Колмогоров А.Н. Уравнения турбулентного движения несжимаемой жидкости (1124030), страница 29
Текст из файла (страница 29)
Если )с( п, то для любого множества Е из К", которое лежит в некотором К", имеет место равенство )зг (Е) = т (Е). з Утверждение справедливо, согласно Лебегу, для любой аддитнвиой функции р (Е), которая удовлетворяет условиям 111 и 1Ч и определена на всех борелевских множествах.
Но так как для любого А-множества Е (как и для любого измеримого по Лебегу множества) существуют борелевские множества Е' и Е' такие, что Е' ~ Е с: Е', ти (Е') = е о (Е) = т" (Е"), то наше утверждение справедливо и для функций, определенных на всех А-множествах. 152 21. А' теории мери Случай к ( и был рассмотрен впервые Каратеодори в вго основополагающей для всех дальнейших исследований в этой области работе [3) и привел к целому ряду различных определений меры. Целью настоящей работы является предложение некоторого принципа упорядочивающего это многообразие определений.
Наш основной результат о к-мерных функциях меры может быть сформулирован следующим образом. О с н о в н а я т е о р е м а. Для любого натурального числа й ( п существуют две специальные функции меры: максимальная мера р." (Е) и минимальная мера р" (Е). Любая другая к-мерная функция меры р" (Е) для любого А-множества Е лежит между 1ьз (Е) и р )(Е): р в (Е) > р" (Е) > р (Е).
1 $ НИРАОТЯГИВАЮЩИБ ОТОБРАЖЕНИЯ Сначала мы докажем, что для множеств в К" мера Дебега т" (Е) удовлетворяет условию 111. Этот факт следует из следующей общей теоремы. Т е о р е м а 1. Для любого нерастянутого образа и (Е) произвольного множества Е (оба множества лежат в К") выполнено неравенство: тз (Е): тв (я (Е)), где тз (Е) — верхняя мера Лебега Е. Доказательство основано на следующем утверждении. В с п о м о г а т е л ь н а я т е о р в м а. Пусть Š— множество в К", лежащее внутри шара о" объема е"; если п (Е) — нерастягивающее отображение из Е на некоторое множество Е' = и (Е), также лежащее в К", то выполнено тз (Е') ( У. Ясно, что диаметр еГ множества Е' не больше чем диаметр Е". Если Р— выпуклая оболочка Е', то ее диаметр тоже д' и ев объем У не больше объема й' шара диаметра гр.
Поэтому т3 (Е') ( У ( У' ( У, что и требовалось. Доказательство теоремы 1. Рассмотрим покрытие множества Е шарами Ег, к = 1, 2, 3,...; эти шары можно выбрать так, чтобы было выполнено условие Х~'а(тз(Е)+ е 21. К теории мери где У» — объем К. Ясно, что такое покрытие существует для любого е ) О. Если обозначить Е$е через Еро то Е= ~~ЕМ Е„с' Ю~,, тз(я(Еа)) ~( Ую те(л(Е)) ~(~тз(я(ЕА)) ~(~$ь(те(Е)+ю что доказывает нашу теорему. Мы хотели бы указать еще следующее известное свойство непрерывных (в частности, нерастягивающих) отображений. Если Е' = ер (Е) — непрерывное отображение А-множестваЕна множество Е', то образы А-подмножеств из Е (в частности, само Е') и прообразы (в Е) А-подмножеств иэ Е' сами являются А-множествами (см.
111). В дальнейшем если Е' = ~р (Е), то мы обозначаем прообраз в Е некоторого множества Е" С ' Е' через ~р ' (Е"Ь 1 2 МАКСИМАЛЬНАЯ МИРА ре(Е) (Определим теперь на всех А-множествах функцию множества йе (Е) как нижнюю грань меры Лебега теп '(Е) для всех А-множеств я '(Е) нз К~, которые можно отобразить нерастягивающим образом на Е: 'р. (Е) = 1п1 т я ' (Е). Если множества 'я ' (Е) не существуют вообще, полагают и' (Е) = + Про функцию й~ (Е) мы докажем, что она есть Й-мерная функция меры и при этом наибольшая среди всех )с-мерных функций меры.
Таким образом, будет доказана первая половина основной теоремы. 1. йо (Е) удовлетворяет условию 1 ие введения. Если хотя бы одно из слагаемых й" (Е ) равно + оо, то наше утверждение заведомо справедливо. В противоположном случае в К' существуют такие множества Е, что яс '(Е,„)=Ет, т" (Е,„) (~в" (Е )+ е12т. Рассмотрим разбиение К' на кубы, каждый из которых меньше единичного; обозначая через Е „ (г = 1, 2, 3, ... ) пересечение Е с кубами этого разбиения, получаем т (Еео) = ~еР~ т ' (Ете). Далее, 454 21.
