòü T = Tj11...jqp (x) ïðîèçâîëüíîå òåíçîðíîå17i ...i∂Tj 1...jqpi ...i1ïîëå è Sj11 ...jpq α (x) = ∂x(x) íàáîð ñîîòâåòñòâóþùèõ ÷àñòíûõ ïðîαèçâîäíûõ.noi ...iÓòâåðæäåíèå Íàáîð S = Sj11 ...jpq α òåíçîðíîãî ïîëÿ íå îáðàçóåò.∂fÏðîâåðêà àññìîòðèì ïðîñòåéøèé ÷àñòíûé ñëó÷àé, êîãäà T =∂xiäëÿ íåêîòîðîé ãëàäêîé óíêöèè f .∂2f.
Ïîñìîòðèì, êàê ñâÿçàíû ýòè íàáîðû â ðàçëè÷íûõÒîãäà Siα =∂xα xiñèñòåìàõ êîîðäèíàò. Èìååì∂2f∂f ∂xi∂f ∂ 2 xi∂∂ 2 f ∂xα ∂xi′′Si α ===+=′′′′′′∂xα ∂xi∂xα ∂xi ∂xi∂xi ∂xα ∂xi∂xα ∂xi ∂xα′ ∂xi′∂xα ∂xi∂ 2 xi+ Siα α′Ti α′ i′i′| ∂x{z ∂x }| ∂x{z ∂x }íåòåíçîðíûé äîáàâîê òåíçîðíàÿ ÷àñòüÂèäíî, ÷òî íàáîð S ïðåîáðàçóåòñÿ ïî òåíçîðíîìó çàêîíó òîëüêî ïðèëèíåéíûõ çàìåíàõ êîîðäèíàò. Ñëåäîâàòåëüíî, S íå òåíçîð.Òåì íå ìåíåå, ìû ìîæåì èñïîëüçîâàòü äëÿ îïðåäåëåíèÿ îïåðàöèè ∇îáû÷íóþ îïåðàöèþ êîâàðèàíòíîãî äèåðåíöèðîâàíèÿ, ñëåãêà ïîäïðàâèâåå òàêèì îáðàçîì, ÷òîáû ðåçóëüòàò áûë òåíçîðîì.àññìîòðèì ñíà÷àëà ïðîñòåéøèé ñëó÷àé, êîãäà M = Rn .Îïðåäåëåíèå 1 Ïîëîæèì ïî îïðåäåëåíèþ, ÷òî â äåêàðòîâîé (îðòîíîðìèðîâàííîé) ñèñòåìå êîîðäèíàò â Rn îïåðàöèÿ êîâàðèàíòíîãî äèåðåíöèðîâàíèÿ ∇ñ îáû÷íîé îïåðàöèåé ÷àñòíîãî äèåðåíöèðîâàíèÿ.
Âîâñåõ îñòàëüíûõ (êðèâîëèíåéíûõ) ñèñòåìàõ êîîðäèíàò îïðåäåëÿåòñÿ èç òðåáîâàíèÿ. Äðóãèìè ñëîâàìè, ÷òîáû ïîäñ÷èòàòü êîâàðèàíòíóþïðîèçâîäíóþ òåíçîðà â êðèâîëèíåéíîé ñèñòåìå êîîðäèíàò, íóæíî ñíà÷àëàñäåëàòü ýòî â äåêàðòîâîé ñèñòåìå êîîðäèíàò, à çàòåì ïåðåâåñòè ðåçóëüòàòâ êðèâîëèíåéíóþ ñèñòåìó êîîðäèíàò, ïîëüçóÿñü òåíçîðíûì çàêîíîì ïðåîáðàçîâàíèÿ.Ïîñìîòðèì, êàê æå âñå-òàêè áóäåò âûãëÿäåòü ðåçóëüòàò â êðèâîëèíåéíîéñèñòåìå êîîðäèíàò, ÷òîáû çàòåì ìîæíî áûëî ïðîâîäèòü äèåðåíöèðîâàíèå â ýòîé ñèñòåìå êîîðäèíàò íåïîñðåäñòâåííî, íå ïîëüçóÿñü äåêàðòîâûìèêîîðäèíàòàìè.′′Ïóñòü nx1 , . . . , oxn äåêàðòîâû êîîðäèíàòû, x1 , . .
