Колмогоров А.Н. Уравнения турбулентного движения несжимаемой жидкости (1124030), страница 28
Текст из файла (страница 28)
Экзистенциальные высказывания, однако, были подвергнуты Брауэром глубокой критике. А именно, с интуиционистской точки зрения не имеет смысла просто сказать: «среди элементов бесконечного множества К имеется по крайней мере один элемент со свойством А», не указав этот элемент. Брауэр, однако, не намерен полностью изгнать из математики экзистенциальные высказывания. Он лишь разъясняет, что экзистенциальное высказывание не должно высказываться без приведения соответствующей конструкции. Вместе с тем экзистенциальное высказывание не является, согласно Брауэру, простой констатацией того факта, что мы уже нашли в К соответствующий элемент; в этом последнем случае экзистенциальное высказывание оказывалось бы тв Ср, [4[.
Все дальнейшее исследование нетатианых и экаистенциальных высказываний примыкает в сущности к атой работе Вейля. 148 ?у. К толковакию иитуизиокистгкга логики неверным до изобретения конструкции и верным лишь после этого. Так возникает этот совершенно особый тип высказываний, которые, хотя и не должны иметь меняющегося с течением времени содержания, могут тем не менее выскааываться только при определенных условиях.
Может возникнуть естественный вопрос, не является ли этот особый тип высказываний всего лишь фикцией. В самом деле, предлагается задача «во множестве К найти элемент со свойством А»; эта задача имеет в действительности некоторый определенный, не зависящий от состояния наших знаний смысл; если эта задача решена, т. е. если соответствующий элемент х найден, мы получаем эмпирическое высказывание «теперь наша вадача решена». Итак, то, что Брауэр понимает под экзистенциальныи высказыванием, полностью разложено на два элемента: объективный элемент (задача) и субъективный (ее решение).
Тем самым не остается ничего, что можно было бы трактовать как экзистенциальное высказывание в собственном смысле слова. Поэтому главный результат интуиционистской критики негативных высказываний должен быть сформулирован следующиы простым способом: для общего высказывания бессмысленно', в общем случае рассматривать его отрицание как определенное высказывание. Но тогда исчезает предмет интуиционистской логики, поскольку теперь принцип исключенного третьего оказывается справедливым для всех высказываний, для которых отрицание вообще имеет смысл ".
Для математики отсюда следует, что решение задач должно рассматриваться как ее самостоятельная цель (наряду с доказательством теоретических высказываний). Как было показано в первом параграфе, в сфере задач и решений формулы интуиционистской логики также приобретает новый смысл '«. Геттинген, 15 ккввпя 1931 г, ЛИТЕРАТУРА 1.
Неункг А. О1с 1оппв1сп Ксйв1п йвг!пхпИ1ошвмвсЬвп Ьо8!Ь.— 8!ххпп8вЬвг. Ргвпвв. Айай. %!вя., РЬув.-швхЬ. К!., 1930, 8. 42 — 56. 2. Нгупку А. О!в 1огшв!вп Квзв!и йвг 1пхп1ыоп!ях!ясЬвп М»1Ьвшвх!Ь.— 8!и хппйвЬвг. Ргспвв. Айвй. ЪУ!вв., РЬУ».-швхЬ. К1., 1930, 8. 57 — 71, 158 — !69. 3. Вдиекйо у.— 8пг Чпв!г)пвв ро!пхв йв 1в 1ой!Чпе йв М. Вгопчсг.— Вп!!. с1.
вс!. Асвй. гоу. Вв!йо звг. 5, 1929, чо!. 15, р. 183 — 188. 4, В'гу! Н. ЬЬвг обв пспв Огппй!вйспйг!вв йвг Мв«Ьвшах!Ь.— МвхЬ. 2«всЬг,, 1921, Вй. 10, 8, 39 — 79. Рус. пор.: О новом кркзксв основ математики.— В ккл Вейлв Г. О философии математики. М.; Лл ГТТИ, 1934, с. 92 — 128. 5. Нгупку А. В!в !пхп1мош«11«сЬв Сгппй!вйппй йвг Мв«Ьвшах!Ь.— Егйвпп1п?в, 1931, Вй. 2, 8. 106 — 115. 'я Возникает однако, новый вопрос: квккв логические законы спрвввдлквы для высквяызвккй, отрицание которых кв имеет смысла? 'г Эта интерпретация пктузцкоккстской логики тесно связвка с идеей, которую развил Гсйтвкг в (5); у Гвйтккгв, правда, отсутствувт ясное различив между зысквяыввкквы к задачей.
20. К обоснованию ироехтивной геометрии 20 К ОБОСНОВАНИЮ ПРОЕКТИВНОЙ ГЕОМЕТРИИ* Мы хотим здесь указать на одно интересное приложение теоремы Понтрягина о непрерывных алгебраических телах '. Если при обосновании проектнвной геометрии принимать только (трехмерные) аксиомы инцидентности, то получится, как хорошо известно, большое количество возможных типов пространств.
Эти различные типы проектнвных пространств соответствуют различным типам абстрактных алгебраических тел. В самом деле, в каждом проективном пространстве можно, обычным путем (с помощью теоремы Дезарга) ввести исчисление расстояний и получившееся при этом (вообще говоря, некоммутативное) тело расстояний определяется однозначно с точностью до изоморфизма при помощи исходного пространства.
