Колмогоров А.Н. Уравнения турбулентного движения несжимаемой жидкости (1124030), страница 8
Текст из файла (страница 8)
Борелвм. Перевод П. А. Пляиигевв. В. О гармонически санряхсенних функциях к рядах Фурье 1П. Пусть для данного определения интеграла выполняются: ь е с (1) ) ) (х) дх + ~ ~ (х) йх = ) 7'(х) с)х; а ь а ь ь (2) ~ )с1 (х) с)х = )с ~ ~(х) г)х; а а ьь ь (3) ~ ~ ( — '„) с)х = й ~ 7'(х) дх. ьа а При этих условиях, если можно определить интегралы 1 ~ 7г (х) с)х в (функцни ~г будут определены ниже), конечные или бесконечные для всех точек некоторого множества положительной меры, то можно построить пример функции, не измеримой по Лебегу. Здесь 1 1 ~г = 2" в!и 3"1, когда — н х) †.
2а г 2н Доказательства довольно длинны, но почти очевидны. 26 января 1925 г. О ГАРМОНИЧЕСКИ СОПРЯЖЕННЫХ ФУНКЦИЯХ И РЯДАХ ФУРЬЕ* Привалов [1) доказал следующую теорему: Если 7 (о) — суммируемая функция и 1 — рг 2п,) ( ) 1+рг — 2рсов(сг — ) то при з, стремян)емся к е'е по любому пути, некасательному к окружности, гармоническая функция у (з), сопряженная к У (з), стремится для почти всех значений О к определенному пределу у(в) = — — ~~ 1 Р 7(6+ сс) 2п д 19 (а!2) с)а, — л * Бвг )вв 1опс11опв )гвгюоп)Чпев соп)пяпеев вь )вв вдг!ев Йе розг)вг. уппд.
ювь)г., 1925, чо). 7, р. 24 — 29. Пересев Т. П. Лукашенко. 8. О еархонинески сопряженных Функциях и рядах Фурье 41 где интеграл понимается как — в и 1(ш ~ +~. +о и е Вообще говоря, д (8) является несуммируемой функцией (2]. я докажу в этой заметке, что функция ! д (8) Р-е суммируема 'при е ) 0 (теорема 11). Как непосредственное следствие я докажу теорему (111) о сходимости в среднем рядов Фурье, из которой вытекает теорема, что всякий ряд Фурье — Лебега сходится по мере. Т е о р е м а 1. Рассмотрим множество Е всех точек 8, для которых ! д (8) ) ) В,  — произвольное ,'число.
При этих условиях имеем В шея Е ~<С ~ )у(0))НО, — л где С вЂ” абсолютная постоянная. Д о к а з а т е л ь с т в о. Предположим, что не существует такой постоянной С, удовлетворяющей указанному неравенству. В этом случае для каждого и существуют функция 1„(0), множество Е„и постоянная В„такие, что: 1) ! 8„(0) ~ ) В„, если 0 принадлежит множеству Е„; 2) В„шев Е„) и; З) ~ ~У„(8)~дО<1. Дополнительно предположим, что функции У„(0) и у„(0) непрерывны; это возможно, если, например, положить 7„(з) =~„(гр), 8„(з) = 8„(зр), где р <" 1, а 1 — р настолько мало, что сохраняю~за условия 1), 2), 3).
Без труда можно докааать, беря, если необходимо, некоторые пи последовательно равными между собой, существование последовательности п„п„п„..., и„,..., удовлетворяющей следующим условиям: 11ш па= оо (А) ряд „'~~ шез Е„расходится, у=1 твв й ии Ряд 7, сходятся. 8. О еарнонически сокряженних функеиях и рядах Фурье 42 шее и„ р'. нд нд Следовательно положив ад= — (=, будем иметь 1 ни (В) ряд ~ ад сходится; 1=1 (С) 1!ш адд = о. д со Рассмотрим сумму (р„— целые числа) ее ~ ад1 д (сед) = ф(г) Д=1 Этот ряд сходится почти всюду на окружности р = 1 к некоторой суммируемой функции, так как в силу 3) ~ [ад(и„(есгд ) [ с[0 ( ~~', ад, и к интегралу Пуассона от этой функции внутри круга. Ряд ее ~ адд„д(грд)=ер(г) Д=1 сходится к сопряженной функции внутри круга.
