Колмогоров А.Н. Уравнения турбулентного движения несжимаемой жидкости (1124030), страница 10
Текст из файла (страница 10)
Первая иа гильбертовых аксиом следования, означающая «истинное следует иа всегоэ, вытекает иа такого формального понимания следования: раз В само по себе истинно, то, признав А, мы также должны считать В истидным. Истинность остальных трех аксиом следования также легко усматривается на основании данного понимания понятия следования. При этом характер рассматриваемых суждений совершенно не затрагивается; следовательно, не может возникнуть сомнений в применимости этих аксиом к произвольным суждениям.
Интересен вопрос о полноте системы четырех аксиом следования. После скааанного о полноте всей гильбертовой системы аксиом логики суждений, вопрос следует поставить так: истинной называется формула,' доказываемая при помощи аксиом следования и аксиом отрицания; всякая ли истинная формула, написанная при помощи одних символов произвольного суждения и следования без символа отрицания, может быть доказана на основе одних четырех аксиом следования? ч Ре )птегр.
4; Ре апина 111, 6: (Об истолкоааиии, гл. 4; О душе, кн. 111, гл. 6 (лат.). См. )8, 9).— Примеч. ред.]. е Именно это выражается схемой гииьбертовой метаматематиии я, я й) Х. Зигварт также считает эту схему наиболее общей схемой всякого аывода (см. [5, с. 372)). 5« 9. 0 принципе «ееяит поп «[атме 5 3. В отношении к законченному суждению, рассматриваемому как целое, отрицание является только запрещением признавать суждение истинным. Более полное представление об отрицании можно получить, рассматривая суждение как высказывание предиката о субъекте; отрицание явится тогда утверждением о несоответствии предиката субъекту. Символ логики суждений А естественно выражает первое понимание отрицания как запрещения мыслить суждение А истинным.
Между тем обычная логическая традиция сводит зто первое понимание ко второму как более первичному '. В применении к математическим суждениям это оказывается невозможным. Действительно, поскольку отрицание суждения является продуктом непосредственного усмотрения, постольку второе понимание, исходящее из идеи неосуществимости того синтеза, который создает суждение, ближе к существу дела, чем первое, опирающееся на чисто формальную идею запрещения. Но в случае получения отрицания в результате вывода сведение первого понимания ко второму уже не необходимо, а в случае математических суждений иногда и невозможно. В самом деле, многие отрицательные суждения математики доказываются путем приведения к противоречию по схеме т Ь -+:ь, Й [Ж и не могут быть доказаны иным путем.
Таким образом, первое понимание отрицания является самостоятельным. Оно впервые выделено Браузром, который определяет отрицание как абсурдность (см. [41). Оно опирается на второе, так как для вывода отрицательного суждения приведением к противоречию надо уже иметь отрицательные же суждения, но в то же время оно шире его. 4 4.
Первая из аксиом отрицания Гильберта: «из ложного следует все» вЂ” появилась лишь с возникновением символической логики, как, впрочем, и первая из аксиом следования. Но в то время, как первая аксиома следования с интуитивной очевидностью вытекает из правильного понимания идеи логического следования, рассматриваемая теперь аксиома не имеет и не может иметь интуитивных оснований как утверждающая нечто о последствиях невозможного: мы обязаны признать В, если признали ложным истинное суждение А, Таким образом, первая аксиома отрицания Гильберта не может быть аксиомой интуитивистской логики суждений, из какого бы понимания отрицания мы ни исходили.
Этим, конечно, не исключается возможность, что она может быть доказуемой на основании других аксиом формулой. й 5. Вторая аксиома отрицания Гильберта выражает принцип 1егС[пш поп «[афпг. Он выражен адесь в той форме, в которой при»«еня' См., например, [5, с. «35 и след.]. т См. в $6 о приициве противоречия. 52 9. О ириичии««етним иоа т)а»ит ется для выводов: если В следует из А и из А, то В истинно. Обычная его форма: «всякое суждение или истинно, или ложно»'— эквивалентна вышеприведенной '. Ясно, что из первого понимания отрицания как запрещения считать суждение истинным нельзя извлечь уверенности в истинности принципа йегИшп поп «[агпг„таких попыток, впрочем, и не делалось.
