Колмогоров А.Н. Уравнения турбулентного движения несжимаемой жидкости (1124030), страница 24
Текст из файла (страница 24)
Пусть н р Е= ~ Е, Е'= ,'~~ Ео те.т ч=1 — два множества иа оЕ, представленные в виде сумм попарно непересекающихся множеств из Я. Так как множества Е Ео принад- 12ге И. Исследование поннтиа интеграла лежат 2, то согласно п. 7 в Л имеются разбиения вида Р Е = — ~~Е Е, + ,'«~ Е~ г. Очевидно, что ЕЕ'= ~~~",~гЕ Ео, ге Е+ Е'=,'г',Е + ~;~„Е~~> о т г Š— Е' = ',~~ ~ Е~ > принадлежат о2, поскольку правые части этих равенств представ- ляют собой раабиения на попарно не пересекающиеся множества из 2.
Отсюда вытекает, что о2 является телом и, следовательно, сов- падает с КЯ. 10. Аддитивная на 2 функция 7' (Е) всегда и притом единствен- ным образом продолжила на область КХ с сохранением ее свойства аддитивности. Ясно, что (в предположении, что такое продолжение возможно) для каждого разбиения множества Е из К2 на множества из 2 мы должны иметь / (Е) = (Е7) (РЕ). (1) На основании аддитивности ~ на 2 мы, далее, имеем для любых раз- биений .РЕ и Р'Е соотношение (Е1) (РЕ) = (Ф) ((РР'! Е) = (Ф) (Р'Е), которое показывает, что данное формулой (1) определение ~ (Е), где.
Š— произвольный элемент из КЛ, не зависит от выбора разбиения РЕ. Продолженная на всю область К2 функция 7 (Е) является аддитивной. 11. Для Е из К2 положим п (2)') 1(дЕ) =(~ (2) ~ У(дЕ„), и т=1 Кгн причем РЕ = ХŠ— разбиение Е в 2. Согласно только что доказанному это определение от выбора разбиения не зависит. Определенный таким образом интеграл обла- дает свойствами 1 — У1. 12.
В качестве примеров 2-систем приведем следующие: уже оп- ределенную в гл. 11 (и. 44) систему бй„состоящую из открытых ин- тервалов и одноточечных множеств числовой прямой; систему икв всех «полуоткрытых» интервалов [а, Ь) (этой системой мы пользова- лись в гл. 11, п. 31); систему%в всех интервалов вида (а, Ъ), (а, Ь), т26 ее. Исследование понятия ин«геграяа (а, Ъ), (а, Ь), причем к замкнутым интервалам (а, Ь) отнесены также отдельные точки. Очевидно, что, кроме того, каждое тело, в частности системы ейз н зуз из гл. !! (п. 47 и 48), является Е-системой. Е-системы образуют естественную основу для построения теории интегрирования.
13 О ВЗАИМОСВЯЗИ ДВУХ МЕТОДОВ ИНТЕГРИРОВАНИЯ 13. Ограничимся рассмотрением интегралов (Е)~ ((йЕ) и (2))'1(йЕ), взятых относительно Я-систем. Как упоминалось уже в п. 8, в этом случае ХЕ и ЕЕ* совпадают. В общем случае ФЕ и йй Ео могут быть различными и одно это обстоятельство аатрудняет в значительной степени построение более или менее простой теории. 14. Прежде всего покажем на примере, что интегралы (1) на самом деле могут быть рааличными. Для этой цели вспомним состоящую иа интервалов и отдельных точек систему множеств йй„которая согласно п.
12 является Е-системой, и определим ! (Е), полагая ( (Е) = = 1 для каждого интервала вида Е = (О, а) и! (Е) = О для остальных элементов бй,. Очевидно, что Г (Е) аддитивна (т. е. конечно аддитивна), однако только полуаддитивна вверх в смысле бесконечных разбиений. Легко видеть, что для единичного интервала й = = (О, 1) имеем (а,) 1 ((йй) =1, (йй,) ~'!(йй) =О, так что оба определения интеграла дают вполне определенные, но отличные друг от друга значения. 15.
