Колмогоров А.Н. Уравнения турбулентного движения несжимаемой жидкости (1124030), страница 17
Текст из файла (страница 17)
Каждая операция, производимая над последовательностью тождественных множеств, приводит вновь к взятому множеству Х (Е, Е, Е, ) = Е. Поэтому ясно, что И'„(Х) содержит в себе все Юз (Х) для р < св. С другой стороны, ясно, что) И'„(Х) содержит и все И'з (Х), р ( сс. Соответственно и Й (Х) заключает в себе все Йз (Х) и Исз (Х). Дополнение к множеству класса И'„(Х), очевидно, всегда принадлежит к Й„(Х).
Из этого вместе с предыдущим легко вывести равенство (Х) ~Их (Х) ~т) а (Х)г где суммирование распространяется на все трансфинитные числа второго класса. В самом деле, аамкнутые множества и их дополнения, открытые множества, принадлежат И'„' (Х); посредством трансфинитной индукции можно доказать, что и все множества из И'„(Х) или Й' (Х) также входят в И' (Х). С другой стороны, легко видеть, что суммы ХИ' (Х) = л.)т' (Х) удовлетворяют условиям, выставленным в начале для классов, иэ которых И' (Х) является минимальным. Обозначим теперь: И (Х) = Ис .(Х) — ~~Р~ Исз(Х), Г (Х) = И~а(Х) — ~~~ Исз(Х).
а<а а<а Тогда имеем И'(Х) =Хт'„(Х)=, 'Р„(Х), причем члены последних сумм не пересекаются между собой. Теорема о непустоте классов. Если операция, сложения может быть заменена какой-либо комбинацией Х- и Х-опе- ез. 06 онерациах над множествами 91 раций, то ни один ив классов У„(Х) и Ра (Х) нв может быть пус- 1. Допустим, что У (Х)=0; тогда И' (Х)= ~ И'з(Х), Й'„(Х)= ~ Йз(Х)~И' (Х); э<а Зча легко видеть, что в этом случае Ие (Х) = И'„(Х). Мы покажем, что в условиях теоремы это равенство неосуществимо.
2. Пусть дана операция У и последовательность операций Уг, У„У„... Определим операцию Я, которую будем обозначать г=(У) У„У..), следующим образом, сначала как операцию над системой множеств с двумя индексами: (Е. ). Цепью 0з мы будем нааывать такую совокупность пар индексов (нлз), что совокупность встречающихся в этих парах значений первого индекса образует цепь Пт, а совокупность значений второго индекса в парах с данным первым индексом и образует цепь Цга. Легко видеть, что из Е = У (Е ), Е„ = У„ (Е„ ) следует Е = 2(Е„)„ и, обратно, из последнего равенства следует существование множеств Е„, удовлетворяющих первым. Таким образом, Я-операция ааменяет совершение 1-операции над результатами У„-операций и, обратно, результат 2-операции может быть получен последовательным совершением У и У„-операций.
Перенумеровав пары (нт) посредством одного индекса Й, нетрудно получить, наконец, операцию с одним индексом м (Еи)ю обладающую теми же свойствами. В частности, операция г = (Х ( У„Ую...), если предположить для всех и чь и, Е„= О 92 1а. 06 операциях над множествами и для л = и ~ат ~т~ доставляет множество, получаемое операцией У„: уИ. )..=1 Ф.). Таким образом, при помощи операции г. можно получить все множества, получаемые какой-либо из операций У'„.
3. Определим операции Х„и Х„следующим индуктивным процессом. Предполагаем все трансфинитные числа т т ( р ( а определенным образом расположенными в последовательность т„ м„та,... Полагаем Х = Х, Х, = Х. Далее, предполагаем Ха и Х, для т ( р определенными, определим в случае р непредельного Хз = — (Х ! Хв-и Уз-и Хз-и ). Х = (Х ! Х„п ХЗ „Х „...). В случае же р предельного Х,'=— (Х(хао Хим Х„,...), Х,= — (Х!Х„', Х,',...), Хз=(Х! Хс Хз,...). 4. Нетрудно посредством индукции доказать, что операция Х„ позволяет из замкнутых и открытых множеств построить любое множество класса И' (Х). По основной теореме о дополнениях операция Х„позволит тогда построить множество, не принадлежащее к ига (Х).
