Колмогоров А.Н. Уравнения турбулентного движения несжимаемой жидкости (1124030), страница 18
Текст из файла (страница 18)
Эти отображения Е (х) на себя образуют группу Г (Я (х)). Для любой точки у на Е (х) можно теперь определить группу вращений Гл (о' (х)) сферы о' (х) вокруг точки у. Множество образов точки з, лежащей на Е (х), при отображениях из Гэ (Е (х)) обозначим через Е (х, у ) з) или коротко через Е (х, у) и назовем его сферой второго порядка. Более общо, если даны сфера и-го порядка Ю (х, х,..., х„) и группа Г (о' (х„х„..., х„)), для любой точки у на Ю (х„х„..., х„) определяется аналогично группа вращений Гд (Е (хю х„..., х„)) вместе со сферами (и+1)-го порядка Е (хю х„..., х„, у ) з) или коротко Е (х„х„..., х„, у).
Наконец, определяются также и группы Г (Е (х,, х„..., х„, у)). У с л о в и е Ч'. Для любых двух различных сфер Е' (х„х„... ..., х„) и Е" (хю хг,..., х„) одна из них отделяет другую от центра .т„в Е (х„хг,..., ха г ) х„). Если сфера 8 (х„х„..., х„) нульмерна, условие Ч' становится бессодержательным для сфер большего порядка, которые лежат в Е (х„х„..., х„); можно доказать, что в действительности если выполнены условия 1 — 1Ч и Ч', то все сферы достаточно большого порядка нульмерны.
Следовательно, существуют также и одномерные сферы, а они обязательно гомеоморфны обычным окружностям. С помощью метода индукции получается наконец О с н о в н а я т е о р е и а. Если выполнены условия 1, Н„П1, 1Ч, Ч', то В гдмевморфно кснечномернсму пространству постоян.ной кривизны; при этом В можно отобразить на это пространство так, что Г перейдет в полную группу движений и отражений. 48 июля 1930 г.
16 ИССЛЕДОВАНИЕ ПОНЯТИЯ ИНТЕГРАЛА* Основная цель этой работы — выяснить логическую природу процессов интегрирования. И если, помимо объединения различных подходов, при атом возникло некоторое обобщение понятия интеграла, то дело тут, по-видимому, в том, что обобщение понятия зачастую бывает полезно для постижения его сущности (ср. с предисловием ко второму изданию [1)). Не исключено, что все зти обобще- е Вта группа соответствует уннмслулярнсй группе линейных кватсрннсниых псдстансвок: а' = аа + Ь, ~ а ) = 1.
а 1)лсеггасЬвазсл 6Ьаг 1лсезга)Ьезтб1. — МасЬ. Ааа., 1930, Вс. 103, В. 654 — 696. Перевод П. Освальда (ГДР). ед, Исследование нонатиа интеграла ния могут представить интерес и для приложений, однако достоинства более общего подхода видятся мне прежде всего в простоте и ясности, которые вносят новые понятия. Интересом к общим проблемам теории интегрирования я обязан профессору Н.
Н. Лузину. Кроме того, я хотел бы поблагодарить В. И. Гливенко, с которым имел многочисленные беседы, относящиеся к содержанию данной работы и из которых извлек много полеа ного. Глава 1 ВВЕДЕНИЕ $ $. То, что сегодня понимают под словом «интегрирование», не является, собственно говоря, логическим понятием в строгом смысле. Скорее этот термин является собирательным для нескольких операций, каждая из которых имеет свое определение. В большинстве случаев, однако, эти операции обладают тем общим свойством, что в случае интегрирования непрерывной функции получается интеграл в классическом смысле.
Мне кажется, что все многообразие определений не может быть естественным образом сведено к одному, т. е. иначе говоря, проблема отыскания естественного определения интеграла, содержащего в себе все прежние определения в качестве частных случаев, является совершенно безнадежной. В частности, мне представляется, что, пытаясь объединить общей концепцией, с одной стороны, интеграл типа Стилтьеса для функций на абстрактных множествах (в той форме, которую предложил недавно Фреше (2)) и, с другой стороны, интеграл Данжуа, мы неизбежно столкнулись бы с принципиальными трудностями. Ведь для того, чтобы такое объединенное понятие могло быть применено к функциям, заданным на произвольных абстрактных множествах, оно должно базироваться лишь на таких построениях, которые основаны на общпх свойствах множеств и функций.