Определим две последовательности р <ре«. р ( р (ре(. ° (Рд( . 1 удовлетворяющие следующим условиям: 1. Если Йд множество точек есе таких, что точки е "де принадле- 1 Е жат множеству Е „, и если Е является верхним пределом множеств Ед, то шее Е = 2я. П. Для всех эначений 0 и 1 ) р )~ рд 'имеем Д-1 и — 1 ~ ~ аодси [(ре1е)ра] — ~ аад, [(есе)ре] ~ <1, а=1 о=1 [ад|„д [(расе)рд] — ада„д [(е1е)"д] [(1. 111. Для всех 0 и р ( р„имеем СЮ аод„[(ре1е)го] ~ (1. а=и+1 8.
О еяряоякчеекк еопряяееннмя Яункз яя и рядах Фурье 43 В самом деле: 1) можно доказать, что условие 1 выполнено, если числа р» возрастают достаточно быстро ', 2) если даны р„р„... ..., р», то можно выбрать р» таким, что условие 11 выполнено в силу непрерывности функций Е„ (О); 3) условию 111 удовлетворим, выбирая р„„, р„,з, р»,з, ... такими большими, что ру»»ее, р»Р»+з, ру»ее,...
достаточно малы, и тогда условие 111 будет выполнено, ибо Е„(0) = О. Рассмотрим точку О, принадлежащую множеству Е„. В силу 111 и 11 к-т ф (ра, О) = ~ аея„((р»еез)гч] + а»д„» ((р»еее)Р»] + ч=г » — 1 а,б„[(Р»е'е)Р»] = „'Я а Е„]е "ч ] -]- аад„(е Р» ] + т, ч-»+г Оея ]т](3, »-г тр (р» „О) = ~ аоя„((р»,еее)уч] + У~ аед„((р»,е'е)Р»] = ч 1 ч=» »-1 = ~ а д, (ее"че)+т', ]т']е.
2. ч=т Следовательно, ] ф (р„, О) — ф (р „О) ] ) ] а»бк» (еер»~] ] — 5 ) ] а»й~»] — 5. Из этого результата имеем (см. 1 и (С)), что для всякой точки О множества Е функция ф (р, О) не стремится к пределу, когда р стремится к единице. Противоречие с результатом Привалова доказывает теорему. Теорема П. Для 1)з)0 имеем Е(О)]»- е]О< С (~ ]1(О)]е(О)г ' где С вЂ” абсолютная постоянная. Д о к а з а т е л ь с т в о основывается на следующих замечаниях: а) мера множества, на котором ~ Е (О) ] ) 11, меньше меры множества, на котором ] 1/О ];> Л, умноженной на С ~ ] г (О) ]с)О, и б) функция ] 1/х ]т ' суммируема.
т Доказательство етого длиивое; оио может быть основано иа расходимости Ряда (А ) и ва следующем замечании: если даны измеримые множества Е, Е,... , Е»ты то можно выбрать р» таким большим, что мвожестзо Е» расположено дозольво равномерно ва окружности и мера пересечевия Е»Е»... Е»-т с Е» близка к произведевию мер, делеввому ва 2п. 44 8. О гармонически сонуяокснних Функциях и рядах Фурье Т е о р е м а И1. Если 1 (х) — сульвируемая функция, а Ян— сулслгп и первых членов сс ряда Фурье, пьо 1!ш ~ [1(х) — Як(х) ['-ег[х=О о для е 1 ) е ) О.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Известно, что Ю„= — ~ в(ппас)а+сон(х), 1 (' 1(х+ сс) где ю„(х) стремится к нулю равномерно. Аналогичным образом можно записать Ю„= — ~ в(п па Ыа + ог„(х), — и где ог„'-н О равномерно. Следовательно, Ен — 0>о — — — д1 1 Г 1(х+ и) в1п пас[а= о — 2я ) тя (и,2) сових (' 1(х+ и) еж к(х-[-сг) тд (сс)2) в! в нх г". 1 (х + а) сов и (х + а) иа, 2гс д Сз (и/2) где интегралы взяты как Ипе ( ~ + ) ) . е+о-и е Если ф (х), ф (х) — функции, сопряженные к / (х)вш пх, / (х)сов пх, то имеем ~ ) Я„(х) [' 'с[х ( ~ (! совпхф(х) ) -[-) в1ппхф(х)) + !в„(х)1)'-'с[х~,', ( ~ ((ф (х) [г-е -[- ) оз (х) ['-е-[- ) со„(х) [' ') с[х ( о Для е = О это веверво, см.
