Колмогоров А.Н. Уравнения турбулентного движения несжимаемой жидкости (1124030), страница 27

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 27)

Четвертая и пятая суть примеры условных задач; прн этом посылка в пятой задаче невозможна и, следовательно, сама задача бессодержательна или пуста. Доказательство бессодержательности задачи будет всегда в дальнейшем рассматриваться как ее решение. Мы полагаем, что после этих примеров и разъяснений понятия «задача» и «решение задачи» во всех случаях, которые встречаются в конкретных областях математики, могут употребляться без недоразумений '. В дальнейшем задачи будут обозначаться посредством строчных латинских букв а, Ь, с,... Коль скоро а и Ь вЂ” задачи, а,л~ Ь означает задачу «решить обе задачи а и Ь», а а 'эг Ъ вЂ” задачу «решить по крайней мере одну из задач а и Ьж Далее, а Э Ь есть задача «предположив, что решение задачи а дано, решить задачу Ь» или, что значит то же самое, «свести решение задачи Ь к решению задачи а».

Мы нигде не предполагали, что каждая задача разрешима. Пусть, например, теорема Ферма верна; в таком случае решение первой задачи было бы противоречивым. Соответственно этому 1а означает задачу «предположив, что решение задачи а дано, получить противоречие» '. Согласно этим определениям, если а, Ь, с, сг суть задачи, каждая формула р (а, Ь, с,...), составленная с помощью знаков Д, ~/, 3 и 1л также обозначает некоторую задачу. Если же а, Ъ, с,...

суть только символы неопределенных задач, можно сказать, что р (а, Ь, с, ...) представляет собой функцию заданных переменных а, Ь, с,... В общем случае если х есть переменная (произвольного сорта) и а (х) обозначает задачу, смысл которой зависит от значений » Чтобы быть совершенно точным, следует при формулировании этой задачи указать дозволенные средства построения. » В противоположность атому виска«и«акик «теорема Ферма неверна» и «существуют четыре числа, удовлетворяющие соотношениям (1)» с точки зрения классической логики эквиззлентиы. ' Главные понятия логики высказываний «высказывание» и «дока»«тельство высказывания» находятся не в лучшем положении. ' Отметим, что ~а не следует понимать как задачу «докэзэть неразрешимость задачи а». В общем случае, если рассматривать «нерэзрешимость а» кэк вполне определенное понятие, мы получаем лишь, что из ~а вытекает неразрешимость и, но не обратное. Если бы, например, было доказано, что осуществление вполне-упорядочения континууме превосходит ваши способности, еще нельзя было бы утверждать, что из наличия такого вполне-упорядочения вытекает противоречие.

144 19. К толкованию иытуыэионыстскоа логики х, то (х) а (х) обозначает задачу «указать общий метод решения задачи а (х) при каждом отдельном зпачеиии х». Это следует понимать так: решить задачу (х) а (х) значит быть в состоянии для каждого заданного единичного значения х, переменной х решить задачу а (х,) посредством конечной последовательности заранее (до выбора этого хо) известных шагов э. Для Функций р (а, Ь, с,...) от неопределенных задач а, Ь, с,... в дальиейшем вместо (а)(Ъ)(с)...

р (а, Ь, с, ...) пишем просто ' ) — р (а, Ь, с, ...). Следовательно, )-р (а, Ь, с,...) обозначает задачу «указать общий метод решеиия задачи р (а, Ь, с,...) при каждом отдельиом выборе задач а, Ь, с, ...». Задачи вида )-р (а, Ь, с,...), где р выражено посредством зиаков ~/, /~, ~ и ), составляют предмет элементарного исчисления задач '. Соответствующие функции р (а, Ь, с, ...) суть элементарные задачныс (дункции.

То, что я решил задачу, является чисто субъективным фактом, который сам по себе еще ие представляет никакого общего интереса. Логические и математические задачи обладают, однако, специальиым свойством общеобязательной значил«ости их решений: если я решил логическую или математическую задачу, то я могу изложить это решеиие общепонятным способом и оио с необходимостью будет признано правильным, хотя эта необходимость и носит идеальный, в некоторой степени, характер, поскольку предполагает достаточное развитие слушателей '.