. , xn êðèâîëèíåéi ...iíûå, T = Tj11...jqp òåíçîðíîå ïîëå.Ïóñòü äàëåå ∇T êîâàðèàíòíàÿ ïðîèçâîäíàÿ òåíçîðíîãî ïîëÿ T . Òîãäàâ äåêàðòîâîé ñèñòåìå êîîðäèíàòñîâïàäàåòòåíçîðíîñòèi ...ii ...i(∇T )j11 ...jpq α =18∂Tj11...jqp∂xα.À â êðèâîëèíåéíîéi ...ii′ ...i′(∇T )j1′ ...jp′ α′ = òåíçîðíûé çàêîí =1q∂Tj11...jqp ∂xi′1∂xjq ∂xα∂xip ∂xj1...· j ′ . . . j ′ · α′iαip1∂x∂x∂x ∂x 1∂x q ∂x′Äëÿ ïðîñòîòû ìû ïîñìîòðèì, ÷òî ïîëó÷èòñÿ â ñëó÷àå òåíçîðíîãî ïîëÿòèïà (1, 1).iòåíç. çàêîí ∂Tj ∂xi ∂xj ∂xα=→=∂xα ∂xi ∂xj ′ ∂xα′′′(∇T )ij ′ α′ïîëüçóåìñÿ îïðåäåëåíèåì ∇ â äåêàðòîâîé ñèñòåìå êîîðäèíàò′′ ∂xi ∂xj ∂xα∂∂=Tji=α∂x∂xi ∂xj ′ ∂xα′∂xα=∂xi ∂xq∂xp′ ∂xj!′′∂xi ∂xj ∂xα=∂xi ∂xj ′ ∂xα′∂Tqp′ ∂xi ∂xq ∂xi ∂xj∂xi ∂ 2 xq ∂xi ∂xj ∂xα++′′′∂xp ∂xα ∂xj ∂xi ∂xj ∂xα∂xα′ ∂xp′ ∂xj ∂xi ∂xj ′′′Tqp′′Tqp′′′′+Tqp′′′′∂ 2 xi ∂xq ∂xi ∂xj=∂xα′ ∂xp′ ∂xj ∂xi ∂xj ′′∂Tji′∂ 2 xq ∂xj ∂xα∂ 2 xi ∂xip′+′′′ + Tj ′αjjαα∂x ∂x ∂x ∂x∂x∂xα′ ∂xp′ ∂xiÂâîäÿ îáîçíà÷åíèÿ′′= Tqi′′′Γ̃qj ′ α′′Γip′ α′∂ 2 xq ∂xj ∂xα=,∂xα ∂xj ∂xj ′ ∂xα′′∂ 2 xi ∂xi=,∂xα′ ∂xp′ ∂xiïîëó÷àåì, òàêèì îáðàçîì, ñëåäóþùóþ îðìóëó′′(∇T )ij ′ α′∂Tji′′′′′=+ Tqi′ Γ̃qj ′ α′ + Tjp′ Γip′ α′′α∂xËåììà Γip′ α′ = −Γ̃ip′ α′ .Äîêàçàòåëüñòâî àññìîòðèì òîæäåñòâî′′′′∂xi ∂xp= δpi ′′pi∂x ∂xè ïðîäèåðåíöèðóåì åãî ïî xα .
Ïîëó÷èì′19′Òàêèì îáðàçîì îðìóëó äëÿ êîâàðèàíòíîé ïðîèçâîäíîé ìû ìîæåì ïåðåïèñàòü â òàêîì âèäå′′(∇T )ij ′ α′∂Tji′∂xα′=′′Tqi′ Γqj ′ α′−′′Tjp′ Γip′ α′+Îïðåäåëåíèå 2 Ôóíêöèè Γip′ α′ íàçûâàþòñÿ ñèìâîëàìè Êðèñòîåëÿ (â′′êðèâîëèíåéíîé ñèñòåìå êîîðäèíàò x1 , . . . , xn ).Ìû íàøëè ÿâíûé âèä îïåðàöèè ∇ äëÿ òåíçîðîâ òèïà (1, 1) â ïðîèçâîëüíîé êðèâîëèíåéíîé ñèñòåìå êîîðäèíàò. Ñîðìóëèðóåì òåïåðü îáùååóòâåðæäåíèå äëÿ òåíçîðîâ ïðîèçâîëüíîãî òèïà.nÒåîðåìà 1no R .
Ïóñòü′(îá îïåðàöèè êîâàðèàíòíîãî äèåðåíöèðîâàíèÿ â )i′ ...i′x , . . . , x êðèâîëèíåéíûå êîîðäèíàòû â Rn , T = Tj ′1...j ′pq1ïîëå, çàïèñàííîå â ýòîé ñèñòåìå êîîðäèíàò. Òîãäà1′n′i′ ...i′(∇T )j1′ ...jp′ α′ =1q òåíçîðíîåpqX∂ i′1 ...i′p X i′1 ...i′s =t′ ...i′p i′si′1 ...i′pt′−T+TΓT′′′′′′′tαj1 ...jqj1 ...jqj1′ ...js′ =t′ ...jq′ Γjs′ α′ .∂xαs=1s=1Ïðè ýòîì ñèìâîëû Êðèñòîåëÿ Γij′ k′ è Γij′′ k′′ , ñîîòâåòñòâóþùèå äâóì êðè′′′′′′âîëèíåéíûì ñèñòåìàì êîîðäèíàò x1 , .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