Следуя Фреше, назовем заданную на Ефункцию множества лепрерыеной по системе Я, если для каждой последовательности убывающих множеств Е„с пустым пересечением ! (Е„) сходится к нулю при возрастающем и. Легко убедиться, что построенная в п. 14 функция не является непрерывной. 16. Для непрерывной на теле множеств К фунниии / (Е) ииеет место (К) ~ !(йЕ) =(К) ~" ! (йЕ), причем из существования левой части следует существование правой. Предположим, что левый интеграл 1 существует и конечен. Того да для любого е ) О существует конечное разбиение ЭЕ кв ~'„г Е «гва 127 1б. Исследование нонятия интеграла такое, что для каждого его продолжения Р'Е ) РЕ ! (В1) (Р'Е) — 1 ~ ( е.
(2) Рассмотрим теперь произвольное бесконечное продолжение со Р'Е = Х Е.* м=м для РЕ и докажем, что ряд ° о ~ 1(Ем) =(ЕЦ~(РиЕ) является абсолютно сходящимся. Последовательность множестги сс м-г С„м=Е ,'~~ Ьм=Š—,Я Еа (й=1,2,...) г=м с-д (члены которой, очевидно, принадлежат К) удовлетворяет условию непрерывности нз п. 15, так что 11ш 1' (С м) = О. Следовательно, мы можем взять йо настолько большим, что для всех т ( гг г гл «) ( е/я й) йо (41 Конечное разбиение м — г н РмЕ= Я Еа+ ~ 0 является продолжением РЕ, таким образом, для него справедливо неравенство (2). Принимая во внимание (4), из (2) следует; что длк достаточно больших й выполнено неравенство ~;~~~ ((Е;) — 1) (2е. (5)г Но тогда ряд (3) должен абсолютно сходиться, в противном случае можно было бы перенумеровать Еам таким образом, чтобы неравенство (5) было нарушено, каким бы большим ни было й.
Этим докааано, что сумма Римана (В1) (Р*Е) существует и согласно (5) удовлетворяет неравенству (В1) (РаЕ) — 1 ) ( 2е. (6) Поскольку для конечных разбиений имеет место более сильное неравенство (2), то (6) справедливо для всех продолжений РЕ, чу (в силу произвольности е) дает требуемую формулу ло. Исследование понятия интеграла Аналогично можно справиться со случаем бесконечных значений интеграла. 17. Если интегрирование ведется в Я-системе, не являющейся телом, то только что доказанное предложение теряет силу.
Чтобы в этом убедиться, рассмотрим следующий пример. Элементом системы множеств ййе считается множество всех иррациональных точек, лежащих внутри квадрата числовой плоскости с рациональными вершинами (для краткости всякое такое множество назовем также квадратом). Здесь под рациональной (соответственно иррациональной) точкой понимается точка, обе координаты которой являются рациональными (соответственно иррациональными). Для квадратов Е, примыкающих справа к оси у, положим /(Е) равным длине стороны данного квадрата, для остальных квадратов положим ) (Е) = О. Как нетрудно видеть, для единичного квадрата Е, имеем Е, хотя ~ (Е) непрерывна на Ве и лее является Е-системой.
