Колмогоров А.Н. Уравнения турбулентного движения несжимаемой жидкости (1124030), страница 26
Текст из файла (страница 26)
Последовательность функций Л1„определяет регулярный тип среднего, если удовлетворяются следующие условия: 1. М (х„х„..., х„) непрерывна и монотонна по каждому переменному. Для определенности будем считать, что М возрастает по каждому переменному. 11. М (х„х„..., х„) — симметрическая функция. 111. Среднее от одинаковых чисел равно их общему значению: М(х, х, ..., х) =х. 1Ч. Можно заменить некоторую группу значений их собственным средним, не меняя общего среднего: М (хм ° ° ° ~ хт~ Ум ° е Уз) Ме+~а (х~ ° ~ х~ Ум ~ Уз). где х = М (х„..., х„). Т е о р е и а.
При заполнении условий 1 — 1Ч среднее М (хы хю..., х„) имеет еид (1), зде <р — непрерывная возрастающая функиия, а ф — обратная к ней. Доказательство. Пусть М(тх, пу) — среднее т одинаковых значений х и и одинаковых значений у: М (тх, пу) = М (хы..., х,„, уд,..., У„), (2) х„=х,=...=х,„=х, У =У = ° ° ° =Уз=У. Тогда в силу 1Ч и 1П М(ртх, рпу) = М(рМ(тх, пу)) = М(тх, пу).
Значит, если тп = пт, то М (тх, пу) = М (тп'х, пп'у) = М (пт'х, пп'у) = М (т'х, и'у). (3) Можно теперь определить для каждого рационального г, О ( г = = р/о ( 1, функцию ~р (г) следующим образом: ~у (г) = М (рЪ, (д — р) а). (4) Это определение корректно, поскольку для двух разных представлений г = р/д = р'/д' числа г имеет место очевидное равенство р (ч — р') = (д — р) р' и, значит, в силу (3) имеется единственное значение~у (г). Функцияф (г), как функция рациональных г, являет- т33 17. Об онреде*ении ереднеео ся возрастающей. Действительно, пусть г' ) г. Представим г' и г как дроби с одинаковым знаменателем г'= р'!д, г = р!д, р' ) р, и тогда получим в силу свойства монотонности 1 неравенство ф (г') = М (р'Ь, (д — р') а) ) ЛХ (рЬ, (д — р) а) = ф (г).
В итоге получилось, что можно однозначно определить обратную функцию ер (х), определенную для всех значений х, где г рационально и при атом р будет возрастающей непрерывной функцией. Теперь можно без труда вычислить среднее ЛХ(х„х„..., х„) для значений х; = гр (г;), где г; рациональны. Для этого представим гг как дроби с одинаковым знаменателем: г; = р,/д, тогда хе =М(рЪ, (д — р)а) и М (хп х„..., х„) = М (дхп ах„..., ах„) = М ((р, +... ЕР +в+" +Рн ... + р„) Ь, (пд — рг — рг — ° ° — р„) а) = гр ( ") = ир г,+г,+...+г ~ (<р(х,]+~р(гг)+...-р-ер(г„) ) (5) =Ф -( и и Таким образом, формула (1) оказалась доказанной для тех специальных значений переменных, о которых говорилось выше.
Докажем теперь, что функция гр непрерывна для каждого значения 0 ( у ( 1, рационального или иррационального. Предположив противоположное, найдем точку у, не являющуюся точкой непрерывности гр. Если допустить, что у ~ 0 и у ~ 1, то тогда значения пределов гр (у — 0) = и и гр (у + 0) = г различны и, значит, и ( ш Имеем для двух рациональных чисел г, и г, (согласно (5)) М(ф(гг) У(гг))=ф( — ',' е) Если теперь заставить г, и г, сходиться к у так, что первая точка стремится к у слева, а вторая справа, то получится, очевидно, П ф~",')=М( Однако можно сделать так, чтобы (г, + гг)12 всегда было слева от у.
/ ге + гг~ Тогда1ппгр( —,) = и. Противоречие показывает, что допущение 3 о том, что у не является точкой непрерывности, ложно. Аналогичное заключение можно сделать и для точек у = 1 и у = О. Мы видим, таким образом, что значения х = гр (г), соответствующие рациональным г, образуют плотное множество в интервале между а = гр (0) и Ь = гр (1). Следовательно, можно определить функции гу (г) и гр (х) по непрерывности для всех точек интервалов 0 - г . 1 и а ( х ои Ь соответственно. Таким образом, формула (5) остается верной по непрерывности для всех значений х, а ( х г Ь, что и доказывает теорему.