й теории мери Заметим еще здесь, что диаметры Е „тоже ( 1. Упорядочим все Е , в последовательность Ьт,е, Еоиер Еш,п~ ° ° Ет;е и положим р; = зпр р (х, у), где х пробегает все точки множества Ет.„., а у — объединения всех Ет,, для ~' ( 1. Теперь мы опредее ляем подмножества Е„„в Н~ так, чтобы Е „было конгрузнтно Е „ и, кроме того, было выполнено неравенство р(Е" „,, ~~~~~ Е„*,.„,) ) ре Наконец мы определяем Ее = ~Е*„. Каждое Е „отображается на соответствующее Е „при помощи конгрузнтного отображения: Е „=К „(Е*„). Далее, Ь" „= я< ) (Е „)= и( 1К „(Ет„).
Таким образом, Е* отображается на Е = ~Р, Ь' = ~',Е „. Это отображение нерастягивающее. Действительно, если две точки х~и и хо+ принадлежат одному множеству Е „, то х — пе (хе) — п(т)К (хо) и так как К „соответственно я< ~, конгруэнтно, соответственно нерастягивающее, то Р (х", хо") .:-- .Р (х„х,). С другой стороны, если х1 и х," принадлежат различным множествам, например, х~ принадлежит Ет „, а хеи принадлежит Е,,„ 1 р ~е"т (с е, > у), то Р (Х1, Хе ) ~ Р~ )~ Р (Хм Хо) Наконец, мы имеем Гьт(Е)-. т (Е*) =~т'(Е*„) = ~т,'(Е„„) = =Хт" (Е ) <ХР"(Е,.)+з!2 )=ХДа(Ет)+ . 21. К теории нери 155 Поскольку е ) О было произвольным, получаем д»(Е)(ХР»(Е ), что и требовалось. 11.
й» (Е)) удовлетворяет условию 11 из введения. Действительно, если К» (Е) = +со, то это тривиальным обрааом верно. Но если р» (Е) ( +ос, в К» существует множество н ' (Е) такое, что с»~ (Е) ) т»я ' (Е) — е. Тогда Х Г» (Е,и) ( ~т»я с(Е,„) ( т»л »(Е) а р,с(Е) )- е. Поскольку е ) О было произвольным, этим наше утверждение доказано.
111. Всегда Г»»я (Е) -" р,» (Е) (условие 111). Это следует немедленно из того, что композиция двух нерастягивающнх отобрансен»сй н»я» (Е) есть снова нерастягивающее отоб- ' ражение. 1У. Для множеств из К» выполнено р.» (Е) =- т» (Е). Это следует из теоремы 1 (5 1). В частности, й» (з») = 1 (условие 1»с). У. Для любой другой и-мерной меры р» (Е) выполнено неравенство р» (Е) ( Г (Е). Действительно, для любого л » (Е) с К» р» (Е) ( р»н ' (Е) = т'н ' (Е), следовательно, и р» (Е) е- 1п(т»н-»(Е) й»(Е) 1 3 ыннн»»Альнан меРА р»(У) Положим р»(Е)=зпр,'р,т»яс(Сс) (Вес Е; С,С;=О, »~1), где знак супремума относится к всевозможным счетным последовательностям А-множеств, которые удовлетворяют условиям в скобках и образы которых лежат в К». Так же как и для д» (Е), мы докажем следующие утверждения. е56 гу.
у» теории меры 1. р" (Е) удовлетворяет условию 1 из введения. Действительно, для любого е - О имеется последовательность А-множеств 6; (6, ~ Е, 6;6; = О, » 4= у) и отображений л; таких, что р'(Е) < амтел»(6») + е. Далее имеем и" (Е„)~)~ч~т"л» (Е 6,), ~ у»" (Е„) ~ >ХХ т~л» (Е 6») ~ ~~~~ тол» (6») ) (»' (Е) — е. Поскольку е было произвольным, наше утверждение доказано. 11.
)»~ (Е) удовлетворяет условию 11. Действительно, для любого т имеется такая последовательность А-множеств 6, (С; С ' Е, 6;6; = О, » Ф у) и отображений л что )»~(Е ) ~(~т~л,"(Ст») — еу2". Поэтому поскольку множества 6, лежат в Е и дизъюнктивны, то у»" (Е)) Ят»л,(6»))~у»о(Е ) — е, чем наша теорема доказана. 111. Всегда у»»л (Е) ( рв (Е). 1У. Для множеств из Н" 1»" (Е) = т»' (Е). У. Для любой Ус-мерной мери р~ (Е) выполнено неравенство (»" (Е) ()»" (Е). Д о к а з а т е л ь с т в о.
у»»(Е)=зцр~т'л»(6;) ~зцр~»»»(6») <р»(Е). Этим наша основная теорема полностью доказана. $4 НЕСКОЛЬКО СПЕЦИАЛЬНЫХ СВОЙСТВ ФУНКЦИЙ МЕРЫ йз(Е) И Ии(Е) Следующая теорема проясняет связь между функциями меры различных размерностей. Т е о р е м а 1. Пусть» ( ус; тогда из р" (Е) ) О следует, что р,» (Е) = +ос, а из р» (Е) О следует, что р.» (Е) = +ос.
