Главная » Просмотр файлов » Колмогоров А.Н. Уравнения турбулентного движения несжимаемой жидкости

Колмогоров А.Н. Уравнения турбулентного движения несжимаемой жидкости (1124030), страница 23

Файл №1124030 Колмогоров А.Н. Уравнения турбулентного движения несжимаемой жидкости (Колмогоров А.Н. Уравнения турбулентного движения несжимаемой жидкости) 23 страницаКолмогоров А.Н. Уравнения турбулентного движения несжимаемой жидкости (1124030) страница 232019-05-10СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 23)

По определению пишем (йр,) 1 !(х) ИР(х) =(4)),) 1 !(х) (УР) (аД). Это определение интеграла близко понятию интеграла Стилтьеса, Оно отличается от последнего тем, что допускаются не только конечные, но и счетные разбиения. Кроме того, используетсяпонятие предела по Муру. Это второе обстоятельство важно для следующего легко доказываемого результата: Если ! (х) и Р (х) обе имеют ограниченную вариацию на Д, то существует интеграл (1). Когда обе функции ! (х) и Р (х) имеют разрыв в одной точке, то обычное определение Стилтьеса недостаточно.

Интегралы этого типа имеют большое значение, в частности, в некоторых вопросах теории вероятностей. 12г хд. яееяедоваиие иоиятия ингиеграяа 47. Пусть область % состоит из всех измеримых в смысле Лвбега множеств числовой прямой. Интеграл (%,) ~ ((х) тг(ггЕ), Е где т, обоаначает линейную меру Лебега, совпадает с интегралом Лебега. Как ужв отмечалось в и. 40, в этом случае понятие предела по Муру не дает ничего нового.

48. Пусть система % состоит из всех измеримых по Борелю множеств числовой прямой. Если Е (х) имеет ограниченную вариацию, то, как известно, (ггГ) (Е) может быть определена для каждого Е из %3. По аналогии с и. 44 определим (%3) 1 1 (Х) г(г' (Х) — (%3) 1 ) (Х) ( г' г' ) (гее' ) Для измеримых в смысле Борвля функций это определение интеграла Стилтьеса совпадает с данным Лебегом (см. (4)). 49. Назовем й-систему Я-системой (вразложимой системойэ), если для любых двух множеств Е, ~ Е можно найти разбиение РЕ такое, что Е, является его (первым) элементом и все элементы принадлежат системе множеств И.

Примерами Я-систем служат системы ИЕ (п. 7) и ИРЕ (и. 13). Такимобразом, определение интеграла зависит только от значений интегрируемой функции в некоторой Я-системе. В соответствиис этим нас должны прежде всего .интересовать те случаи, в которых системы множеств й, ио отношению к которым производится интегрирование, сами представляют собой Е-системы. Этому условию удовлетворяют рассмотренные выше системы %„й„й,.

Если же вместо % взять состоящую из одних интервалов систему %', не являющуюся Я-системой, в качестве основы для построения теории интегрирования, то формально такую теорию можно безупречно развивать. Однако она оказалась бы нвсодержательной, ибо интервал нельзя разбить на меньшие непересекающиеся интервалы, так что интеграл любой функции интервала совпал бы всегда с самой этой функцией. Для Я-системы система вЕ по определению совпадает с совокупностью всех подмножеств множества Е, принадлежащих данной Я-системе.

50. Если система 6Г содержится в другой системе %, то иа существования интегралов (й') ~ ) (ггЕ) и (%) ~ ) (ггЕ), вообще говоря, не следует их равенство. В этом можно убедиться на простых примерах. Пусть й' состоит нз одного единственного множества Е чь ф и % яз множеств Е, Е„Е, с Е = Ег + Е„Е,Е, е22 лв. Исследование понятия интеграла = ф. Положим 1(Е) = О, 1(Е,) = 1, 1(Е,) = 1, тогда (й) ~ 1(йЕ) =О, (й) ~ 1(йЕ) =2. Однако формула (й')~ 1((Е)=(й)~ 1(с)Е) может быть доказана в следующем частном случае: Если ср (Е) неотриуательна и аддитивна на й, то для любой подсистемы й' системы й соотношение (й') ~ ~ (х) ~р(с(Е) = (й) ~ / (х) у (дЕ) вытекает иг существования обоих интегралов. Согласно п.

40 в й' для каждого з ) 0 существует разбиение РЕ, удовлетворяющее неравенству (9) иа п. 40, где под г следует понимать интеграл в левой части (1). Поскольку РЕ можно рассматривать также как разбиение в й, то из формулы (8) того же п. 40 следует, что стоящий в правой части интеграл тоже не может отклоняться от Х больше, чем на е. Так как е произвольно, то отсюда получаем наше утверждение, 51.

Согласно (10) нз п. 41 угормула (1) остается в силе также для интегралов типа Стилтьеса, если те могут быть определены с помощью указанной (бормулы (10), т. е. если ~р (С) на йЕ имеет ограниченную вариацию. Для общего же случая интегралов типа Стилтьеса только-что обсужденный вопрос остается неразрешенным. Глава 1П ВТОРАЯ ТЕОРИЯ ИНТЕГРИРОВАНИЯ (КОНЕЧНБ1Е РАЗБИЕНИЯ) 1 1 ВВОДНЫЕ Зс1М ЕЧАНИЯ 1.

