Колмогоров А.Н. Уравнения турбулентного движения несжимаемой жидкости (1124030), страница 13
Текст из файла (страница 13)
Прекрасный пример предложения, недоказуемого без помощи незаконного применения принципа ФегПппг поп йа(иг, дан Брауэром (см. (6)): нельзя считать доказанным, что всякое действительное число имеет разложение в бесконечную десятичную дробь. Брауэром даже указано определенное число, про которое неизвестно, имеет ли оно первую цифру десятичного рааложения. Таково же предложение, утверждающее, что дополнение к замкнутому множеству есть область, т. е. что каждая точка, не принадлежащая к замкнутому множеству, содержится в некотором интервале, не заключающем в себе точек замкнутого множества ее. Докааательство, как известно, осуществляется так: в силу принципа С и.
е(. в форме $2 этой главы или все интервалы, содержащие взятую точку, ааключают в себе точки множества, или существует хотя бы один, их не содержащий; первое предположение приводит к противоречию, так как из него следует, что точка принадлежит множеству1 следовательно, верно второе. Б противоположность примеру ее Пример уиаеаи П. С. Повиковмме 9. О принципе 1егмигп поп е2а2иг Брауэра мы не умеем указать определенное замкнутое множество и определенную внешнюю для него точку, для которых было бы сомнительным существование требуемого интервала. й '6. Интереснее следующий пример нельзя доказать без помощи принципа 2. п.
й. все предложения, доказательство которых сводится обычно к применению принципа трансфинитной индукции. Таково, например, предложение: каждое замкнутое множество является суммой совершенного и счетного множества. Часто проводят доказательство подобных предложений без помощи принципа трансфинитной индукции. Но все такие доказательства опираются на принцип 2. и. 6., примененный к бесконечным совокупностям, или на принцип двойного отрицания. Важно отметить, что сам принцип трансфинитной индукции может быть выведен без всяких новых по сравнению с теорией точечных множеств допущений, но обязательно с применением принципа 2.
и. д. Следует только формулировать принцип трансфинитной индукции, не употребляя термина «трансфинитное число», введение которого потребовало бы новых аксиом. Будем вместо этого рассматривать расположенные вполне упорядоченно, слева направо, множества рациональных чисел. Будем называть отрезком такого множества его часть, расположенную левее какой-либо точки, принадлежащей или не принадлежащей ему. Отрезок всегда будет тоже вполне упорядоченным множеством.
Множество отрезков само также будет вполне упорядоченным. Назовем отрезок правильным, если существуют точки множества, ему не принадлежащие. Принцип трансфинитной индукции формулируется теперь так. Пусть некоторое свойство У, могущее быть присущим или не присущим вполне упорядоченным множествам рациональных чисел, удовлетворяет следующим условиям. 1. Множества, состоящие из одной точки, обладают свойством У. 2.
Если все правильные отрезки некоторого множества обладают свойством Х, то и само множество им обладает. При этих условиях все вполне упорядоченные множества рациональных чисел обладают свойством У. Так формулированный принцип трансфинитной индукции может быть использован в тех же случаях, как и обычный. Докааательство его проводится так: или все множества обладают свойством Х, или существует такое множество Е, которое им не обладает; второе предположение приводит к противоречию: среди отрезков Е должен быть первый, не обладающий свойством У, существование же такого отрезка противоречит условиям. Приведенных примеров достаточно, чтобы показать, что наряду с развиваемым Брауэром изложением математики без помощи принципа 2.
п.22. должно быть сохранено обычное изложение, польаующееся этим принципом, правда, только как изложение математики псевдоистинности. Москва, 30 сентября 2925 г. 10. О сходимости рядое Фурье 69 ЛИТЕРАТУРА 1. Нядегг В. В!е 1о6!всЬеп Огппй!а9еп йег Ма!Ьеша!!Ь.— Ма!Ь. Апп., 1923, Вй. 88, Я. 151 — 165. 2. Ига!геаеай А. )е'., Ли«ее! В. Ргшс!р!а ша«Ьешанса. СагаЬпйяе, 1910 — 1913.
Уо!. 1 — 3. 3. Ас?сегтаии Иг. Везт6пйппя йев «!егнпп«поп йа!пг» пине!е йег Н!!Ьег!»«Ьеп ТЬеопе йег %!йегергпсЬе!ге!Ье!и — Ма!Ь. Апп., 1924, Вй. 93, Я. 1 — 36. 4. Вгоитег В. К. д. 1п!п1ноп!емесЬе 2ег!ебпп6 ша!Ьеша!!асЬег ОгппйЬеЯП1- !е.— !аЬгееЬег. Веп!есЬеп Ма!Ь. чегепирш6, 1925, Вй. 33, Я. 251 — 256. 5.
