Колмогоров А.Н. Уравнения турбулентного движения несжимаемой жидкости (1124030), страница 23
Текст из файла (страница 23)
По определению пишем (йр,) 1 !(х) ИР(х) =(4)),) 1 !(х) (УР) (аД). Это определение интеграла близко понятию интеграла Стилтьеса, Оно отличается от последнего тем, что допускаются не только конечные, но и счетные разбиения. Кроме того, используетсяпонятие предела по Муру. Это второе обстоятельство важно для следующего легко доказываемого результата: Если ! (х) и Р (х) обе имеют ограниченную вариацию на Д, то существует интеграл (1). Когда обе функции ! (х) и Р (х) имеют разрыв в одной точке, то обычное определение Стилтьеса недостаточно.
Интегралы этого типа имеют большое значение, в частности, в некоторых вопросах теории вероятностей. 12г хд. яееяедоваиие иоиятия ингиеграяа 47. Пусть область % состоит из всех измеримых в смысле Лвбега множеств числовой прямой. Интеграл (%,) ~ ((х) тг(ггЕ), Е где т, обоаначает линейную меру Лебега, совпадает с интегралом Лебега. Как ужв отмечалось в и. 40, в этом случае понятие предела по Муру не дает ничего нового.
48. Пусть система % состоит из всех измеримых по Борелю множеств числовой прямой. Если Е (х) имеет ограниченную вариацию, то, как известно, (ггГ) (Е) может быть определена для каждого Е из %3. По аналогии с и. 44 определим (%3) 1 1 (Х) г(г' (Х) — (%3) 1 ) (Х) ( г' г' ) (гее' ) Для измеримых в смысле Борвля функций это определение интеграла Стилтьеса совпадает с данным Лебегом (см. (4)). 49. Назовем й-систему Я-системой (вразложимой системойэ), если для любых двух множеств Е, ~ Е можно найти разбиение РЕ такое, что Е, является его (первым) элементом и все элементы принадлежат системе множеств И.
Примерами Я-систем служат системы ИЕ (п. 7) и ИРЕ (и. 13). Такимобразом, определение интеграла зависит только от значений интегрируемой функции в некоторой Я-системе. В соответствиис этим нас должны прежде всего .интересовать те случаи, в которых системы множеств й, ио отношению к которым производится интегрирование, сами представляют собой Е-системы. Этому условию удовлетворяют рассмотренные выше системы %„й„й,.
Если же вместо % взять состоящую из одних интервалов систему %', не являющуюся Я-системой, в качестве основы для построения теории интегрирования, то формально такую теорию можно безупречно развивать. Однако она оказалась бы нвсодержательной, ибо интервал нельзя разбить на меньшие непересекающиеся интервалы, так что интеграл любой функции интервала совпал бы всегда с самой этой функцией. Для Я-системы система вЕ по определению совпадает с совокупностью всех подмножеств множества Е, принадлежащих данной Я-системе.
50. Если система 6Г содержится в другой системе %, то иа существования интегралов (й') ~ ) (ггЕ) и (%) ~ ) (ггЕ), вообще говоря, не следует их равенство. В этом можно убедиться на простых примерах. Пусть й' состоит нз одного единственного множества Е чь ф и % яз множеств Е, Е„Е, с Е = Ег + Е„Е,Е, е22 лв. Исследование понятия интеграла = ф. Положим 1(Е) = О, 1(Е,) = 1, 1(Е,) = 1, тогда (й) ~ 1(йЕ) =О, (й) ~ 1(йЕ) =2. Однако формула (й')~ 1((Е)=(й)~ 1(с)Е) может быть доказана в следующем частном случае: Если ср (Е) неотриуательна и аддитивна на й, то для любой подсистемы й' системы й соотношение (й') ~ ~ (х) ~р(с(Е) = (й) ~ / (х) у (дЕ) вытекает иг существования обоих интегралов. Согласно п.
40 в й' для каждого з ) 0 существует разбиение РЕ, удовлетворяющее неравенству (9) иа п. 40, где под г следует понимать интеграл в левой части (1). Поскольку РЕ можно рассматривать также как разбиение в й, то из формулы (8) того же п. 40 следует, что стоящий в правой части интеграл тоже не может отклоняться от Х больше, чем на е. Так как е произвольно, то отсюда получаем наше утверждение, 51.
Согласно (10) нз п. 41 угормула (1) остается в силе также для интегралов типа Стилтьеса, если те могут быть определены с помощью указанной (бормулы (10), т. е. если ~р (С) на йЕ имеет ограниченную вариацию. Для общего же случая интегралов типа Стилтьеса только-что обсужденный вопрос остается неразрешенным. Глава 1П ВТОРАЯ ТЕОРИЯ ИНТЕГРИРОВАНИЯ (КОНЕЧНБ1Е РАЗБИЕНИЯ) 1 1 ВВОДНЫЕ Зс1М ЕЧАНИЯ 1.
