Колмогоров А.Н. Уравнения турбулентного движения несжимаемой жидкости (1124030), страница 33
Текст из файла (страница 33)
О п р е д е л е н и е 4. Точка Р, является внешней по отношению к множеству Е, если она лежит на положительном расстоянии от Е. О п р е д е л е н и е 5. Во всех остальных случаях точка Р, называется иррегулярной точкой множества Е. Т е о р е м а. Множество точек, в которых множество Е имеет касательную, множество точек регулярного края Е и множество иррегулярных точек Е лежат на счетном множестве спрямляемых кривых. Множество иррегулярных точек имеет на каждой иг этих кривых линейную меру нуль в смысле небеса.
Остальные точки плоскости являются недостижимыми или внешними для Е. Москва, 3 ноября 1934 г. 174 зд. О сходимости рядов но ортовонаяъним нояиномам 25 О СХОДИМОСТИ РЯДОВ ПО ОРТОГОНАЛЬНЫМ ПОЛИНОМАМ* В недавно опубликованной заметке И. П. Натансон [1) доказал, что ряды по ортогональным полиномам при любом суммируемом положительном весе р (х) сходятся почти всюду к разлагаемой в ряд функции ~ (х), если только зта последняя удовлетворяет условию Липшица с покааателем а, большим Чя.
Нашей задачей является показать, что тот же результат справедлив для каждой функции, удовлетворяющей условию Липшица с произвольно малым положительным показателем а. Мы доказываем даже несколько больше; именно для сходимости почти всюду упомянутого выше ряда оказывается достаточным существование таких констант С и з ) О, чтобы соотношение (~(х") — 1(х')(( (19 (х" — х') ( было справедливо при любых хо ~ х'.
Напомним сначала основные относящиеся к вопросу определения. Пусть на интервале (О, 1) задана положительная суммируемая функция р (х) ) О. Тогда макно и притом единственным способом построить последо- вательность полиномов ' ао (х), а, (х),..., а„(х),..., где а„(х) есть полипом степени и, удовлетворяющую соотношениям 1 ~р(х)ав(х)ад(х)Их=О, 1Фу, о 1 ~ р (х) а) (х) дх = 1. (2) о Каждая функция / (х), определенная на (О, 1), для которой произведение р (х) ~ (х) суммируемо, порождает ряд св ~ с„а„(х), (3) и=о * ДАН СССР, 1934, т. 1, № 9, с. 291 — 294. Зд.
О ояодимовти рядов ио ортовонивьним нолиномам 176 где с„= ~ р(х) 1(х) вон(х) дх. о (4) Т е о р е м а 1. Если функция 1 (х) удовлетворяет на (О, 1) условию (1), то ряд (3) сходится к 1 (х) почти всюду на (О, 1). Доказательство теоремы 1 будет основано на следующем предложении. Т е о р е м а 11. Ряд (3) сходится почти всюду, если только ряд ~ с'„(16 п)' (5) о=1 сходится. Теорема 11 справедлива для произвольных систем функций во„ удовлетворяющих соотношениям (2), хотя бы они и не были полиномами, и проиавольных коэффициентов с„ независимо от того, получены ли они по формулам (4) исходя от какой-либо функции 7'(х).
Теорема эта является простым следствием известных реэулы татов Г. Радемахера и Д. Е.Меньшова. В самом деле, положим у=~ р(х) Их. (6) о Беэ существенного ограничения общности можем предполагать, что ,1 ) р (х) с(х = 1. о Тогда формула (6) определяет взаимно одноаначное и непрерывное преобразование интервала (О, 1) в самого себя. Важно отметить, что при этом преобразовании множества положительной меры на оси х переходят в множества положительной меры па оси у. Поло- жим далее о1„(х) = 1Р„(У). Легко вывести из соотношений (2) соотношения: 1 ~1р1(у)ц~(у) Ну=О, 1чь1, (7) ~ц'(у) ду=1. о Мы видим, таким образом, что функции ор„(х) образуют ортогональ- ную и нормированную систему функций на (О, 1), Г.
Радемахером 12) и Д. Е. Меньшовым 13) было указано, что иэ сходимости ряда ав во. 0 ояодимости рядов по ортоаонаяаним пояиномам (5) вытекает сходимость почти всюду на (О, 1) ряда Ю ,~~~ с„оси(у). (8) п=а В силу сказанного выше отсюда следует непосредственно и сходи- мость почти всюду ряда (3). В самом деле, ~ спооп(х) = ~~~~~ с„<рп(у), п=о п=о и если бы ряд (3) расходился на множестве положительной меры на оси х, то ряд (8) расходился бы на множестве положительной меры на оси у, что, как сказано, невозможно.
Таким образом, теорема 11 доказана. Доказательство теоремы 1. Колины докажем, что в условиях теоремы ряд (3) сходится почти всюду, то из общих свойств ортогональных полиномов уже будет следовать, что ряд втот сходится почти всюду именно к функции у (х). Следовательно, нам достаточно доказать в условиях теоремы 1, что ряд (3) сходится почти всюду, а для етого по теореме 11 достаточно доказать сходимость ряда (5). В силу условия (1) существует такая константа К, что для любого п ) 1 существует полипом Рп (х) степени и, удовлетворяющий на (О, 1) неравенству (см. (4)) (1(х) — Рп (х) ) ( (9) Так как сумма и ап(х) = Х скока(х) к=а осуществляет наилучшее квадратическое приближение функции ~ (х) на (О, 1) при весе р (х) среди всех полиномов и-й степени, имеем далее 1 1 Вп= ~ Р(х) (У(х) — гп(х))адх( ~ Р(х)(((х) — Рп(х))адх ( о о 1 Ка Ка ~( р(х) Ых = (10) п)аваа ,) (1 п)а+па ' Из неравенства (10) вытекает непосредственно сходимость ряда (11) п=а 35. О сходимости рядов во ортогональным волиномам 177 Заметим теперь, что Ли= ~ сг, Г и+1 Л.