3 октября 1930 г. 18. О компактности множеств фднкций кри сходимости в среднем 139 18 О КОМПАКТНОСТИ МНОЖЕСТВ ФУНКЦИЙ ПРИ СХОДИМОСТИ В СРЕДНЕМ* Пусть 6 есть множество функций 1 (х), определенных во всех точках х некоторого ограниченного множества г" в и-мерном евклидовом пространстве Л" и интегрируемых в р-й степени (р ) 1): ) 11(х) !Р е)а ( ос. Говорят, что последовательно (1 (х)) сходится в среднем к 1 (х), если Пш ~)1.() — 1(х)) 1 =О. (~) т ар Р(1 у) =~~)1(х) — б(х))Р )о]1 (2) то (1) можно записать в форме 11ш р (1, 1) = О, т — и со.
Совокупность всех функций, интегрируемых в р-й степени с «расстоянием» (2), образует, как известно, полное метрическое пространство. В дальнейшем всегда предполагается, что 1 (х) = О во всех точках из В", не принадлежащих г'. Положим 1,(х) = — ~ 1(у) с(а, а(к, е] где Я (х, е) обозначает шар с центром х радиуса е и г" (е) — его объем. Как легко видеть, всегда Р (1е бе) ( Р (1~ а).
(3) Докажем, что для любой функции 11ш Р (1ев 1) = О, е-+ О. " 1]»Ь«г КошраЫЬ«11 дег РоаЬ«1оаеашоааеа Ье] с]ег Коаоегзеае 1ш М1Ы«1,— Ь]асЬг. Оев. %1»е. Оод«1алеа, 1931, Вс]. 9, Я. 60 — 63. Представлено Р. Куравтом. Перевод С. Б. Стечкина. Множество св называется компактным, если всякая последовательность (1 (х)) функций из С содержит подпоследовательность (1т„(х)), сходящуюся в среднем.
В этой работе мы дадим необходимое и достаточное условие компактности 6. Если положить 140 18. О комкоктноети мкотеете Обуикциа кри ееодимоети е среднем Действительно, как известно, для любого б ) 0 существует функция и (х), равномерно непрерывная на всемпространстве В" и обладающая свойством р(и, 1)ч,.б. Для равномерно непрерывной функции, очевидно, имеем 1ппр(ие, и) =О, е-1-0 и так как в силу (3) Р(и„1е)~(Р(и, 1)~6, то, следовательно, 1пп р (1„/) ~( 26, е — О.
В силу произвольности 6 ) 0 это доказывает утверждение. Т е о р е м а. Для компактности 6 необходимо и достаточно, чтобы заполнялись следующие два условия. 1. Существует постоянная К, что для всех функций из 6 ~ ) 1(х) )о до ( К. 11. Для любого б ) 0 существует е ) О, что для всех функций из 6 ) 1, (х) — 1(х) )о сЬ 6'.
Доказательство того, что условия необх о д и м ы. Пусть не выполняется условие 1; тогда существует последовательность (1 ) функций из 6, для которой расстояния р(1, О)=~~ )1 (х) (ода~ стремятся к + со, а значит, и расстояния р(1„, У)>р(1„, 0) — р(0, 1) от любой другой точки 1 неограниченно, возрастают с ростом т Но тогда последовательность (1 ), а значит, и 6 некомпактны.
Допустим теперь, что не выполняется условие П; тогда найдутся такое б ) О, такая последовательность 11~ ~в~ ~ 1т. функций из 6 и такая последовательность е ) О, 1пп ет = О, т -~ оо, е В данном виде условие 11 сформулировано по предложению проф. Куранта. 18. О компактности мнооеесте функций нри сеодимости е среднем 141 что для любого яг Р (1 1 ) > 6. (4) Очевидно, имеем ~1 Р(1тет' 1т) ~< Р(1тетс 1ет) + Р(1ет~ 1) + Р(1с 1т) ~1 <2Р(1 1 )+Р(1. 1).