Цель исчисления задач состоит, собствеипо говоря, в том, чтобы дать метод, позволяющий посредством механического примепеиия нескольких простых исчислительиых правил решать задачи вида ) — р (а, Ь, с,... ), где р (а, Ь, с,...) представляет собой элемептариую задачиую функцию. Чтобы свести все к этим исчислительным правилам, мы должны предположить, однако, что решения пекоторых элементарных задач пам уже известиы. Мы принимаем как постулаты, что две следующие группы задач А и В уже решены.

» Как и раисе, ыы вадеемся, что в конкретных областях математики это определение ве может привести к иедоразуыеииям. о Такое объяснение зиачевия экачка ~ — полностью отличается от предложевкого Гейтиигоы, хотя и приводит к теы же самым правилам исчисления. т Это определение аналогично определению элементарного исчислеяия высказываиий. Однако з исчислевии высказываний логические функции, аяалогичвые функциям А, ',/, ~, и ~, могут быть эыражеиы через две из ких. В исчислекии задач все четыре функции независимы.

е дословно то же справедливо и для доказательств теоретических высказыиаяий. Существеиио, однако, что каждое доказаяиое зысказызаиие является верным; для задач подобиое понятие верности отсутствует. 19. К толкованию интуициониотской логики 145 Дальнейшее изложение обращено только к такому читателю, кото- рый решил все эти задачи ': 2.1 ) — а 1 а /~ а 2.11 )- а /~ Ь 1 Ъ Л, а 2.12 ) — (а З Ь) Э (а /~ с ~ Ь /, с) 2.13 ) — (а 1 Ь) /~ (Ь о с) 1 (а З с) 2.14 ) — Ь З (а 1 Ь) А 2Л5 )- а /~ (а 1 Ь) 1 Ь 3.1 )-' а 1 а ~/ Ъ ЗЛ1 ) — а ~/ Ь:Э Ь |/ а ЗЛ2 )- (а :Э с) /', (Ь .:Э с) ~ (а ~/ Ъ :Э с) 4.1 ) — ~а 1 (а Э Ь) 4Л1 )- (а Э Ь) /~ (а ~ ~Ъ) Э ~а.

Итак, мы предполагаем, что при любом выборе задач а, Ь, с читатель может решить все стоящие здесь после знака )-задачи. Это не представляет никаких трудностей. Например, в задаче 2.12„ предполагая, что решение Ь ужв сведено к решению а, следует свести решение Ь Д с к решению а,Л, с. Пусть решение а /~ с дано; это означает, что даны как решение а, так и решение с; из решения а мы можем по предположению вывести решение Ь, а так как решение с уже является данным, мы получаем решения обеих задач Ь и с, а следовательно, и решение задачи Ь /, с. В этом рассуждении ааключается общий метод решения задачи (а ЭЬ) Э(а/~с~Ь/~с), справедливый при любых а, Ъ, с.

Таким образом, мы имеем право рассматривать задачу 2.12. )- (а З Ь):о (а /~ с о Ь /, с) (со знаком общности ) — ) как решенную. Вторая группа задач, для которой мы постулировали наличие решений,— группа  — содержит лишь три задачи ". А именно мы исходим из того, что мы всегда в состоянии (владеем общим методом) решить для любых элементарных задачных функций р, д, г, г,...

следующие задачи: 1. Если ) — р /~ д решена, решить ( — р. П. Если ) — р и ) — р Э д решены, решить ) — д. Ш. Если ) — р (а, Ь, с,... ) решена, решить ) — р (д, г, г,...). Теперь мы можем указать правила нашего исчисления задач. о В случае ясчясяекяя зысказывзввй, если желать установить верность следствий, следует сперва убедиться з верности аксиом. Относительно нумера- ция формул ср. (Ц. ы Их нельзя, однако, выразить символически посредством знаков элемен- тарного исчисления задач.

