Колмогоров А.Н. Уравнения турбулентного движения несжимаемой жидкости (1124030), страница 36
Текст из файла (страница 36)
192 39. О законах двойственности в коибинаторноа тоноловии Без труда можно перейти к рассмотрению пзр областей коэффициентов [7) Г ~ Х и определить группы Н" (В, Х, Х') и Но (В, Х, Х'), а также В„" (Л, Х, Х') = Я"„(В, Х) — Н" (Л, в, Г) В," (Л,,У, Г) = г," (Л,,У) — Н," (Л, К,.У'). 8.
Ориентированное клеточное пространство называется каеточлым комплексом, если оно изоморфно (т. е. может быть взаимно однозначно отображено с сохранением размерности, ориентации и инцидентности) совокупности ориентированных клеток евклидова клеточного комплекса (т. е.
разбиению на клетки полиэдра). При этом необходимо помнить, что вершины евклндовых клеточных, комплексов надо учитывать дважды — один раз со знаком плюс, а другой — со знаком минус. Б соответствии с этим каждый одномерный элемент евклидова клеточного комплекса инцидентен одной положительной и одной отрицательной вершинам. 9.
Как известно, и-группы Бетти, т. е. обычные группы Бетти разбитого на клетки полиэдра, топологически инвариантны (это означает, что разбиения на клетки гомеоморфных полиэдров имеют изоморфные грутшы Бетти). Такая же теорема об ннвариантностн верна и для О-групп Бетти. Она выводится (8) из инвзриантности и-групп при помощи теорем двойственности, рассматриваемых в и. 14. 10, Два ориентированных клеточных пространства В и Л' называются и-двойственными друг другу, если они могут быть так взаимно однозначно отображены одна на другое, что каждая г-мерная клетка х" одного пространства соответствует одной (и — г)- мерной клетке другого; пары инцидентных клеток переходят в пары инцидентных клеток и, следовательно, если клетки л и х' соответствуют друг другу, то клетки — х и — х' тоже соответственны.
Очевидно существует только одно с точностью до изоморфизма клеточное пространство, которое п-двойственно данному клеточному пространству В; мы обозначим его Р„В. Примем в дальнейшем, что при рассмотрении пары и-двойственных пространств выбирается обычно определенное взаимно однозначное соответствие между ними. Это дает возможность говорить о фиксированном соответствии клеток з и х', двойственных друг другу. 11. Пользуясь классическим определением п-мерного замкнутого многообразия М, легко доказать, что ориентированное клеточное пространство Л изоморфно разбиению на клетки ориентированного М", если и только если В и Є являются клеточными комплексами. Если В есть разбиение на клетки М", то Р„Л вЂ” с точностью до изоморфизма двойственное ему в классическом смысле разбиение М".
29. О законах двойопзгзнноопзи о коибинаторной топологии з93 12. Кажому алгебраическому комплексу /" (х") клеточного пространства В соответствует алгебраический комплекс й" " (х" ") пространства .0„В, т. е. функция, которая на клетках х" ", двойственных к х", принимает значения ~" (х").
Если при этом ~г = д„~'э', то для только что введенных функций й" "и й" " ' верно двойственное соотношение йп-г= - йп-г-З =во Аналогично из равенства /"+' = й ~" следует, что й"-" ' = д гзп ". =он Отсюда легко выводится изоморфизм В„" (В, У) = В,"-" (В„В, У). Из этого изоморфизма и из п. 11 следует первая теорема двойствен- ности для ориентированного М"; в„"(м", у) =в," "(м", у).
$3. Для дальнейших рассуждений, которые в первую очередь будут посвящены связи между группами В," и В"„мы должны рассмотреть случай, когда область коэффициентов Х является топологической абелевой группой. Тогда группа г всех алгебраических комплексов ~" тоже окажется топологической, как топологическое произведение конечного числа сомножителей, каждый из которых совпадает с У (число сомножителей при этом равно числу пар клеток (х", — х") клеточного пространства В). Топология группы Р" порождает естественным образом топологию в подгруппах л„", 7о", Н", Н,", а также обычным путем — в фактор-группах В" и В,". 14. Пусть теперь А и  — две локально бикомпактные топологическке абелевы группы, каждая из которых является группой характеров другой (в смысле Понтрягина (9)).
Тогда группы В„" (В, А) и Во (В, В) локально бикомпактны и удовлетворяют следующему закону взаимности: В" (В, А) и В," (В, В) являются группами характеров одна другой. Мы наметим доказательство этого утверждения. Пусть а — любой элемент из А, Ь вЂ” любой элемент из В; тогда Ь является гомеоморфизмом группы А в группу К действительных чисел, приведенных по модулю 1; таким образом, Ъ (а) есть элемент группы К, который мы обозначим как произведение а х Ь элементов а и Ь.
Это умножение дистрибутивно с обеих сторон. Алгебраический комплекс из В относительно А (т. е. функцию со значениями в А) обозначим ~' = ~" (х"), алгебраический комплекс относительно В через й" = й" (х"). Определим умножение комплекса /' на комплекс 494 29. О ввяонах двойственности в яомбинаторной тояовогии Ь" по формуле 1" х Ь" = Х 1" (х") х Ь" (х"). х' а Это определение позволяет рассматривать 2" как линейный функционал от Ь" (со значениями в К); и, конечно, наоборот можно рассматривать Ь" как линейный функционал от 7'". Оказывается (проверяется вычислениями), что всегда )" х б,Ь"'т= Уо~ Х Ь"", [" х аоЬе-' = уиГ Х Ь'-'.
