Колмогоров А.Н. Уравнения турбулентного движения несжимаемой жидкости (1124030), страница 22
Текст из файла (страница 22)
хн) — положительно однороднал функция первого порядка, ср (ахи ЙЪ~ ' .т 1хн) $ц (хм хг~, г хн)~ 1 ~ )01 (1) с ограниченными вторыми производными в каждом из направлений: ! — "'~- ...;..... дгц ( ( К (2) Тогда функция ц (6) = ц [1 (6), (г (6), ..., 1„(6)) имеет конечный интеграл на Е. Доказательство.
Положим р= Ух,'+ хг+... + х'„, ф = ц+2Кр. лб. Исследование понятия интеграла Мы утверждаем, что конус У, определенный в (и + 1)-мерном пространстве равенством г =- яу (х„хг,..., х„), является выпуклым вниз. В самом деле, для его выпуклости доста точно, чтобы имело место дгф/дгг ) О для любого направления, ортогонального к радиус-вектору из О в данную точку конуса.
Последнее неравенство вытекает из того, что для таких направлений дгр/дИ = 1/р, что в силу (2) дает д'ф/дгг = дгср/дР + 2К д'р/дг' ) О. Из выпуклости ]г следует, что середина отрезка с лежащими на У концами з;, х;, х,', ..., х„' и з", х"„х",,..., х„лежит выше конуса, т. е. ег (, ') + ег (ял) ~ ф / я' + .
' откуда (согласно (1)) ф (х') + яр (х") ) ф (х + х"). (3) Несложная индукция с последующим переходом к пределу показывает, что, когда Х (т) хг =х„ является абсолютно сходящимся для всех й, имеет место ~ ф (хрю) ) еу (х). (4)~ Из (4) непосредственно следует полуаддитивность вниз для функции ф (/, (С),..., /„(С)], что влечет ва собой ее интегрируемость на Е. Так как р (/, (С),..., /„(С)] также интегрируема, то доказано и существование интеграла ~ ц(дЕ)= ~ ф(йЕ) — 2К~ р(ЙЕ). Е Е Е 36. Н. /пусть /, (С), / (С), ..., /н (С) — аддитивные функции ограниченной вариации на ЪЕ и ц (х„хю ..., х„) — непрерывная и полохсительно однородная функция первого порядка.
При гтих условиям ср (С) = ц (/ (С) Л (С). . / (С)] обладает коненнылс интегралом на Е. ГВ. Исследование понятия интеграла Д о к а з а т е л ь с т в о. Представим ц в виде предела некоторой последовательности функций ор (х„х„..., х„) — о ~р, т -+ оо, удовлетворяющих условиям предложения 1, и позаботимся при этом о том, чтобы для любого т) ) О и достаточно больших т (т — ц ! <цб. Далее, положим К = ~ УД(с)Е) +... -)- ~~ (дЕ) = эир [(Л У Д -)-... -(- ~„') (ПЕ)!.
и 'Хогда для достаточно большого т справедливо (Е ! т ор ! ) (г)Е) еп т)Е Затем свойство У11 (п. 14) позволяет из существования интегралов для ц (6) на Е заключить о существовании ~ р(дЕ). Е 37. 111. Предложение 1 остается справедливым также в случае, когда относительно функций ~м 1г,..., 1„не предполагается их аддитивность, а лишь существование конечных интегралов на Е. Действительно, в силу п. 20 функции р'„(6) дифференциально эквивалентны своим неопределенным интегралам Рг (6).
Согласно и. 17 далее <р (6) = ~р [1, (6), ..., 1п (6)! и Ф (6) = ф (Р, (6), ... ..., Р„(С)! также дифференциально эквивалентны. Но так как вторая иэ этих функций интегрируема благодаря 1, то это имеет место и для ц (6), что и требовалось доказать. 17 ИНТЕГРАЛЫ ТИПА ~ ) (х) ~р (ае) Е 38. О п р е д е л е н и е. Для функции1(х) (возможно, многознач- ной) обозначим через / (Е) функцию множества, принимающую на множестве Е все значения, пробегаемые ~ (х) на всем множестве Е.