Следовательно, для его оправдания необходимо обратиться к составу суждения: отношению предиката к субъекту. Уже в простейшем случае суждения типа «все А есть В» в рассмотрение неизбежно входят отношения к предикату В всех возможных А, запас которых может быть и бесконечен. Брауэром показано ге, что в случае подобных траисфинитных суждений принцип [егИпш поп «[аьпг и с этой точки зрения не может считаться очевидным. 2 6.
Итак с интуитивистской точки зрения ни одна из двух аксиом отрицания Гильберта не может быть принята за аксиому общей логики суждений. Мы предлагаем здесь следующую аксиому, которую назовем принципом противоречия: (3) 5. (А -+ В) — »- ((А -ь В) -ь А ). Смысл ее таков: если иа А следует и истинность и ложность некоторого суждения В, то само суждение А ложно. Обычный принцип противоречия: «суждение не может быть и истинным и ложным» вЂ” не может быть формулирован в терминах произвольного суждения, следования и отрицания.
Наш принцип содержит в себе несколько больше, именно: из него в соединении с первой аксиомой следования вытекает и принцип ге«[по»[о а«[ а[гзпгг[пш: если В верно и иа А следует ложность В, то А ложно. Истинность предлагаемой аксиомы вытекает ив простейшего понимания отрицания как запрещения считать суждение истинным и не связана с рассмотрением содержания суждений. Систему из пяти аксиом: четырех аксиом следования (1) и только что установленной аксиомы отрицания (3) — я буду называть системой 5.
Нам неизвестно формул общей логики суждений, обладающих интуитивной очевидностью в применении к произвольным » Простейшая формулировка Лейбница (смл )ч[опчеапх Ваза(з, )Ч, 2 («Новые опыты...», кн. )Ч, гл. 2 (фр.). См. [10[.— Примеч. рад.)). » Символически вторая форма выражается так: А '/ А, где ~/ означает «или». Эквивалентность обеих форм легко доказывается на основании аксиом следования и следующих аксиом, определяющих значение символа )/, заимствованных из работы Аккермана [3[: 1.
А А ~/ В. 2, В А /В. З. [А С) (В-С) (А)/В) С. " См. [4[ или же детально разобранный пример предложения, недоказуемого иначе,как с незаконным применением принципа «ег«[пто поп да«пг, з статье [6[. 9. О припзипе гегмит поп Насиг суждениям, недоказуемых на основании этой системы аксиом. Тем не менее вопрос, является ли зта система аксиом полной системой аксиом ннтуитивистской общей логики суждений, остается открытым.
6 7. Принцип Фег11пш поп йа1пг, как мы видели, хотя и не может быть признан за аксиому общей логики суждений, в ограниченной области суждений, называемых Браузром финитными, имеет силу. Здесь мы не будем исследовать границу области финитных суждений; задача зта не столь легка, как может показаться; поэтому мы ограничимся признанием, что некоторая такая область существует. Помимо принципа зегйпш поп ба1ш, в области финитного имеет силу принцип двойного отрицания, выражаемый символически так: 6. А — +.
А ам (4) Само собою разумеется, что все пять аксиом общей логики суждений (система й)) действительны и в области финитного. Систему аксиом, состоящую нз аксиом системы ю (т. е. (1) и (3)) и аксиомы двойного отрицания (4), мы будем называть системой $. Система $ зквивалентна системе аксиом Гильберта (1) и (2). Аксиомы следования в обеих системах общие. Для доказательства, следовательно, достаточно доказать формулы (3) и (4) на основании формул (2) и обратно, пользуясь в обоих случаях аксиомами следования.
Доказательство формул (3) и (4) на основании аксиом Гиль- берта (1) и (2) мы не будем приводить, обратное же, опирающееся на аксиомы (3) и (4), впервые введенные здесь, приводится в следующем параграфе. Для нас система 41 имеет то преимущество, что получается из системы й1 обп1ей логики суждений путем добавления одной аксиомы двойного отрицания; зто значительно облегчает дальнейшие исследования.