446 19. К толкованию интуиционивтской логики 1. Сперва мы заносим в список решенных задач задачи группы А. 2. Если в нашем списке уже находится ( — р,Л, с1, разрешается поместить туда также и с в р. 3. Если там находятся обе формулы Ь- р и ) — р 1 с1, можно поместить и ) — д. 4. ЕСЛИ Г- р (а, Ь, С, ...) ужЕ НаХОдИтСя В СПИСКЕ Н сг, Г, З, ...

суть произвольные задачные функции, разрешается поместить туда также н ) — р (сг, г, з, ...). На основании ранее принятых постулатов легко убедиться, что зто формальное исчисление действительно обеспечивает решение соответствующих задач. Мы отказываемся здесь от дальнейшего развития этого исчисления поскольку все только что указанные формальные исчислительные правила н а рг1ог1 написанные формулы совпадают с исчислительными правилами и аксиомами Гейтинга И); следовательно, все формулы нааванной статьи мы можем трактовать как задачи и все эти задачи считать решенными.

Здесь мы отметим лишь некоторые особенно интересные из таких задач (они также рассматриваются как решенные): 4.3 ) — а з ) ) а 4.2 )- (а з Ъ) ~ ( ~ Ъ ~ ) а) 4.3.2 ) — ) ~ ) а ~ ) а Решения задач 4.3 и 4.2 ясны и без вычислений. Решение задачи 4.3.2 получается иа 4.3 и 4.2, если в 4.2 заменить Ь на ) ) а.

Если к принятым а рНоП формулам А присоединить еще формулу ) — а~/ ~а (2) (в логике высказываний — принцип исключенного третьего), мы получим полную систему аксиом классической логики выскааываний. При нашем толковании задач формула (2) читается следующим образом: указать общий метод, позволяющий для кансдой задачи а либо найти ее решение, либо же из наличия такого решения вывести противоречие! В частности, когда задача а состоит в доказательстве высказывания, надо располагать общим методом, позволяющим каждое высказывание либо доказать, либо привести к противоречию. Если наш читатель не считает себя всезнающим, он, пожалуй, согласится, что формула (2) не может находиться в списке решенных им задач. Странным образом, однако, задачу " 4.8 ( — ) ~(ас/ ~а) можно решить, как показывается исчислением Гейтинга.

ы В логике высказываний 4.8 выражает браузроеу теорему о кепроткеоречквостк закона исключенного третьего. »4У 19. Н толкованию инткилионистскоа логики Формула — ~а~а (3) (в исчислении высказываний — правило двойного отрицания) также не может появиться в нашем исчислении задач, поскольку из нее с помощью 4.8 следует формула (2). Мы видим, таким образом, что в противоположность формулам интуиционистской логики Гейтинга даже самые простые формулы классической логики высказываний не могут появиться в нашем исчислении задач. Следует еще отметить, что если формула [-р является ложной в классической логике высказываний, то соответствующая задача [ — р не может быть решена. В самом деле, иэ такой формулы ,'— р с помощью ранее принятых формул и исчислительных правил исчисления задач можно вывести очевидным образом противоречивую формулу [-а /~ ~а (ср. [31).

Основной принцип интуиционистской критики логических и математических теорий таков: каждое не бессодержательноевысказывание должно указывать на одно или несколько совершенно определенных, доступных нашему опыту положений вещей ". Ксли а есть общее высказывание вида «каждый элемент множества К обладает свойством А» и если, сверх того, множество К бесконечно, то отрицание высказывания а, т. е. высказывание «а ложно», не удовлетворяет только что сформулированному принципу, Чтобы устранить это затруднение, Брауэр дает новое определение отрицания: «а ложно» следует понимать как «а ведет к противоречию». Таким образом, отрицание высказывания а превращается в экаистенциальное высказывание, или высказывание о сущестпвовании: «Существует цепь логических заключений, которая, если принять верность выскааывания а, приводит к противоречию».

Характеристики

Список файлов учебной работы