Если 1 (х) определена для всех х Е:— Е и ор (6) дифференциально определена на йЕ, то положим (й) ~ ~(х) <р(с)Е) =(й) ~ ЦдЕ) ор(йЕ). (1) Е Е Нас главным образом интересует случай, когда )' (х) одноаначна, а ~р (6) на йЕ конечна и аддитивна. В этом случае скажем, что ин- теграл (1) является интегралом типа Стилтьеса. Однако кое-что мы докажем и в общем случае., 16. Исследование нонятия интеграла 39. Соотношение ~ 1(х) [срг(йЕ) + срг(йЕ)] = ~ 1(х) срг(йЕ) + ~ 1(х) ера(йЕ) (2) вытекает непосредственно из свойства 111 (п.
14), причем существование правой части из(2) влечет за собой существование левой. Чуть более сложно доказывается формула ~ [1г(х) + 1я(х)1 ср(йК) =~ 1г(х)ср(йЕ) + ~ 1я(х) ср(йЕ). (3) г[з свойства 111 сначала имеем ~ [1г(йЕ)+ 1г(йЕ)) гр(йЕ) =~ 1г(йЕ) ср(йЕ) + ~ 1г(йЕ) ср(йЕ), (4) при етом правая часть (4) согласно нашему определению равна правой части иа (3), в то время как левая часть в (3) совпадает с выражением ') (1 +1)(йЕ) р(йЕ) где (1 + 1 ) (6) представляет собой совокупность значений, принимаемых 1г (х) + 1, (х), когда х пробегает множество 6. Если 1 (6), понимаемое в смысле определения и.
38, как множество содержится в 1' (6), то пишем (в соответствии с обычными теоретико-множественными обозначениями) 1 (С) с: 1' (6). Аналогично поступаем для функций разбиения. Очевидно, что из 1 (РЕ) ~ г.: 1' (РЕ) вытекает соотношение 1 [1 (РЕ)[ = 1 [1' (РЕ)], (5) причем из существования правой части следует опять существование левой, Включение 1 (6) с 1' (6) на И Е влечет за собой аналогичное включение (Щ (РЕ) с (Е1') (РЕ) для римановых сумм, откуда в силу (5) получаем, что (йй) ~ 1(йЕ) = (йй) ~ 1 (йЕ).
Так как имеет место далее (1 + 1я) (6) С:1г (6) + 1я (6) (1, + 1я) (6) Е (6) ~ [1 (6) + 1я (6)[ «р (6) И. Исследование понятия интеграла то, принимая во внимание (4), получим ~ [(г (х) + 7г (х)) гр(йЕ) —. ~ (~г -[- уг)(йЕ) <р(йЕ) = Е Б = ~ [)г(йЕ) + 1г(йЕ)) гр(йЕ) = ~ ~г(х) ц(йЕ) + ~ 7г(х) <р(йЕ), Е Е Е т. е. формулу (3), где снова из существования правой части вытекает существование левой. 40. Предположим сейчас, что еу (6) аддитивна на гкЕ и неотрнцательна. Рассмотрим разбиение Р6 множества 6 из ФЕ. Легко показать, что для каждой функции 7 (6) справедливы соотношения впр([ВЖ(Р6))) =зпр(ХП6 )ц(6 )) ~( ~( зпр 9 (6) 3 ц(6„)) ~( зпр [~ (6) гр (63 и аналогично гпг ([В (фр) (Р6))) ) 1пг [~ (6) гр (6)). Соответственно для любого продолжения Р'Е разбиения .РЕ имеем зпр ([В 9р) (Р'Е)) ~( зпр ([В ((ср) (РЕ)[) (6) !пЮ ([В (~~р) (Р'Ео г- 1п( ([В (7~р) (РЕ)[).
(7) Суммы Римана для Рр, таким образом, для продолжения разбиения РЕ заключены в более тесных границах, чем для самого разбиения РЕ. Далее, из определения интеграла как предела римановых сумм мы заключаем, что для каждого раабиения выполнено [п( ([В (~ср) (РЕ)1) ~( ~ ~(х) ср(йЕ) ( зпр ([В (У<р) (РЕ)1). (8) На основании этого резулыяата в нашем случае неотрицательной аддитивной на йкЕ функции ц (6) интеграл ') 1(х) ср(йЕ) можно определить как такоечисло Х, длл которого нри каждом е ) О существует разбиение .РЕ, удовлетворяющее неравенству [ [В (рр) (РЕ)[ — 1 [ ( з.