Теория интегрирования главы 11 основывалась на систематическом рассмотрении разбиений РЕ множества Е на конечное или счетное число подмножеств. В данной главе мы хотим исследовать те изменения, которые претерпит теория в случае, когда допускаются лишь конечные разбиения (т. е. разбиения от Е на конечное число подмножеств). Что касается возникающего на этом пути определения интеграла, то можно было думать, что оно более узко, чем наше прежнее определение. Однако зто неверно: имеются важные случаи, в которых определенный с помощью конечных разбиений интеграл суще- И. Исследование понятия интеграла г23 ствует, в то время как мы имеем дело со случаем неинтегрируемости, когда в основу кладутся бесконечные разбиения.
Более того, точка зрения, которой мы сейчас придерживаемся, непосредственно примыкает к классической теории Коши и Римана и дает большие возможности для полноты и прозрачности всего построения. В случае конечных разбиений мы сохраняем те же обозначения, которые служили в аналогичных целях для бесконечных разбиений.
Когда встречаются параллельно понятия иа обеих теорий, то относящиеся к бесконечным разбиениям (т. е. к теории главы П) отмечаются звездой. 2. Все определения $1 из главы П остаются в силе и при настоящих предположениях, понятие суммы, естественно, вводится только для конечных разбиений. Ясно, что система я)сЕ сейчас не совпадает, вообще говоря, с соответствующей системой %Еа при тех же % и Е, а вполне может представлять собой более узкую систему. В предположении конечных разбиений предел 1]1(РЕ)] может не совпадать с аналогичным выражением 1 [1(РаЕ)] даже тогда, когда исходная система а)с одна и та же для обоих переходов к пределу.
3. Суммы Римана (гл. П, п. 11) сейчас существуют для любого разбиения, если только функция, подлежащая интегрированию, конечна, в то время как в гл. П отсутствие абсолютной сходимости соответствующих рядов приведет неизбежно к неприятностям. Само определение интеграла — по формулировке — естественно остается неизменным. Свойства 1 — У1, за исключением свойства П, остаются также справедливыми, если брать за основу конечные разбиения.
Что касается свойства П, то имеет место конечная аддитивяость, т. е. формула (1) (см. гл. 11, п. 14) выполнена только для конечных раабиений. При этом из существования интегралов в правой части этой формулы следует существование интеграла в левой. 4. Определение дифференциальной эквивалентности и связанные с ней результаты также остаются неизменными, однако с той естественной оговоркой, что все встречающиеся разбиения конечны и под аддитнвностью соответствующих функций понимается их конечная аддитивность.
5. Введение бесконечных значений интеграла происходит, как в в 4,причем необходимость расширения понятия абсолютной сходимости отпадает; вместо этого договоримся о том, что сумма произвольного конечного числа бесконечных слагаемых одного знака равняется бесконечности (того же знака) н что этот результат не изменяется при добавлении еще конечного числа конечных слагаемых.
16. Исслодооанис понятия интоорала 1 2 РАЗЛОЖИМЫЕ СИСТЕМЫ 6. По аналогии с п. 49 из гл. 1! скажем, что %-система является Я-системой, если для любого Е из % и каждого его подмножества Е, из % существует разбиение РЕ, первый элемент которого— множество Е„а остальные (их сейчас только конечное число) принадлежат %. Очевидно, что Я-система в указанном выше смысле является непременно уо-системой. Эти последние ниже рассматриваются под названием ""-систем в расширенном смысле. 7. Пусть Еы Ея,..., ń— множества из Е с ~ Е С Е, ЕЕ;=Я, если !Ф7'.
т=г и+р Тогда существует разбиение РЕ =,~~ Е, первые и элементов котот=г рого совпадают с заданными Е По определению в Е существуют разбиения Р Е=Е„+ ',~~ Е~ ~ (т=1,2,..., и) с Е в качестве первого элемента. Разбиение РЕ= ~ Е + ,'Р~ Е",,'Е~',~... Е~'~ т=1 оо ои»., о удовлетворяет требованиям нашего предложения.
8. Как в случае Яа-системы, ЯЕ совпадает с совокупностью всех подмножеств из Е, принадлежащих Е. Отсюда вытекает, что ХЕ = = ЯоЕ, последнее утверждение уже необязательно выполняется для общей%-системы. Для примера рассмотримйо-систему, состоящую нз Е и счетного числа элементов некоторого бесконечного разбиения РЕ.
В этих условиях %Е состоит иа одного множества Е, а %оЕ из Е и всех Е„. 9. Далее, пусть КЯ вЂ” наименьшее тело множеств, содержащее систему множеств л. Мы хотим доказать, что КЯ пвллстсп совокупностью множеств, допускающих конечное разбиение на элементы из Е. Для доказательства обозначим через оЕ систему всех множеств, удовлетворяющих указанному последнему свойству. Система содержится, очевидно, в КЕ, остается показать, что оЯ сама является телом.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