[31. 9. 0 принципе Гегтеиоь яоя дааиг ~( — ( ~ /~(х) з1впх /1(х)х-е+ — ( $ ~1(х) сових) 1х)х-е+ + ~ ) ю'„(х))г-ейх ( — ( ~ )1(х))с(х)г-е+ ~ (а,',(х) ~г-Мх. (2) Для любого Ь ) 0 построим дне функции 7" (х), ~" (х) такие, что1 1. 7' (х) + /' (х) = / (х); я я 2. (~ )1"(х))Нх)г е(-~-, ~ )~" (х))г ес(х( — ", 3. 7' (х) непрерывна и тогда она удовлетворяет условию (1).
Применяя формулу (2) к /' (х) и обозначая через Я„, Я„частичные суммы рядов Фурье от 1', у, мы получим 1ппзпр ~ (~(х) — о„(х))'-сдх(11шзпр ~ )~'(х) — Я„(х))' них+ н н м я я ~ ) 7" (х))г-едх+1ппзпр ~ ! Я„)г-них(Ь. — я н ~о Это доказывает теорему. Москва, февраль 1923 г. ЛИТЕРАТУРА 1. Привалов И. Н.
Интеграл Коши. Саратов, 1919. 2. Пугин Н. Н. Интеграл и тригонометрический ряд. М., 1915. 3. Навесь 8., Явянааиа Н. Впг 1а совтегбепсе ев шоуевве.— Вой. Асаб. Стасо по, 1918. О ПРИНЦИПЕ ТЕВТШМ ХО1ч РАУВ е ВВЕДЕНИЕ Работами Браузра обнаружена незаконность употребления принципа 1егМпш поп басит ' в области трансфинитных умоааключений. Нашей задачей является выяснение причины того, что зто незаконное употребление не привело до сего времени к противоречиям н даже самая незаконность его оставалась часто незамеченной. е Мат. сб., 1925, т. 32, № 4, с. 646 — 667. Тегпош вов багог(лат.) — третьего не дано; нааваиие, употреблявшееся схоластиками для закона исключенного третьего. — Примеч.
ред. 46 Э. 0 эринциив»етмипь пол йащг Значение в приложениях могут иметь лишь финитные выводы математики. Но для обоснования финитных выводов часто употребляются трансфинитные умозаключения. Брауэр считает поэтому, что и интересующиеся лишь финитными результатами математики не могут пренебрегать интуитивистской критикой принципа гег11пш поп йа$пг. Мы доказываем, что все финитные выводы, полученные посредством трансфинитного применения принципа зег11пш поп да1пг, верны и могут быть доказаны и без его помощи.
Естествен вопрос: имеют ли какой-либо смысл те трансфинитные посылки, которые послужили для получения правильных финитных выводов? Мы доказываем что всякий вывод, полученный при помощи принципа 1ег11пш поп ба$иг, верен, если только вместо каждого суждения, входящего в его формулировку, поставить суждение, утверждающее его двойное отрицание.
Мы назвали двойное отрицание суждения его «псевдоистинностью». Таким образом, в математике псевдоистинности законно применение принципа 1ег$1пш поп дагиг. Необходимость введения подобных понятий «псевдосуществования» и «псевдоистинности» давно чувствовалась в математике, хотя бы в связи с вопросом об аксиоме Цермело. Но только теперь один из видов псевдоистинности получил строгое определение и обоснование в виде аксиом, применимых в области псевдоистинности и не применимых к подлинной истинности. 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