И. К теории меры е57 Действительно, если р" (Е) ) О, в Е существует подмножество Е', которое можно нерастянуто отобразить на некоторое подмножество Е" из В~ с т»(Е") ) О. Но тогда в Е" можно найти последовательность подмножеств Е, которые лежат в различных (например, в параллельных) 11', так что ;«~ т'(Е,„) =+ оо. Следовательно, рг(Е)' рг(Е')==р'(Е") Х г(Е )=Хт'(Е„)=+ что доказывает первую половину нашей теоремы.
Коли предположить, что «»' (Е) (+оо, 1( й, то в 11' существует Е' = я ' (Е). Тем более Е' лежит в некотором»»», причем Ф' (Е) ( т» (Е') = О, что и требовалось. Дальше мы обозначим через Я, (х) = у преобрааование подобия В" на себя с козффициентом пропорциональности, равным а. Мы говорим, что функция меры р (Е) имеет хорошо определенный порядок, равный с, если для любого множества Е из К" и для любого Я, (х) выполнено равенство р (Ю, (Е)) = а'р (Е); при етом с может быть произвольным положительным числом. Легко видеть, что функции меры «ь» (Е) и р" (Е) имеют порядок с = к; при атом мы, однако, не знаем, каждая ли р (Е) имеет хорошо определенный порядок и равен ли он обязательно к. Т е о р е и а 11.
Пусть ~р (Е) = Е' — непрерывное отображение множества Е на множество Е' такое, чтв р (х', у') ( ар (х, у) (где х' = ер (х), у' = »р (у), а р (х, у) означает расстояние между х и у); пусть, далее, р (Е) — функиия меры порядка с. Тогда р (Е') ( Ф (Е). (1) Действительно, пусть = Ео-' (Е ). Всегда верно, что р (х", у") = а 'р (х', у') ( р (х, у).
Следовательно, Е" = Я,-. Ч«(Е) является нерастягивающим отображением; далее, по свойству 111 функции р (Е) имеем р (Е") ( р (Е) 21. К теории мери н,поскольку, кроме того,)г (Е") = а )г(Е'), в результате получаем неравенство (1). 15 СЛУЧАИ, КОГДА ЛИНЕИНАЯ МЕРА ОДНОЗНАЧНА Линейная, т.
е. одномерная мера, очевидно однозначно определена для Е, когда Гс' (Е) = )г' (Е). Дальше мы даем некоторые достаточные условия для этой однозначности. Т е о р е и а 1. Для любой простой жордановой дуги Я верно равенство р' (Е) = д' (8) = Е (К), где Е (Я) — длина Я. Вспомогательная теорема. Для любого контину- ума К верно рг (Е) ~ )с( (К), где с) (К) обозначает диаметр К. Действительно, пусть точки а и Ь из К выбраны так, что р (а, Ь) = = с( (К). Функция 1 (х) = р (а, х) дает нерастягивающее отображе- ние К на отрезок числовой оси й от О до с) (К), для которого т' (А) = = с( (К) и этим наше утверждение доказано.
Доказательство теоремы 1. По определению дли- ны дуги Е (Я) на Я существует последовательность точек х„х„... ..., х таких, что ~ч~ о(х; „х;) оЕ(Б) — г. Пусть Я; — части дуги Я, расположенные между х;, и хо По дока- занной вспомогательной теореме р' (Я~) ~ )р (х;-м х~) и )" (8) = = Хр1 (Я;) и Е (Я) — е и, следовательно, (л) - Е (л). (1) Пусть теперь у, — начальная точка Я. Функция я ' (у) = = Е (уо, у) (где (уо, у) — часть дуги Я с конечными точками уо и у) реализует отображение из Я на интервал А длины Е (Я). Обратная к ней функция я (х) отображает Л нерастягивающим образом на Я, так как для точек х', х", отвечающих точкам у', у" из Я очевидно имеем р(х' ") =Е(у', у")>р(у', у"). Из этого мы заключаем, что й"- (Е) ( Г (Е) (2) Так как й' (Я) ) >)г' (Я), утверждение теоремы вытекает из неравенств (1) и (2).
2Ь К теории меры е59 3 а м е ч а н и е. Из предыдущего видно, что Ь (Я) — это нижняя грань длин интервалов Л, которые можно отобразить нерастягивающим образом на Я. Это определение длины восходит к Э. 1Пмидту (ср. с [2)). Можно доказать более общее утверждение. Т е о р е м а 11. Для любого континуума К р,' (К) = ф (Е), Сначала мы предположим, что К не является локально связным. Тогда существует бесконечно много дизъюнктных континуумов К„К„..., К,... в К таких, что их диаметры превосходят некоторую фиксированную положительную константу ге. Поскольку Ре (К ) >.О, то й (К) ~ )Х[гг (Кт) = +со, следовательно, [лг (К) = = Дг(К) = +ос.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