1 — Ли=С'.. Применяя к ряду (11) преобразование Абеля, заключаем поэтому, что ряд ~ч~ с„Хи, и=с (12) где и — 1 Ь)ые хи=~~' Ь также сходится. Но так как Хи возрастают быстрее, чем (1Е п)е, то иа сходимости ряда (12) вытекает сходимость ряда (5). Этим и силу сказанного ранее и заканчивается доказательство теоремы 1 1. 21 декабря 1933 г. ЛИТЕРАТУРА 1.
Натансон ХХ. Н. К вопросу о разложении функций по ортонормированным полиномам.— Изв. АН СССР. Сер. физ.-мат., 1933, т. 1, с. 85 — 88. 2г Набетасьег Н. Е1шбе Яадге вЬег Ве1Ьеп чоп аВЯешешеп ОггЬойопа)(пвйг(опеп.— МатЬ. Апп., 1922, Вб. 87, Я. 112 — 138. 3. Мевсьо// /). Явг 1ее секес бе 1опсиовз оггЬобопа)ез.— Рпш1. шатЬ., 1923г чо1. 4, р. 82 — 105.
4. гас/сгов /). ТЬе ЬЬеогу о1 арргох1шамоп. Хек уаттс, 1930. следует 11ш %и (х) =' О почти всюду на (а, Ь). Следующий пример противоречит етому утверждению с/и (х) = О, если х< 1/2" илн х> (1 + 1)/2", ~ри (х) = 1, если 1/21 < х < (1+ 1)/2", где в = 2" + 1, 1 = О, 1, 2, ..., 2" — 1. 1 Указание на связь, существующую между проблемой, поставленной И. П.
Натансоном, и результатом Г. Радемахера, который испольаован в этой заметке, содержится также в реценаив на работу И. П. Натансона, данной Шохат (см..с ЕЫ. МаЬЬ., 1933, Вд. 7, Я. 17). Однако зта реценаия содержит ряд утверждений, с трудом поддающихся пониманию. Например, в~ней утверждается, что для последовательности фующнй ви (х) с интегрируемым квцзратом из ь 11ш 1 91 (х) Ых 0 и с и 178 зб. Преобразование Лапласа в линейных пространствах 26 ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА В ЛИНЕЙНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ* 1.
Пусть Š— сепарабельное банахово пространство. Рассмотрим действительную вполне аддитивную функцию множества Е (А), определенную на всех В-измеримых подмножествах А пространства Е. Для линейного функционала 7' всегда существует интеграл Лебега — Стилтьеса Н(()= ~)св "с(Е(Е), где х — переменная, по которой производится интегрирование в пространстве Е.
Функция Н (7) функционала / является по определению характеристической функцией для Е (А). Можно покавать, что функция множества Е (А) полностью определяется соответствующей функцией Н (7). Было бы очень интересно найти простую аналитическую формулу, выражающую Г (А) через Н (7). 2. Обозначая А + х множество точек видав = у + х, где у ~= А, можно доказать, что соотношение Е(А)= ~ре(А — х)йре(Е) эквивалентно соотношению НУ) = Нг У)Нз((). Этот факт может иметь некоторые применения в теории вероятностей.
В частности, отсюда можно получить обобщение на линейные пространства фундаментальной предельной теоремы Лапласа. Для этой цели в качестве нормальных рассматриваются распределения Е (А) с характеристической функцией Н (7) = В'Мдб '~*ыв<' 11, где 7ь(, (7) — произвольная линейная форма, а Лвз (/, 7) — некоторая квадратичная положительно (или неотрицательно) определенная и симметричная форма.~ 3. Пусть теперь Мп ((м 1е ° ° ° в )и) = ~ 7г (х) )е (х) (и (х) АЕ (Е). в 1.а ггаив1огта11оп де 1 ар1асе даив 1ев еврасев 1шеаг1ев.— С. г.
Асад. век Рапв, 1935, чо!. 200, р. 1717 — 1718. Представлено Ж. Адамаром. Пврввод А. Б. Брлинского. 179 27. О иорядкс остаточного ч.гена рядов Фурье Полилинейная форма М„называется моментной формой и-го по- рядка распределения Е (А). В случае конечности интеграла Нс„д — — ~ !) х )) Я од д1 ) Р (Е) ! Е легко получить разложение Тейлора НЦ)= 1+ Мд(7)+ —, М,(7,7) + — Мв(7,7, 1) +...
1 1 ...+ ', М„и,1,...,1)+ — ', ЕН„.,11(1- ((В(<1). 4. Пусть, наконец, у = Нх — линейное преобразование пространства Е и дв (А) = Г (Н (А)). Для моментов Лг„распределения д" (А) имеет место формула Л' У)=М (УЧИ Здесь Лд„(Т) = Л'„(Т', Т,..., /), Мк (У (Т)) = М„(У (Т), У Щ,..., ..., У (Т)), У вЂ” преобразование, сопряженное к преобразованию Н. Таким образом, для последовательности линейных преобразований пространства Е возможно изучать поведение моментов Л"„ различных порядков отдельно при каждом п.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