В то же время оно же должно учптывать особенности метода интегрирования Данжуа, столь тесно связанного с отношением порядка на числовой прямой. Процесс обобщения математического понятия, идущий одновременно в нескольких направлениях, встречается здесь не впервые: аналогичная картина имеется, например, когда различные свойства натурального числа служат отправной точкой принципиально различных обобщений.
С одной стороны, получаются трансфинитные порядковые и кардинальные числа, с другой — вещественные числа. Интегрирование в смысле Данжуа (им самим названное «тоталиэацией») является обобщением классического метода интегрирования, понимаемого как построение первообразной к данной функции. Это есть вполне естественный и логичный путь обобщения, который, если угодно, можно рассматривать как последнее звено цепи, имеющей своим началом ньютоновское понимание интеграла. Другой и еще более проторенный путь исходит из общей и довольно неопределенной идеи, согласно которой интегрирование есть не- 98 дд. Исследование нанятая интеграла кий способ суммирования, относящийся к бесконечному числу бесконечно малых величин, соответствующих в свою очередь бесконечно малым частям области интегрирования.
Эта идея, которой мы обязаны также самим словом «интеграл», была высказана в весьма расплывчатой, но совершенно общей форме Лейбницем. Она получила толкование(более или менее удовлетворяющее современного математика) впервые у Коши. Среди множества последующих работ, занимающихся проблемой интегрирования, большинство посвящено развитию этой идеи Лейбница. К этому же источнику относится уже упомянутое определение интеграла, данное Фреше (и ведущее в другую сторону по сравнению с интегралом Данжуа). Создание по возможности более широкого определения интеграла, реализующего понятие интеграла Лейбница в форме, отвечающей современным требованиям строгости, и, насколько это можно, сохраняющего при этом его универсальный характер, является целью данной работы.
Оба указанных направления не являются единственными, в которых можно продвигаться разумным образом, сохраняя достаточно много свойств операции интегрирования в классическом смысле. В особенности хочу отметить, что исходя из проблемы нахождения среднего значения функции (решение которой, как известно, в классических случаях задается интегралом) можно получить новую, весьма общую операцию, которая, между прочим, полезна в различных конкретных вопросах теории вероятностей. Эту операцию (которая, конечно, содержит классическое интегрирование как частный случай) я надеюсь сделать предметом другой работы.
Здесь хочу лишь указать на тот замечательный факт, что даже для вещественной функции ) (х) одной вещественной переменной естественным образом однозначно определенное среднее значение на единичном отрезке может не совпадать с интегралом Данжуа (взятым по тому же отрезку). То обстоятельство, что мы имеем дело с двумя определениями интеграла, каждое из которых является естественным и важным обобщением классического интеграла и дает для одной и той же функции два различных значения, на мой взгляд обосновывает высказанное в начале этого параграфа воззрение о безнадежности нахождения универсального понятия интеграла, охватывающего все разумные определения интеграла. Но даже в рамках данной работы мы встретимся с двумя определениями, а именно".
с определениями интеграла из глав 11 и 111, которые для некоторых функций дают различные значения (см. гл. 111, п. 14). Следует, однако, отметить, что случаи несовпадения двух последних названных определений интеграла реализуются только на функциях множества, построенных а«) Ьос' и для которых неясно, представляет ли вообще интерес их интегрирование. ' По конкретному поводу (лат.). 1д. Исследование эечеегие иетеграеа 99 $ 2. Пусть х — изменяющаяся в интервале (а, Ь) величина.
Лейбниц предполагает, что каждому значению х отвечает бесконечно малая величина егу. Складывая все эти оу, получается так называемая Яшпта Отп1шп Лейбница или интеграл от е(у на интервале (а, Ь). Смысл этого определения был даже для математиков ХУ1Н в. недостаточно ясен, что вынуждало их до Коши, отказываясь от подхода Лейбница, определить интегрирование как обращение дифференцирования. Коши первым перевел определение Лейбница из языка метафизики на язык математики и открыл этим возможность — хотя бы в частном случае г(у = 1 (х) е(х — найти путем настоящего вычисления интеграл ь )1(х) Ы а как предел известных интегральных сумм ~ ~ (9,)(хе — х,, ). (2) Обозначим интервалы (х; „х;) через Ьп длину интервала й через 1 (й), а через 1 (й) многозначную функцию интервала, которая на каждом интервале принимает все значения, пробегаемые 1' (х) на Л.
Тогда выражение (2) имеет вид ХПМ1(М=.У) (й). (3) Идея Лейбница осуществляется следующим образом. Найти для каждого значения х в (а, Ь) бесконечно малую пр оаначает определить функцию интервала 9г (й), которая становится бесконечно малой, когда й стягивается к точке х.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