(9) Действительно, если существует разбиение с требуемыми свойствами, то те же свойства (в силу (6) и (7)) справедливы для проиавольного продолжения этого разбиения,.что приведет нас к первоначальному определению интеграла. Обратный переход тривиален, И9 16. ееееяедаеание понятия интеграла так как теперешнее условие является ослабленной формой первоначального. 41. Если ~р (6) — аддитнвная функция ограниченной вариации, то представление в виде разности (п. 33) ер (С) = р (%) — )( (~) согласно (2) приведет к аналогичному представлению ~ ((х) ер(дЕ) = ~ ~(х) ЯМЕ) — ~ ~(х) у(йЕ). л Е л (10) ~ ~(х) ~р(с(Е) = ~ ) (х) ~ ~ ср (НЕ) ~ . Таким образом, из существования конечного интеграла с ограниченной вариацией для ер (Е) следует интегрируемость | (х) ~р (Е) для ограниченных и измеримых ~ (х).
В частности, существует интеграл ~ р(х) ерзая(с(Е), )я(е1Е),..., ~„(аЕ)~, Е Формула (10) тоже может служить определением интеграла для рр, если интегралы справа определены в смысле п. 40. В качестве специального случая нашего определения получаем, таким образом, определение интеграла Стилтьеса в виде, данном Фреше и рядом других авторов. Следует еще отметить, что для неотрицательных ер (С) в силу формул (6) — (8) можно избежать использования понятия предела по Муру потому, что уже существование разбиения с маленьким колебанием соответствующих римановых сумм гарантирует хорошее приближение интеграла. Однако привлечение формулы (10) в целях определения интеграла в общем случае является обходным путем, так что все равно в этом случае понятие предела по Муру больше соответствует существу дела.
42. Функцию ~ (х) назовем измеримой на вк, если при любом выборе вещественных чисел а и Ь множество Е (а ~(~ (х) ( Ь) всех тех х, для которых ~(х) удовлетворяет взятому в скобки неравенству, принадлежит к системе як. Легко доказать, что интеграл (1) существует; как только р (х) ограничена и измерима на ик, а ер (6) имеет ограниченную вариацию по этой же системе множеств. 43. Если ~ (х) по абсолютной величине меньше некоторой константы Х, то из дифференциальной эквивалентности двух функций ер (Е) и ~р (Е) вытекает дифференциальная эквивалентность для 1 (Е)ер(Е) и 1(Е)ф (Е). Из дифференциальной эквивалентности интеграла и стоящей под знаком интеграла функции мы, далее, заключаем: Если р (х) ограничена и ~р (0) обладает конечным интегралом на Е, то г20 гд.
ггееледоеание нонннгин интеграла как только !„!„..., !„удовлетворяют условиям одного из предложений з 6. Аналогичным образом в качестве частного случая нашего определения получаем интеграл в смысле Хеллингера [6[: ь г 1 Ы!(х) Чг(х) дг( ) а аз ПРИМЕРЫ 9Л-СИСТЕМ 44. Пусть система й)е, состоит из всех открытых интервалов (но исключены бесконечные интервалы) и из всех одноточечных множеств числовой прямой.
Разбиения РЕ при этом являются разбиениями интервала Е на не более чем счетное число интервалов и отдельйых точек. Во многих случаях (в частности, когда интегрируемая функция множества для одноточечных множеств принимает значение нуль) только интервалы играют существенную роль.
45. Интеграл вида (Ф,) ~ ! (х) г (НД), ь где г (Д) обоаначает длину интервала Д, представляет собой небольшое обобщение интеграла Коши — Римана: те и только те функции оказываются интегрируемыми в данном смысле, которые вместе со своей абсолютной величиной интегрируемы по методу Дирихле. 46. Если Р (х) имеет только точки разрыва первого рода, то (УР) (Е) определяется через разность Р (Ь вЂ” О) — Р (а + О), когда Е является интервалом (а, Ъ); для Е, состоящего из одной точки а, положим (ГР) (Е) = Р (а + О) — Р (а — О).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
