Колмогоров А.Н. Уравнения турбулентного движения несжимаемой жидкости (1124030), страница 12
Текст из файла (страница 12)
В самом деле, она вытекает в силу формулы (34) из следующей: (57) и (йА) -ь иА. '«Иногда в математике прианавалнсь еа аксиомы формулы, истинность которых ие очевидна; такова, например, так наеываемая аксиома Цермело. Но и они обладают свойством й йе. 62 9. О ириициие гегмига иеи аасиг Формула (57) может быть получена посредством подстановки иэ формулы частной логики суждений (58) и (А') -иА', в частной же логике суждений, как известно, четное повторение отрицания приводится к утверждению. Таким образом, в то время как рассматриваемые формулы обычной математики основаны на неааконном употреблении формулы (4), соответствующие формулы псевдоматематики опираются на истинную формулу (56).
Итак, окончательно получим: Все выводы обычной математики, основанные на употреблении вне области финитного формулы двойного отрицания и других формул, от нее зависящих (как принцип ФегИшп поп йаФпг), не могут считаться твердо установленными. Но поскольку кроме атой формулы, они опираются только на аксиомы типа И, а других пока неизвестно, постольку соответствующие формулы псевдоматематики являются истинными и, следовательно, входят в математику псевдоистинности. Иначе говоря, все выводы, основанные на аксиомах типа й[ и формуле двойного отрицания, верны, если мы каждое входящее в них суждение будем понимать в смысле утверждения о его псевдо- истинности, т.
е. его двойного отрицания. У. ПРИЛОЖЕНИЯ $ $. Обнаружив незаконность применения принципа СегИпш поп йа~пг к трансфинитным суждениям, Брауэр поставил задачу обоснования математики без помощи этого принципа, которую в значительной мере и выполнил ". Но при-этом выяснилось, что существует ряд математических предложений, которые не могут быть доказаны без помощи отвергнутого Брауэром принципа 1. п. й. Далее мы рассмотрим некоторые примеры таких предложений.
Мы показали в предыдущих главах, что наряду с изложением математики без помощи принципа 1. п. й. может быть сохранено и обычное изложение. Правда, при этом всем предложениям надлежит придать ограничительное толкование, именно: каленое суждение обычной математики надо заменить утверждением о его псевдоистинности. Но это изложение все же сохраняет два замечательных свойства. 1. Если при помощи рассуждений, основанных на применении принципа с.
п. й., хотя бы и в области трансфинитного, получен финитный вывод, то вывод этот истинен в обычном понимании. В самом деле, он может в силу предыдущего быть доказан, как вывод о псевдоистинности; в области же финитного псевдоистинность совпадает с обычной истинностью. ее См., например, [7[. 9. О приняиве ««пиит пеи за»иг 2. Применение принципа э. и. 6. никогда не приведет к противоречию. В самом деле, если бы при его помощи была получена ложная формула, то соответствующая формула псевдоматематики была бы доказана без его помощи и все же приводила бы к противоречию ". Первое из этих положений противоречит одному замечанию Брауэра 'э, который считает, что финитные выводы, основанные на трансфинитном применении принципа $. и. г[., также должны считаться недостоверными.
$ 2. Предложения, которые мы не умеем доказать без помощи незаконного применения принципа». и. г[., обычно непосредственно опираются не на принцип». и. д. логики суждений, но на другой принцип, носящий то же название. В самом деле, из принципа 1. и. г[. в форме, свойственной логике суждений: «каждое суждение или истинно, или ложно», дальнейшие выводы получаются по схема формулы Гильберта: если В следует и из А, и из А, то Е истинно. Но в интересующем нас случае трансфинитных суждений из чистого отрицания А трудно получить какой-либо положительный вывод В; для этого надо сначала преобразовать суждение А в какое-либо другое.