Ясно, что система р, так же как и система Гильберта, является полной. Из нее можно вывести все формулы традиционной логики суждений. Все они являются истинными, если только заменить в них символы произвольного суждения А, В, С, символами произвольного финитного суждения Аг, Вг, С~, ... Доказательство етого факта встречает некоторые трудности, которые выясняются и преодолеваются в следующей главе".
5 8. Будем обозначать аксиомы системы $ (1), (3) и (4) их номеРами 1 — 6. Подчеркнуты (двумя чертами) номера формул, опирающихся на аксиому 6, так как эти формулы имеют силу только в об- и Формула А Х доказуема на освовавли системы В. См. дальше формулу (34). те См. 4 4 гл. 111. 54 У. О принципе Феейит поп иаир А — «(В А) В (А В) (А (В СЦ (В (А СЦ (~) [(В - С) - ЦА - В) - (А - СЦ) - [(А - В) - ЦВ - С) - (А- С)Ц Д КС [(В С) ЦА В) (А С)и — » ЦА -«В) Цв С) -» (А СЦ] (6) (В С) ЦА -«В) (А СЦ (А — » В) ЦВ С) -«(А СЦ (А В) -«ЦВ С) (А СЦ (8) (В (А - Ы) [цА В) А) (в — АИ (") ЦВ-(А В))-[((А В)-Л) (В-А)) ЦА- В) - А) - (В - А) () 5 В (А Е) (А- В)-+((А-еВ)-эЛ) Акс. 5 ЦА Х) Я) (В Я) (А в)-(в-л) (А в) (в л) (10) (В-А) (Х. В) А-» (В-+А) Акс.
1 (В А) (Я Е) А (Х-« В) А (Л В) (12) А (л З) Акс. 6 У (В С) ЦА — » В) (А СЦ Акс, 4 (Ю В) - ЦА В) (А ВЦ (В -е В) - ЦА — + Ъ) -и (А -» ВЦ »е -» В (14) (А З) (А в) (А е») (А В) (16) (л з) - (л в) А — э(А -эВ) (13) (л и)-(л-в) А (»7 В) Акс. 1 (8) (9) (10) (12) (13) (14) (15) (16) (17) (16) (18) ласти финитного, в то время как остальные действительны для произ- вольных суждений. р. О принципе вы!ита поп йатиг 55 (10) Акс. 5 (10) (21) (19) (21) (16) (25) П1. ЧАСТНАЯ ЛОГИКА СУЖДЕНИЙ И ОБЛАСТЬ ЕЕ ПРИМЕНИМОСТИ 3 1.
Формулы, доказуемые на основании аксиом й), образуют общую логику суждений. Совокупность формул, доказуемых на основании шести аксиом р, будем называть частной логикой суждений'е. Содержание частной логики суждений богаче, чем общей, ~е Общая логика суждений имеет и другое, реальное определение (см. 1 5 гл. 1). Частная логика суждений пока может быть определена только формально, так как реальное значение ее форь1ул будет установлено лишь впоследствии. Таким образом, первая аксиома отрицания Гильберта доказана. (А В)- (З- Л) (19) (л В) (в х) ( 20) (А в) цА ъ) л) (и Л) ЦВ ~) Ъ) (А- В)- (В-.А) (в - л) - цв ~) - Й (20) (А В) ЦВ -~ А) 3) (22) (А В) — ЦВ С) (А С)) цЛ - в) - (в - А)) - [КЮ А) - В) - КЛ - В) - Иц ((А -э В) -+ (В -э А)) — > Н(В ь Л)-+ Л) -э ((А -+ В) -+ В)] (22) (Л В) (В м) цв Х) ) цл-в) л) (А В) ((В ~~ .5() ЦВ-А)-3) Цл-в)-й) (А в)-цл в) 3) (25) (А В) (А В) цл-в) в) цл- в) в) (А — В) — ((А — В) -ь В) (24) (26) цл в) В)' цл в) в) (А в) цл-в) в) Таким образом, и вторая аксиома Гильберта доказана.
Формулы (12) и (24) являются из формул, доказуемых при помощи аксиом 9 без аксиомы двойного отрицания, наиболее близкими к аксиомам отрицания Гильберта. Вторая из них, приближающаяся к принципу 1ег$(пш поп ба1нг, означает: если В следует и из истинности и из ложности А, то В не может быть ложным.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