Обратно, если задано абстрактное алгебраическое тело, можно построить единственный, ему соответствующий тип проективного пространства. Для того чтобы охарактеризовать обычную вещественную проективную геометрию, мы должны были бы следуя классическому методу, ввести две новые группы аксиом, а именно: аксиомы порядка и аксиомы непрерывности. Лишь после этого можно было бы добавлением комплексных элементов обосновать комплексную проективную геометрию.
Но абстрактная топология дает нам теперь возможность рассматривать свойства непрерывности независимо от свойств порядка и, следовательно, обосновать аксиоматическн комплексную геометрию непосредственно, без использования аксиом порядка, которые верны только в вещественной геометрии. Ниже мы н предлагаем один такой прямой путь. Даны три системы элементов, которые называются точками, прямыми и плоскостями. Пусть они удовлетворяют следующим условиям. 1. Каждая из этих трех систем образует связное бикомпактное топологическое пространство. 11.
Точки, прямые и плоскости удовлетворяют обычным проективным аксиомам инцидентности. 111. Отношения инцидентности непрерывны: проходящая через две точки прямая является непрерывной функцией этих двух точек (еслн они не сливаются) и т. д. Если в проективном пространстве, удовлетворяющем 1 — 111, выбрать на одной прямой три произвольные точки в качестве нуля, единицы и бесконечности и определить соответствующее исчисление расстояний, то, как легко показать, в получившемся теле расстояний выполнены все требования теоремы Понтрягина.
Следовательно, это тело расстояний изоморфно либо телу вещественных, либо телу в Хпг Велгйпг1ппд бег рго)е1сг1геп Сеоюе1г1е.— Апп. МагЬ., 1932, хо1. 33, Р 175 — 176. Перевод ХХ. Пенхова (НРВ). ' ОЬег вГеыде п13еЬгаысЬе Когрег.— Апп. МаГЬ., 1932, во1.
33, р. 163 — 174. 150 21. Л теории мери коьшлексных чисел, либо телу кватернионов. И значит, существуют лишь три различных типа пространств, удовлетворяющих требованиям 1 — 1П, а именно: обычное вещественное проективное пространство, комплексное проективное пространство и пространство, которое строится с помощью однородных координат из тела кватернионов. Если принять теорему Паскаля (и, следовательно, коммутативность умножения) как новую аксиому, последняя воаможность исключается. Наконец, комплексная геометрия выделяется при помощи аксиомы полноты.
26 мая 1931 г. К ТЕОРИИ МЕРЫ Я ВВЕДЕНИЕ Пусть р (Е) — неотрицательная (может быть, принимающая также и значение +со) функция множества, определенная на всех А-множествах (суслинских множествах) п-мерного евклидова пространства К". Говорят, что р (Е) есть функция меры (или просто мера), если она удовлетворяет следующим условиям: 1.
Если объединение конечного или счетного числа множеств Е покрывает множество Е: Е~~Е (что обозначается (Е ) = П (Е)), то р(Е) ~(Хр (Е.). 1!. Если конечное или счетное число множеств Е дизъюнктны и все они лежат в Е: Е СЕ, ЕеЕ) = О, (~у (что обоаначается (Е,„) = Й (Е)), то Х И (Е ) ( р (Е). Для формулировки условия П1 нужно следующее О п р е д е л е н и е '. Множество Е есть нерастянутый образ множества, Е', если существует однозначное отображение иа Е' * Ве11гаайе зпг Ма31Ьеог1е.— МасЬ. Апп., 1933, Вб.
107, 8. 351 — 366. Перевод ХХ. Пеиаова (БРБ). ' Понятия нерастягпеающего отображения (отображення без растяжения) было впервые использовано Э. Шмидтом для определенпя длины кривой (см. [2!). уе. Е теории меры на Е, при котором расстояние любых двух точек иа Е' не меныпе чем расстояние их образов в Е. Нерастянутый образ множества Е будет всегда обозначаться через я (Е), где я (х) — соответствующее непрерывное отображение.
1П. Если множество Е' является нерастянутым образом множест- наЕ, то )х(Е) <)г(Е) 1Ч. Для некоторого множества У (эталона меры) выполнено р(У) =1. 3 а м е ч а н и е 1. Мы всегда предполагаем, что р (Е) определено для всех А-множеств из К" и только для них. 3 а м е ч а н и е П. Из 1 и П следует, что для Е=~Ч~~Еео Е;Е;= Я, 1~У, выполнено) равенство р(Е)=Х р(Е ) т.
е. )г(Е) аддитивна. Замечание П1. Из П1 следует П1'. Если Е' и Е" конгруэитны, то р(Е) = р(Е"). 3 а м е ч а н и е 1Ч. Из 1 следует, что если Е С Е', то выполнено неравенство р (Е) < р (Е'), т. е. р (Е) — монотонная функция множества. Самым важным является случай, когда в качестве эталона меры У выбран й-мерный (й < и) единичный куб Х». В этом случае мы называем р (Е) й-мерной мерой и пишем рв (Е). Впрочем, известно ', что в случае й = п мера Лебега т" (Е) есть единственная функция множества, определенная на всех А-множествах в К", которая удовлетворяет условиям 1, П, П1', 1Ч. Дальше мы увидим, что мера Лебега епи (Е) удовлетворяет также условию П1 (а не только П1'); следовательно, мера Лебега есть единственное решение нашей задачи о мерах, где в качестве эталона меры выбран и-мерный единичный куб.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