Наиболее обычен следующий тип трансфинитного суждения. для всех (а) верно А (а); символически это суждение записывается так: (а) А (а). Когда из отрицания этого суждения (а)А (а) хотят извлечь положительный вывод, то его приводят к форме (Еа) А (а), т. е. существует (а) такое, что для него А (а) неверно. Эквивалентность последнего утверждения простому отрицанию суждения (а) А (а) выражается следующими двумя формулами: (59) (а) А (а) — ~- (Еа) А (а). (60) (Еа) А (а) — з- (а) А (а). В $4 этой главы мы докажем, что формула (59) для своего доказательства, помимо формул, интуитивная очевидность которых несомненна, в том числе аксиом общей логики суждений, требует только признания принципа двойного отрицания (4).
Формула же (60) доказывается и без помощи этого принципа. Если мы признаем формулы (59) и (60), то мы будем иметь право формулировать принцип 1. и. «[. для суждений типа (а) А (а) так: (а) А (а) ~/ (Еа) А (а), т. е. или А (а) верно для всех (а), или существует (а), для которого А (а) неверно. и Предполагается, что все рассматриваемые аксиомы являются аксиомами типа Ж, кроме того, что формулы, прпэпанные заведомо ложными, Ь тановы, что соответствующие нм бе также ложны. ге См. [4, с. 252, примеч.).
64 д. О ори»Чине Ыгмит псе ла»иг Гильберт (см. [1, с. 157)) присоединяет к формулам (59) и (60) еще следующие: (61) (Еа) А (а) — » (а) А (а). (62) (а) А (а) -+ (Еа) А (а). В согласии со сказанным выше он считает, что формулы (59) — (62) обосновывают применение принципа «. и.
й. к бесконечным совокупностям объектов (а). В противоположность формулам (59) — (60) формулы (61) — (62) обе могут быть доказаны на основании одних интуитивно очевидных аксиом. Доказательство дается в $4. Таким образом, формулы (60) — (62) являются просто истинными формулами, формула же (59) доказывается на основе принципа двойного отрицания (4); к выводам, опирающимся на нее, следовательно, применимо все изложенное в предыдущей главе.
й 3. Прежде всего заметим, что, определяя значение символа (а)А (а), как «для всех (а) верно А (а)», мы понимаем «для всех (а)» так же, как «для каждого (а)», т. е. в том смысле, что, каково бы ни было дано (а), можно утверждать, что будет верно А (а). Каждая формула общей логики суждений, когда она написана самостоятельно, означает, что она верна для всех возможных суждений А, В, С,... Так, формула А -» А означает, что для любого суждения из его истинности вытекает его двойное отрицание.
Таким образом, нельзя утверждать, что введение символа (а) А (а) впервые выводит нас из области финитного: понятие «для всех (а)» в скрытом виде содержится во всех формулах, заключающих символы переменных. Вообще формула А (а), написанная самостоятельно, обозначает, что, каково бы ни было частное значение (а), верно А (а). Иа этого вытекает следующий принцип, не могущий быть выраженным символически; если формула «6 написана самостоятельно, то можно написать формулу»»(а)б. При ссылках мы обозначаем этот принцип через Р. Далее, мы принимаем следующие аксиомы: 1.
(а) 1А (а) -~- В (а)) -» 4(а) А (а) »- (а) В (а)) П . (а) (А -» В (а)) -» (А †» (а) В (а)) (63) 111. (а) (А (а) — » С) -~- ((Еа) А (а) -» С) Г«7. А (а) -+ (Еа) А (а). '» Символ (а) может стоять и перед формулой, не заключающей в действительности переменное (а). Вместо принципе Р можно ввести аксиому (е) г, где г обозначает истинное суждение, и тоже неформулируемое символически правило подстановки: вместо У можно подставить любую самостоятельно написанную формулу. О.
О ириизииа «егыит иаи аа~иг (А -+ В) -+ -+(В-» А) А (а) (Еа) А (а) (Еа) А (а) Л (а) (а)((Еа) А(а)- А (а)) (а) (А — » В (а)) -+ (А — (а) В (а)) (11) Акс. 1Ч (64) (64)Р (65) Акс. 11 (а) ((Еа) А (а) Л (а)) (Еа) А (а) ~ (а) Л (а) Таким образом, формула (61) доказана.