Легко, однако, доказать, что зто множество принадлежит к гГа (Х), что и доказывает нашу теорему. Применение к теории В- и С-множеств не требует пояснений. 44 декабря 1928 г. 14. О нроцессе интегрирования Данясуа О ПРОЦЕССЕ ИНТЕГРИРОВАНИЯ ДАНЖУА е Тогда в силу (1) шез (( ср (1) ( ) В) ( — ~ ( / (х) ( дх. (2) о о Виг аа ргосеае с1'1л1аата11оа де М. пои)оу.— рилд. гаа1Ь., 1928, го1. 11, р. 27 — 28. Перевод В.
в1. Скворцова. Пусть 1 (х) — функция с периодом д — а. Пусть а ~( $г ~( х, ~(... ~~ $г ~( х~ ~(... ~ $„~( д (хо — — а, х„= д) — разбиение отрезка (а, д). В соответствии с определением Данжуа 1 (х) интегрируема в смысле (В) и интеграл ь В ~ 7'(х) дх а имеет значение 1, если при стремлении к нулю шага се разбиения хо мера множества тех 1, которые удовлетворяют соотношению 31 — Ч (1) (= (1 — Х(х — —,)У( с+«)!)В, О (1< д — а1 стремится к нулю, каково бы ни было положительное число Л, не зависящее от со.
Данжуа доказал, что все суммируемые функции интегрируемы (В). Наша цель состоит в том, чтобы показать, что осе функции у(х) = — ~ 1 Р 7(я+а) 2н С Ьа (а~2) дсс, о сопряженные к суммируемым функциям / (х) периода 2п, также ин теерируемы (В). Известно, что среди этих функций д (х) имеются та- кие, которые несуммируемы ни на каком интервале. Мы установили ранее (см.
[1)) неравенство шее() д(х)() В) ( — ~ (1(х)(сгх, (1) о где С вЂ” абсолютная константа. Образуем сумму ц (1) для функции у (х), при этом ср (1) является сопряженной к функции Х (,; —;,) ( ($, + 1). 1Ю. О тоногого-теоретико-гррнноеом обосновании геометрии Пусть е сколь угодно мало, 7 может быть представлена в виде 7 (х) = 7', (х) + ув (х), где 7', (х) ограничена и вя ~ !!ггв(х)(с(х ( 8 ~ о Функция я, (х), сопряженная к /г (х), суммируема к нулю на интервале ( — и, я) и значение интеграла равно нулю.
Значит, для достаточно малого ш имеем Е, = шез (! (р, (1) ! ) ЧвЕ) ( е72. С другой стороны, в силу (2) имеем Ев = шее (~ суг (С) ! ) г7вй) ( е/2. Из этих двух неравенств получаем для достаточно малого ю шев((ф(!) ))Е) (Ед+Е,(е, что доказывает интегрируемость (В) функции д (х). Аналогичным образом можно показать, что я (х) соз их и я (х) е1п их также интегрируемы (В) и что ряд Фурье — (В) функции я (х) является сопряженным к ряду Фурье — Лебега функции 7 (х). 5 апреля 1927 г.
ЛИТЕРАТУРА 1. Ко!тобогоЕ А. 8ш 1ев 1опснопв Ьагшоп!спев соп!пзпеев в! 1ев вбг!ев бе Ропг!ег.— Рппб. ша!Ь., 1925, чо1. 7, р. 23 — 28. 15 О ТОПОЛОГО-ТЕОРЕТИКО-ГРУППОВОМ ОБОСНОВАНИИ ГЕОМЕТРИИ * Известно, что и-мерное пространство постоянной кривизны (т. е. гиперболическое, евклидово, эллиптическое или сферическоепространство) имеет (и + 1)и/2-мерную непрерывную группу движений. Все остальные до сих пор известные и-мерные геометрические образования допускают только меньшую свободу движений '.