Теория интегрирования главы 11 основывалась на систематическом рассмотрении разбиений РЕ множества Е на конечное или счетное число подмножеств. В данной главе мы хотим исследовать те изменения, которые претерпит теория в случае, когда допускаются лишь конечные разбиения (т. е. разбиения от Е на конечное число подмножеств). Что касается возникающего на этом пути определения интеграла, то можно было думать, что оно более узко, чем наше прежнее определение. Однако зто неверно: имеются важные случаи, в которых определенный с помощью конечных разбиений интеграл суще- И. Исследование понятия интеграла г23 ствует, в то время как мы имеем дело со случаем неинтегрируемости, когда в основу кладутся бесконечные разбиения.

Более того, точка зрения, которой мы сейчас придерживаемся, непосредственно примыкает к классической теории Коши и Римана и дает большие возможности для полноты и прозрачности всего построения. В случае конечных разбиений мы сохраняем те же обозначения, которые служили в аналогичных целях для бесконечных разбиений.

Когда встречаются параллельно понятия иа обеих теорий, то относящиеся к бесконечным разбиениям (т. е. к теории главы П) отмечаются звездой. 2. Все определения $1 из главы П остаются в силе и при настоящих предположениях, понятие суммы, естественно, вводится только для конечных разбиений. Ясно, что система я)сЕ сейчас не совпадает, вообще говоря, с соответствующей системой %Еа при тех же % и Е, а вполне может представлять собой более узкую систему. В предположении конечных разбиений предел 1]1(РЕ)] может не совпадать с аналогичным выражением 1 [1(РаЕ)] даже тогда, когда исходная система а)с одна и та же для обоих переходов к пределу.

3. Суммы Римана (гл. П, п. 11) сейчас существуют для любого разбиения, если только функция, подлежащая интегрированию, конечна, в то время как в гл. П отсутствие абсолютной сходимости соответствующих рядов приведет неизбежно к неприятностям. Само определение интеграла — по формулировке — естественно остается неизменным. Свойства 1 — У1, за исключением свойства П, остаются также справедливыми, если брать за основу конечные разбиения.

Что касается свойства П, то имеет место конечная аддитивяость, т. е. формула (1) (см. гл. 11, п. 14) выполнена только для конечных раабиений. При этом из существования интегралов в правой части этой формулы следует существование интеграла в левой. 4. Определение дифференциальной эквивалентности и связанные с ней результаты также остаются неизменными, однако с той естественной оговоркой, что все встречающиеся разбиения конечны и под аддитнвностью соответствующих функций понимается их конечная аддитивность.

5. Введение бесконечных значений интеграла происходит, как в в 4,причем необходимость расширения понятия абсолютной сходимости отпадает; вместо этого договоримся о том, что сумма произвольного конечного числа бесконечных слагаемых одного знака равняется бесконечности (того же знака) н что этот результат не изменяется при добавлении еще конечного числа конечных слагаемых.

16. Исслодооанис понятия интоорала 1 2 РАЗЛОЖИМЫЕ СИСТЕМЫ 6. По аналогии с п. 49 из гл. 1! скажем, что %-система является Я-системой, если для любого Е из % и каждого его подмножества Е, из % существует разбиение РЕ, первый элемент которого— множество Е„а остальные (их сейчас только конечное число) принадлежат %. Очевидно, что Я-система в указанном выше смысле является непременно уо-системой. Эти последние ниже рассматриваются под названием ""-систем в расширенном смысле. 7. Пусть Еы Ея,..., ń— множества из Е с ~ Е С Е, ЕЕ;=Я, если !Ф7'.

т=г и+р Тогда существует разбиение РЕ =,~~ Е, первые и элементов котот=г рого совпадают с заданными Е По определению в Е существуют разбиения Р Е=Е„+ ',~~ Е~ ~ (т=1,2,..., и) с Е в качестве первого элемента. Разбиение РЕ= ~ Е + ,'Р~ Е",,'Е~',~... Е~'~ т=1 оо ои»., о удовлетворяет требованиям нашего предложения.

8. Как в случае Яа-системы, ЯЕ совпадает с совокупностью всех подмножеств из Е, принадлежащих Е. Отсюда вытекает, что ХЕ = = ЯоЕ, последнее утверждение уже необязательно выполняется для общей%-системы. Для примера рассмотримйо-систему, состоящую нз Е и счетного числа элементов некоторого бесконечного разбиения РЕ.

В этих условиях %Е состоит иа одного множества Е, а %оЕ из Е и всех Е„. 9. Далее, пусть КЯ вЂ” наименьшее тело множеств, содержащее систему множеств л. Мы хотим доказать, что КЯ пвллстсп совокупностью множеств, допускающих конечное разбиение на элементы из Е. Для доказательства обозначим через оЕ систему всех множеств, удовлетворяющих указанному последнему свойству. Система содержится, очевидно, в КЕ, остается показать, что оЯ сама является телом.

Характеристики

Тип файла
DJVU-файл
Размер
7,07 Mb
Тип материала
Высшее учебное заведение

Список файлов учебной работы

Свежие статьи
Популярно сейчас
Почему делать на заказ в разы дороже, чем купить готовую учебную работу на СтудИзбе? Наши учебные работы продаются каждый год, тогда как большинство заказов выполняются с нуля. Найдите подходящий учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6487
Авторов
на СтудИзбе
303
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее