Колмогоров А.Н. Уравнения турбулентного движения несжимаемой жидкости (1124030), страница 30
Текст из файла (страница 30)
Пусть теперь К локально связен. Тогда на основе известных теорем для каягдой точки а ~= К и для каждого ее не содержащего замкнутого множества Р С К можно найти жорданову дугу (а, Р) 5= ~= К так, чтобы а была ее крайней точкой, а другая ее крайняя точка была бы единственной точкой дуги, принадлежащей Р. Начнем теперь индуктивный процесс, в котором множеством Р будет некоторая точка а, ~К, и примем, что замкнутые множества Р, Р„...
..., Рт уже построены. Выберем дальше одну из всех наиболее отдаленных от Р„точек из К, скажем а, построим дугу (а, Р ) 5- К и положим Ртег = Рт + (ат Рт) Ксли ряд ~х~ Ь(а, Р ) (з) расходится, то по теореме 1 рг (К) > ,'р, р' (а, Р„) =,~~ Ь (а, Р ) = + и, следовательно, [гг (К) = Ф (К) = +со.
Если же ряд (3) имеет конечную сумму Ь, то Ь (а, Р ) стремится к нулю с ростом т, из чего при помощи определения дуги (а, Р ) следует, что множества Р аппраксимируют континуум К сколь угодно хорошо. Теперь мы определим непрерывные кривые Я„Я„... ..., Ят,.... так, что запас точек Я будет совпадать с Р„. Я строятся последовательнотакимобразом: Яесовпадает с точкой ае — — Р . Примем, что кривая Я уже построена, и выберем на ней первую точку хт, которая совпадает с конечной точкой (а, Р ), принадлежащей Р .
Тогда пусть Я „будет по определению непрерывной кривой, которая начиная с начальной точки кривой Ят совпадает с Я вплоть до точки х, аатем пробегает дугу (а, Р ) туда и обратно и после возвращения в х пробегает остаток Я от х до конечной точки. Очевидно, все начальные и конечные точки кривых Я совпадают с точкой а,; их общая длина равна Ь (о ) = 2 Х Ь(ак Рг).
г<т е60 31. Н теории мери В предположении, что ряд (3) сходится, легко видеть, что кривые Е аппраксимируют некоторую непрерывную кривую о', длина которой будет в точности равна 2Ь. Кривая Е (как множество точек) совпадает с континуумом К. Континуум К может быть представлен в виде К = Х(а„, «„)+ Е, (4) где Š— множество точек, не принадлежащих дугам (а, Е ). Отобразим Е на отрезок Л длины 2Ь, как в доказательстве теоремы 1, так, чтобы обратное отображение было нерастягивающим. При этом два раза пробегаемые дуги (а, Е ) переходят в части Ь с общей длиной 2Е, а Е отображается на множество Е' меры 2Ь— 2Л = О. Далее, поскольку Е' отображается на Е нерастягивающим образом,' 1о' (Е) = О, а следовательно, и рг (Е) = О, из чего при помощи (4) следует, что р' (К) = ~ р' (а, Г ) = Ь = ~ р' (а, Е ) = р' (К).
16 ТЕОРИЯ МЕРЫ В ОБЩИХ МЕТРИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВАХ Во всем изложении до этого места мы могли предполагать, что функции множества 1о (Е) определены для всех метрических А-множеств. При этом под метрическим множеством мы понимаем множество иа любых элементов, в котором для любой пары элементов (х, у) определено расстояние, удовлетворяющее обычным аксиомам (см. (1]).
Метрическое множество называется (абсолютным) А-множеством, если оно является непрерывным образом множества всех иррациональных чисел. Функции множества р" (Е) и р" (Е) определены, следовательно, для всех метрических А-множеств и обладают в этой новой области определения всеми ранее сформулированными свойствами. В частности, результаты З 5 о длине дуг и о линейной мере контииуумов верны тоже в общих метрических пространствах. Возможность построения теории меры в общих метрических пространствах была осознана впервые П.
Урысоном в 1921 г. в одной его неопубликованной работе. Урысон рассматривает множества Е в компактном метрическом пространстве «1 и поступает следующим образом. Пусть 0 — покрытие Е, состоящее из конечного или счетного числа замкнутых множеств «ь С Л с диаметрами г(э ( е. Мера т, (Е) порядка о (о ) О) определяется как ом т„(Е) =1пп1п( т(о) «о(~а, т(о) = 2 Г(а/2+1) НИ 21.
К теории мери Для точечных множеств из К" это определение можно найти у Хаусдорфа (4) среди многих других определений, которые не имеют смысла для общих метрических пространств г. Функция меры т, (Е) удовлетворяет нашим условиям 1, Н, 111, и если а целочисленно, то и условию 1У с единичным кубом еа в качестве эталона меры. Следовательно, для целых а Ра (Е) ( та (Е) ( Ра (Е) Если а = 1, та (Е) отождествляется с линейной мерой Каратеодори; мне кажется вероятным, что равенство тт (Е) = )гт (Е) имеет место всегда. $7 ТЕОРЕМА ОДНОЗНАЧНОСТИ ДЛЯ ТОЧЕЧНЫХ МНОЖЕСТВ ЕВКЛИДОВЫХ ПРОСТРАНСТВ И СВЯЗИ С ТЕОРИЕЙ ПОВЕРХНОСТНОЙ МЕРЫ Мы возвращаемся теперь к множествам, лежащим в К". Имеет место следующая Теорема однозначности.
Равенство Ез (Е) = р" (Е) выполнено для любого множества Е ~ К", которое может быть представлено как нерастянутый образ некоторого А-множества Е' С К". Неравенство Ет (Е) ) рт (Е), следовательно, возможно только при Ет (Е) = +ос. В случае однозначности отображения л ' (Е) = = Е' теорема однозначности следует из некоторого интегрального представления функций меры Ез (Е) и )зз (Е). Рассмотрим для этого функции х; = х; (Ут Ут ° ° ° Уз). $ = 1, 2, ..., и, которые представляют отображение в некоторых прямоугольных координатах в К" и соответственно в К". Нескольку я (Е') нерастягивающее, то )хе — х; ~/~п' — т)" ) (1, где Ч, как обычно, обозначает вектор с компонентами у„ у„ ..., у„ (а также и точку (у„у„..., у„)), и е Ва время нсспедаввннй Урысана (тэзт) работа Хаусдорфв 141 была в Москве недоступной. 162 21.
К теории меры Следовательно, для функций х, почти везде на Е' определены част- ные производные дх,/ду;. Составим выражение где знак суммы распространяется на всевозможные наборы (1„1„ ..., 1в). Т е о р е и а о б и н т е г р а л е. В сделанных предположениях Р" (Е) = И' (Е) = ~ П с(о = Т' (Е), Е' еде интеерал понимается в смысле Лебега е.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Очевидно, достаточно рассматривать множества Е' с т" (Е') (+со, так как иначе Е' можно было бы разложить в счетную сумму таких множеств. Говорят, что х1 (у„у„...., у„) = х, (т)) дифференцируема в некоторой точке, если для Лх; = х( — х, и Луз = у,' — у; выполнено Лх;= ~~1 — 'Лу/+ о(( Лт) !).
Если обозначить матрицу ~ дх;/ду/'( через дХ/дт), то в точке, где все функции х, дифференцируемы, в векторных обозначениях выполнено равенство Л Ж= — ~Лт)+ о((ЛЧ)). (2) Из результатов Радемахера [5] и из (1) следует, что (2) выполнено почти всюду. Далее, для любого е ) 0 можно найти подмножество Р иа Е' такое, что т" (Е' — Р) ( з, компоненты дЖ/дт)) непрерыв- ны на Р и (2) выполнено равномерно. Поскольку (л) ~ ( т, лл е/а (т~(Е' — Р) (е, Е' — Р )т"п(Е' — Р) ()атп(Е' — Р) (т" (Е' — Р) (е, достаточно доказать нашу теорему об интеграле для Р и () = я (Р) вместо Е' и Е. Пусть т) — точка из Р, а Я вЂ” открытый шар (внутренность шара) радиуса р с центром в т). Положим также Я=РБ, Т=я(В). е В частности, ив нашей теоремы следует независимость интеграла 1" (Е) от.