Представляется естественной задача охарактеризовать пространствапостоянной кривизны как единственные топологические пространства с досг Епг ворс!аз!всЬ-зтпррвпвЬеогв1!всЬеп ВеатдпгЬшз бег 6еоше!Ив.— !ЧасЬг. бев. гг!вв. 051!!пиен, 1930, Вб. 8, 8. 208 — 210. Представлено П. Александровым. Перевод И. Пенкоеа (НРБ). г Замечательным исключением яеляютсн е одномерном случае соленоиды ван Данцнга; смн Рппг!. ша1Ь., 1929, чо1. 15, р.
102 — 105. 1У. 0 токового-теоретико-грукковом обосновании геометрии зь таточно большой свободой движений. Для этого рассмотрим топологическое пространство В и некоторую группу Г из однозначных непрерывных отображений В на себя. Для того, чтобы добиться сходства Г с группой, составленной из движений, естественно потребовать, чтобы отображения из Г были в совокупности равномерно непрерывны ': У с л о в н е 1. Для любой пары точек (х, р) и любой окрестности 1! (у) существуют две окрестности )г (х) и И' (у) такие, что при любом отображении из Г, которое переводит по крайней мере одну точку из гг (х) в г(г (у), весь образ 1г (х) лежит в Г! (у). В случае метризуемого и локально компактного пространства В условие 1 необходимо и достаточно для того, чтобы на В можно было ввести такую метрику (функцию расстояния), чтобы все отображения из Г сохраняли расстояние между любыми двумя точками, т.
е. стали конгруэнтными отображениями з. У с л о в и е 11. В метризуемо и локально компактно. Условие 111. В связно. У с л о в и е 1Ч. Г транзитивна г. Отображения нз Г, сохраняющие данную точку х, образуют подгруппу Г„вращений вокруг х. Обозначим множество всех образов точки у при отображениях из Г„через Я (х ( у) и назовем его сферой вокруг х. Если з лежит в Я (х ( у), то Я (х ! р) и Я (х ( з) совпадают. Дальше будем обозначать сферы с центром в х просто через Я (х). У с л о в и е Ч. Для любых двух различных сфер Я' (х) и Я" (хр с общим центром х одна из них всегда отделяет другую от центра С помощью условий 1 — Ч можно показать, что на В можно ввести инвариантную относительно Г выпуклую' функцию расстоянии р (х, у). При этом Г определяет эту выпуклую функцию расстояния с точностью до множителя.
Если В одномерно, из 1 — Ч следует, что В гомеоморфно обычной окружности или прямой. При этом можно так отобразить В на окружность или на прямую,что Г перейдет в группу вращений и отражений (и группу сдвигов и отражений соответственно). Не исключена воэможность, что и в общем случае пространство В с условиями 1 — Ч обязательно гомеоморфио конечномер г Мяе кажется, что это определение равиоыеряой непрерывности системы отображений з окрестности пары точек (к, у) лродотээляот известный интерес и в общем случае отобрвкэняй кз одного пространства В в другое пространство В'.
г В случае комвзктяого пространства В такая функция расстояния р* (к, у) определяется как верхний предел р (к', у') для всех образов (к', у'), пар точек (к, у) пря отобрзжеяиях вз Г; лри этом р (е, у) — произвольная фувкцэя расстояния в В. г Соленоиды зак Данцига удовлетворяют условиям 1 — 1Ч; во условие ГП можно было бы заменить более сильным (которое из выполнено для соленоидов): У с л о з в э ПГ.
Пространство В озяэяо я локально связно. Условия 1, 11, 11Г и 1У выполнены, например, для группы дзяжэякй обычного кругового цилиндра. Встает вопрос, яэ является ля В яри этих условиях обязательно мвогообразвэм? г Говорят, что р (х, у) выпукла, если для любых двух точек к и у существует по крайной мерв одна точка з такая, что р (к, у) 2р (к, з) 2р (у, з). 16.
Пееаедоеание пене ииа иноье грили ному пространству постоянной кривизны. Но для того, чтобы получить полную группу движений или движений и отражений, условия 1 — Ч недостаточны: уже в четырехмерном евклидовом пространстве существует группа движений, которая удовлетворяет 1 — Ч, но является только семимерной '. При любом отображении из Г, сфера Ю (х) переходит вместе с центром х сама в себя.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