18. Укажем еще пример непрерывной на Я-системе функции, интегрируемой в смысле конечных разбиений, но неинтегрируемой в смысле бесконечных разбиений. Для этого рассмотрим на системе йй, вариацию (1еР) (Е) непрерывной функции точки Р (х) (ср. гл, 11, п. 46). Как известно, (1гР) непрерывна на ййд в смысле определения из и. 15, а йй, является Я-системой. Тем не менее в силу аддитивности (1сР) имеем (й„) ~ (РР)(ЫЕ) = (РР) (Е), в то время как (йй~) ) (УЕ) (е(Е) .существует только тогда, когда Р (х) имеет на Е ограниченную вариацию. 19. Определенная на Я функция 1 (Е) называется вполне непрерывной, если для каждой последовательности множеств Е,:З Е:.л...:.о Е„:.о... из ЕЕ с пустым пересечением и каждой последовательности разбие- ний Р,Е„РгЕг,..., Р„Е„, множеств Е„на множества из Е суммы (Л1) (Р„Е„) становятся бесконечно малыми при возрастающем п (само собой разумеется, что эти разбиения предполагаются конечными). 129 И.
Исследование во»атал акт»орала Очевидно (п. »5), что вполне непрерывная функция является непрерывной в смысле Фреше е. 20. Для вполне непрерывной на Е функции 1' (Е) справедливо (Е) ~ ((дЕ) = (Е) ~" ((дЕ), причем иг существования одного иг этих интегралов вытекает существование другого.
Предположим сначала, что существует первый из этих интегралов и пусть он равен конечному числу 1. Тогда для любого е ) О можа но найти разбиениеРЕ= ~ Е, для каждого конечного продолт=» ження Р'Е ) РЕ которого имеет место ! (В1) (Р'Е) — 1 ) ( е, (2) Пусть РаЕ = ,"~~ Е»е — бесконечное продолжение для РЕ. Для по»=» следовательности множеств члены которой принадлежат КЯ, в силу полной непрерывности 1 при любом выборе разбиений Р„»е„имеем (В1) (Єф) — О. Выберем к настолько большим, что для произвольного РС» выпол- нено ) (В1) (Р»е») ) ( е.
В силу п. 7 существует разбиение для Е на множества из У вида ».— » т Р»Е= Х Е + Х Х ЕтЕ»ч т=» о=» очевидно при этом, что ХЕ»о = 6». Разбиение » — » Р»Е= Х Е; (- ~~~ ~ Е„Е» т=» о=х ' Для аддитиеных функций оба понятия совпадают, поэтому в лрежних теориях наше иоеса понятие было ненужным.
Однако е общем случае как раг полная нелрерыенссть представляет собой естественное обобщение на неаддитиеные функции понятия непрерывности для адаптивных функций. л6. Иее едоеание понятия интеграла является продолжением РЕ, следовательно, для него справедливо неравенство (2). С другой стороны, согласно (3) имеем и он ~ )(Е Е„,) !=((Ву)(Рг0г))(е, т=-1 ~1 что вместе с (2) дает н-г ( ч~', 1(Еа) — 1) ( 2е. (5) Как и в п.
16, отсюда заключаем, что ряд Х ((Ег) =(Вй (Р*Е) я=1 абсолютно сходится и имеет место ) (В1) (Р*Е) — 1 ) ( 2з. Так как зто неравенство верно для произвольного бесконечного продолжения разбиенияРЕ, а для конечных продолжений справедливо даже (2), то получим (как в п. 16) равенство 1*=(2) ~" 1((Е) = 1. Е В случае бесконечного 1 доказательство проводится в полной аналогии.
Допустим сейчас, что 1а существует и конечен. Тогда для каждого е ) О найдется такое разбиение РаЕ, что для любого его продолжения Р,Е выполнено неравенство ! (В1) (РяЕ) — 1* ! ( е. (7) Мы хотим построить с помощью .Р*Е некоторое конечное раз- биение РЕ, удовлетворяющее при любом 1),Е ) РЕ неравенству ) (В~) (РгЕ) — 1* ( ( Зе. (8) Если РаŠ— подлинно бесконечное разбиение, т. е. РаЕ= Х Ег, в=г то можно найти такое гг, что (сохраняя наши прежние обозначения) имеет место неравенство (3), и кроме того, ~ ~ 1(Е; ) ~(е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