Так как 11пг Р (1ет' 1) = Ос то в силу (4) 11ш р (1т, 1) ~) 'Iеб. Следовательно, последовательность (1 ) и само множество 6 некомпактны. Доказательство того, что условия достат о ч н ы. Обозначим через 6, множество функций 1; (х), которые соответствуют функциям 1 (х) из 6. Функции из 6, равномерно ограничены и равностепенно непрерывны. В самом деле, для любого множества У объема е' (У) ~ 1(х) йт = ~ 1 1(х) до ~( ~ ~ 1 сЬ)"' Д ) 1(х) 1Р до~"" ( у Х у < ((г(у))~е1г'~Р, 41р+ 11с1 = $.
(5) Применяя неравенство (5) к множеству Х = Я (х, е), получаем 1.()= —,',, ~ 1(у)д <(Р(~И""Ки' 8(к, е) что доказывает равномерную ограниченность функций 1, (х). Точно так же, полагая ,у = (я (х', е) " Я (х", е)) ( ) (Я (х", е) ', Я (х', е)), получаем неравенство !1.(хп) — 1е(х') 1=~ у(,1 ~1(у) 1о ! <(у(у)) "(~'(е)) я ". Так как у" (У) равномерно стремится к нулю вместе с ! х — х' (, то докавана также равномерная непрерывность функций 1, (х). Следовательно, 6 компактно в смысле равномерной сходимости и тем более в смысле сходимости в среднем, так как если последовательность функций равномерно сходится, то она сходится также и в среднем. В силу условия 11 множества 6, аппроксимируют множество 6 с проиавольной точностью, т.
е. если е достаточно мало, то 6 лежит в объединении шаров 8 (6„р) сколь угодно малого радиуса р. Отсюда непосредственно следует компактность 6. Геттинген, б февраля 1931 г. 142 1З. К толкованию иктуициоиистской логики К ТОЛКОВАНИЮ ИНТУИЦИОНИСТСКОЙ ЛОГИКИ * На данную работу можно смотреть с двух совершенно различных точек зрения. 1.
Если не признавать интуиционистских теоретико-познавательных предпосылок, то следует принимать во внимание лишь первый параграф. Выводы этого параграфа могут быть суммированы приблизительно следующим образом. Наряду с теоретической логикой, систематизирующей схемы доказательств теоретических истин, возможна систематизация схем решений задач, например, геометрических задач на построение. Принципу силлогизма будет здесь соответствовать, например, следующий принцип: если мм можем свести решение задачи Ь к решению задачи о, а решение задачи с — к решению задачи Ь, то и решение задачи с ми можем свести к решению задачи а. Введя соответствующую символику, можно дать формальные исчислительные правила, позволяющие осуществить символистическое построение системы подобных схем решения задач.
Таким образом, наряду с теоретической логикой возникает некоторое новое исчисление задач. При этом нет нужды в каких-либо специальных (например, интуиционистских) теоретико-познавательных предпосылках. Имеет место следующий замечательный факт: исчисление задач но форме совпадает с браузровой интуиционистской логикой, недавно формализованной л ейтингом [1, 2]. ' 2. Во втором параграфе при признании общих интуиционистских предпосылок критически исследуется интуиционистская логика; при этом указывается, что она должна быть заменена исчислением задач, поскольку ее объекты суть в действительности не теоретические высказывания, а, напротив, задачи.
Мы не определяем, что такое задача, а объясняем зто на примерах. Вот задачи: 1. Найти такие четыре целые числа х, у, г, и, для которых выполняются соотношения х" + у" = г', и ) 2. (1) 2. Доказать, что теорема Ферма неверна. е Епг Ретппу бег шстпоп!змзсЬеп Ьоа1Ь.— Ма1Ь. ХмсЬе., 1932, Вд. 35, Я. 58 — 65. Перевод В. А.
Успенского. И. К толко«анию иктуиционигтгкой логики 143 3. Через три заданные точки (х, у, з) провести окружность '. 4. Предположив, что один корень уравнения ах' + Ьх + с = =- О дан, найти другой. 5. Предположив, что число я допускает рациональное выражение я =жгн, найти аналогичное выражение для числа е. Отличие второй задачи от первой понятно и еще не составляет предмет специфически ннтуиционистского утверждения '.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