Таким образом, операторы я„н до ведут себя как сопряженные в теории линейных операторов. Дальнейший путь доказательства закона взаимности таков. Группу г" (Л, В) всех Ь" можно понимать как группу всех гомеоморфизмов группы Р" (Л, А) в К, т. е. как группу характеров группы Ре (Л, А). Далее, используя (1), можно доказать, что Ев (Л, В) является аннулятором [10) Н" (Л, А) в Р" (Л, В). Отсюда вытекает, что Яо (Л, В) есть группа характеров фактор-группы )г" (Л, А) — Н" (Л, А). Далее, Я" (Л, А) есть аннулятор Н", (Л, В) в Р" (Л, А); следовательно, Н, "(Л, В) является группой характеров Р" (Л, А) — Я~ (Л, А). Из всего этого вытекает, что Во (Л, В) = = Уо" (Л, В) — Н', (Л, В) есть группа характеров группы (Р" (Л, А) — Н„"(Л, А)) — (Р" (Л, А) — Я„" (Л, А)) 7и" (Л, А) — Н,", (Л, А) = В,", (Л, А). 15.
Рассмотрим теперь разбиение на клетки сферы Я". Клетки этого разбиения обозначим через х, а клетки двойственного разбиения — через у. Пусть К вЂ” некоторый построенный из клеток х комплекс, а Ь вЂ” множество клеток х, которые не принадлежат К; обозначим через К' множество клеток у, двойственных клеткам иа в'. Легко[ видеть, что К' является комплексом, тогда как Ь комплекса не образует, но удовлетворяет аксиомам А04 и АШ. Группа В"„(К') есть не что иное [11), как обычная группа Бетти дополнительного пространства Я" — К; мы обозначим ее через В„" (Я" — К).
Из дальнейших формул п. 16 и 17 можно заключить, что группы В" (Ь), В, "(К') и В," (А) также являются топологическими инвариантами дополнительного пространства Я" — К. Обозначим эти группы аВи (Я" — К), Во (Я" — К) и *Во (8н — К). Группа *В„' (Я"— — К) есть при этом группа Бетти, полученная с помощью «открытых» циклов из Я" — К [121. 16. При 1 ( г ( и верна формула В„"-'(К) = аВ."~З" — К) = В, (и" — К). 39, О ваконвк двойственности в комбинатор»он токоловии 195 Второй изоморфизм следует из двойственности Ь и К' в силу п. 12.
Докажем ЙЗ) первый изоморфизм, Любой и-цикл з ' из К ограничивает в 8": з ' = д„~". Функция ~", рассматриваемая на Ь, есть, очевидно, цикл. различные у., ограниченные одним и тем же циклом или циклами, гомологичными (на К) друг другу и данному циклу з" ', гомологичны на Х. Таким образом, каждый (г — 1)-мерный класс гомологий на К соответствует г-мерному классу гомологий на Ь. Так как зти соотношения двойственны, то В„' ' (К) и эв„(8" — К) изоморфны.
Таким образом, мы доказали формулу (1). Изоморфизм между В", ' (К) и В," ' (В" — К) назовем второй теоремой двойственности. 17. Пусть теперь снова А и  — группы характеров друг другао Тогда группой характеров группы Ви ' (К, А) = "В'„" ф» — К, А) = В,", "(⻠— К, А) является с точностью до изоморфиама группа В„", т(К,В) ово(Ъ вЂ” К,В) В„" "(Ю" — К,В). (Доказательство следует непосредственно из закона взаимности п.
14.) В доказанном содержится теорема двойственности Александера: В"„' (К,А) и В" "(Я" — К, В) суть группы характеровдругдруга. 18. В случае г = 1 аналогичным путем получим Ви (К, А) = *Ви (В" — К, А) + А = Во (В~ — К А) + А есть группа характеров для группы в,'(к, в) = в,'(В" — к, в)+в= в"„-'(8" — к, в)+в. Наконец, для г = п находим, что В,",'(К, А)+А="Ви(К" — К, А)=ВРо(В" — К, А) есть группа характеров группы Во ' (К, А) +  — оВ," (В" — К, В) В„' (8» — К, В).
ПРИМЕЧАНИЯ 1. Результаты этой работы применительно к обычным номнлексам были получены автором весной н летом 1934 г. н чэстнчно доложены на Международной конференции по топзорному анализу (Москва) з мае 1934 г. Общая теория, представленная здесь, составила основу доклада, который автор прочел на Международной топологической конференции (Москва, сентябрь, 1935); в последнем докладе автор отметил, что большая часть этих результатов получена Александером. См. вышедшую за это время нз печати заметку Александера: 196 29.
О законах двойственности в комбинаторной топологии Ргос. Хаю Асад. Яс!. ПЯА, 1935, чо). 21, р. 509 — 512. Александер тоже доложил свои результаты на Московской топологической конференции. Обобщение на случай аамкнутых множеств и конструкция колец гомологий для комплексов и аамкнутых множеств, также доложенные автором на конференции по тенаорному анализу в 1934 г., будут представлены в последующих публикациях, Эти дальнейшие конструкции, впрочем, также были найдены Александером и частично опубликованы в цитированной заметке. 2. По поводу терминологии и обозначений иа комбинаторной топологии смл А)ехапйгоН Р.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