отображения Е = я (Е'). 21. К етеорыы меры Вспомогательная теорема. Для р" =»т», а таквке для р» = ~" и для любой точки Ч ив Р выполнено р" (Т)= )Рао-(-о(р)т"(Ю). в Примем пока, что эта вспомогательная теорема доказана. По тео- реме Витали для любого е ) О можно найти последовательность шаров Я» Я„..., Я,... таких, что Ь';51=0, »Фу Р = ~ В + Х, т" (Х) = О, ~т" (Ю ) (2т" (Р), р»(Т)= ~Рг)о+ ет (Ю ) и и, следовательно, р»(те)= ~Рбо+ 2ет" (Р); последняя формула доказывает нашу теорему об интеграле. Д о к а в а т е л ь с т в о в с п о м о г а т е л ь н о й т е о р е- м ы.
Пусть Р (Ч) чы О. Отображение ь =Ф(Ч)= вч (Ч Ч) д36 переводит шар Я в й-мерный эллипсоид Е = Ф (Я). Это отображение однозначно н непрерывно. Следовательно, отношение 1~ — ~ ~()Ч' — Ч ~ имеет положительную нижнюю грань и вместе с (2) выполнено ~ +.(,) )~ — ~ (, )Ж' — Ж") = ! ь' — ь" ((1+о(р)).
(3) Пусть Р = Ф (В). В силу равенства (3) отображение Т = яФ» (У) лишь немного отличается от конгруэятного отображения. По теоре- ме 11 $4 из этого следует соотношение р, (Т) = т (У) (1 + о (р)). Но, поскольку т" (У) = Р (т)) т (В) и Р меняется непрерывно вместе с Ч, получаем, наконец, р" (Т) =Р(Ч) т" (В)(1+ о(р)) = ~РЫо(1+ о(р)) = в = )РтЬ+ о(р)т (Ю).
И4 81. К теории мера Остается случай Р (т)) = О. Тогда в силу непрерывности Ф имеем ) Р На = о (р) т" (Е), в так что остается только показать, что и р» (Т) ( рт (Т) = о (р) тт (Е). Отображение ь"' = Ф (т~') переводит теперь шар Е в ~-мерный зллнп- соид, где ~ ( я. При подходящем выборе прямоугольной системы координат можно представить Ф в виде =х;(у — у;). г;=О, Положим Это есть однозначное отображение ~* = Фз (д') шара Е в некоторый Й-мерный зллипсоид Е*; отсюда следует, что отношение ! й — ЫИЧ1 — т)И имеет положительную нижнюю грань.
Пусть Уе = Ф (В); отображение Т = лФ ~ (У*), очевидно, удовлетворяет условию ~ Жг Жг! ~(! гг ~г (+ о(р)! уг уг ! ( ~( ! ь~ — ьег 1+ о (р) ! Чг — дг ( «( ( ьге — ц 1 ($ + о (р)). По теореме Н $4 имеем далее (г" (Т) ~( т" (Уа) (1 + о (р)). Но поскольку б было произвольным, отношение тз (Паата (Е) т (Ез)~те (с) можно сделать сколь угодно малым, так что в итоге получаем р" (Т) = о (р) т" (Е). Наша вспомогательная теорема, а вместе с грале, тем самым доказана. Доказательство теоремы Ясно, что Е' можно представить в виде Е'=Рг+Р,+...+Р +...+Л~, Р ( Р г, = Х~ (у, — у;), г,=б(у,— у;), г;=О, У(3, ю(у(й, й<г', ней и теорема об инте- однозначности. тзз 21. К теории меры где Р замкнуты и ограничены и т" (|У) = О.
Пусть Рт и (Ри1)1 М я (") Поскольку й~ (М) = О, выполнено соотношение р," ((е ) — е. Е (Е) (т — ~ со). Нужно, следовательно, доказать только равенство р" Ю ) = Е'(() ). Но для замкнутых множеств Р и с| зто равенство следует из теоремы об интеграле при помощи следующей теоремы. Теорема об униформизации. ЕсвиР— замкнутое ограниченное множество и (> = ф (Р) — не~реривное отображение, то в Р существует А [под)множество А такое, что ф (А) = (| и это отображение взаимно однозначно на А. Д о к а з а т е л ь с т в о.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