Зигварт Х. Логика. СПб., 1908. Т. 1. 6. Вгоитег В. В. д. Веамт! !ейе гееИе ЕаЫ еше Вет!ша!ЬгпсЬеп!ччсЫпп6?— Ма!Ь. Апп., 1921, Вй. 83, Я. 201 — 210. 7. Вгоитег В. В. д. Вебгбпйппя йег МепЯеп!еЬге ппаЬЬап6!9 чоха !оЯ!есЬеп Яа!т апе9еесЫо»вепеп Пг!!!еп. (!) Егя«ег ТеИ: А!!Яегае1пе Мепбеп!еЬге.— УегЬ. Коп. пей. а!«ай. не!епесЬ. Аше«егйаш, 1, 1918 чо!. 12, )Ч 5; (П) Етое(- !ег Тей: ТЬеог1е йег РппМшеп9еп.— !ЬЫ., 1919, чо! 12, ?1 7.
8. Аристотель. Об встолковаввн.— Сочпненвя. М.: Мысль, 1978, т. 2, с. 91— 116. 9. Аристотель. О душе.— Сочинения. М.: Мысль, 1975, т. 1, с. 369 — 448. 10. Леабииц Г. В. Новые альпы о человеческом раауме. М.; Лл Соцекгнз, 1936. 484 с. О СХОДИМОСТИ РЯДОВ ФУРЬЕе Совместно с Г. А.
Селиверстовым В предыдущей работе [41 нами было дано условие сходимости тригонометрического ряда, более общее, нежели аналогичные условия, данные ранее Фату [11, Вейлем 161, Гобсоном 131, Планшерелем 151 и Харди [21. Мы установили, что сходимость почти всюду тригонометрического ряда О\ ~ (аясовпх+ Ь„вгппх) следует из сходимости ряда ;~~ (1ои п)т+'(а'„+ Ь'„) при каком-нибудь положительном е. Уже было указано, что все условия, данные ранее (самое общее из них, принадлежащее Харди, отличается от нашего множителем 1оит и вместо (1ои и)'+'), верны для любой ортогональной системы функций, в то время как наше условие неверно для некоторых ор- ь Япг 1а сопчегбепсе йее еднее йе Ропг!ег.— Асн Ассай. пат. !Ассе!.
Кепй., 1926, чо1. 3, р. 307-310. Представлено А. Тонеллв. Перевод В. А. Виноврадовоа. 7О во. О входимовпи рядов Фурье тогональных систем — зто следует из результатов Д. Е. Меньшова (7). Таким образом, доказательство нашей теоремы опирается на специфические свойства тригонометрической системы. В атой работе мы дадим более простое доказательство следующего более сильного утверждения. "сходимость почти всюду ряда (1) следует иг сходимости ряда ~ 1ояп(а'„+ Ь'„). (2) 1. Л е м м а. Пусть дана тригонометрическая сумма и Я(х) = Я (аьсозйх+ Ььз(п)гх).
Тогда справедливо неравенство о р=2 где )с (х) есть произвольная целочисленная 4ункция, принимающая значения от 2 до и; Яг<,> (х) — сумма Ус первых членов Я (х); С— абсолютная постоянная. Д о к а з а т е л ь с т в о. По неравенству Шварца д <х (х) <(х = г' 1ое )в (х) 2и 22 )'<х) 1 1 — ~ Ю (а) ~ соз р (х — а) да <(х = ,) (/ 1ов lв (х) 2<х) еи ги ~~~ соо р (х — а) = — '~ ~(а)~ — Ых <(а хх ) ) (/ )оз )в (х) 2<х) 2 ги ги ~ соо р (х — а) <) —,',)в*).>в ) ) -', в*~в Х о о о ~(~<< — „~~) ', (а,', + Ь,',) 1. г, р=2 Для доказательства неравенства (3) осталось установить ограниченность Х. Интегрируя по частям относительно а и используя орто- 70.
О еходииоети родов Фурье 71 тональность тригонометрической системы, получаем к(х) вх ч~ совр(х — а) в 1 ((х у Ьз й(х) )[ к(х) к(в> вививх ") совр(х — а) ~ сов у(у — а) ((х ((у (ва = у 1оз й (х) 1оз й (у) к(х, о) ох ох ~ сов р (х — у) я ((х с(у, , 1 ее'е ()1'екь) где Й (х, у) есть наименьшее из чисел Й (х), Й (у). Обозначим через Р множество тех точек (х, у), для которых 1с (х) ( Й (у) и, следовательно, Й (х, у) = Й (х), 1оя Й (у) ) 1оя Й (х); через ь> множество (х, у), для которых Й (у) ~ Й (х), Й (х, у) = Й (у), 1оя Й (х) ) 1оя Й (у).
Тогда мы имеем к (х) к(о) ! ~ совр(х — у) ~ ~ ~~~ совр(х — у) ~ — '<Д-~ — „— о*ее оД ', „е.еее р о ви ви к(х> ~(~ ~ ~ р совр(х — у)(((у((х+ ви си к(в) ~ ~ () сов р (х — у) ~ ((х ((у. о р=к Легко видеть, что последнее выражение не превосходит абсолютной постоянной С. е ,') т (и) 1оя п (а'„+ дв) о-в (4) сходится.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