(А- (В-»С))-+ -+(В-+(А- С)) А (Л- Е) Л- (А З) (68) Л «(А Е) Х (а) (А (а) (Еа) А(а)) (69) (а) [Х(а)- (А(а)-+(Еа)А(а)Ц (а) (А (а) -+ В (а))— -»((а) А(а)-»(а) В(а)) (а) [Л (а)-«(А(а) (Еа) А(а))) (а) Л (а) — «(а) (А (а) -«(Еа) А (а)) (а) (А(а) С)-«((Еа)А(а) С)) (а) (А (а) -«(Еа) А (а)) ((Еа) А (а) (Еа) А (а)) (А-«В) — » — » ((А -+ В) -+ А) (65) (66) Акс.
3 (12) (67) (68)Р Акс. 1 (69) Акс. 111 Акс. 5 А А (А Л) Л (А Л) Л (27) (72) (72) (73) ((Еа) А (а) -«(Еа) А (а)) ~ (Еа) А (а) (а) А (а) — » (а) (А (а) -» (Еа) А (а)) (70) Мы считаем все зти аксиомы интуитивно очевидными. Выбор их и их количество определяются исключительно нашей целью: доказательство формул (59) — (62). У. О нвннцнае Еегиине нен ааЕнг (а) (А(а)- (Еа)А(а))- ((Еа)А(а)-+(Ьа)А(а)» (71) ((Еа) А (а) (Еа) А (а)) (Еа) А (а) (73) (а) Л (а) (Еа) А (а) (74) Таким обрааом формула (62) докааана, (а) Л (а) (Еа) А(а) (а) А (а) -~ (Еа) Л (а) А-еА А (а) Л (а) (а) (А(а)-+ег(а)) (а) (А(а)-+В(а)»-~ -+ ((а) А (а) -е (а) В (а)) (а) (А (а) А (а)) (а) А (а) (а) (а) (74) (75) (34) (76) (76)Р (77) Акс.
Н (77) (78) (а) А (а) — (а) Л (а) (78) (а) Х(а) -ю (Еа) Л (а) (а) А (а) (Еа) Л (а) (А а В)- -+(В-+А) (а) А(а) (Еа) Л (а) (79) (75) (11) (80) (79) (аеа) Л (а) (а) А (а) А-~Л (Еа) А (а) (Уа) Л (а) (Еа) А(а)- (аГа) А(а) (Еа) Л(а) (а)А(а) (Еа) Л(а) (а) А(а) (81) (34) (81) (82) (80) аз 1м-(ае(е (83) (66) (Йа) Л (а) - (а) (а) Таким образом, формула (60) доказана.
Доказательство формулы (59) не может быть проведено без помощи аксиомы двойного отрицания. Номера формул, опирающихся на зту аксиому, подчеркнуты З. О принципа Мгншп аоа Еа~иг Л А Х(а) А (а) (а) (А(а)- А(а)) (а) (А (а) — В (а)) -а -а ((а) А (а) -а (а) В (а)) Акс. 6 (84) (85) (84) Р Акс. П (а) (Х(а) А (а)) (а) Х(а) (а) А (а) (Ва) А (а) — (а) А (а) (а) Л (а) -~(а) А (а) (Еа) А (а) - (а) А (а) (А -~ В) — > -+(В- А) (Еа) А'(а) ~ (а) А(а) (а) А (а) (Уа) Х (а) А А ()аа) А (а) ~ (Еа) А (а) (а) А (а) -э (Л'а) А (а) (Еа) Х (а) (Еа) А (а) (90) (а) А (а) (Еа) Я (а) Таким образом формула (59) доказана с помощью ного отрицания. (85) (86) (83) (87) (86) (88) (87) (89) Акс. 6 (88) (89~ аксиомы двой- 5 5.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
