Колмогоров А.Н. Уравнения турбулентного движения несжимаемой жидкости (1124030), страница 37
Текст из файла (страница 37)
8. Е!и!асйе!е ОгппйЬе8гй е йег Торо1о8!е. Вег1!п: Яргш8. Чег1, 1932, и в особенности: А)ехапйиН Р., Нор! Н. Торо!о8!е. Вег!1в: Ярг!п8. Уег!., 1935, Вй. 1, Т1. 4. 3. Тис)сег А. Иг. Ап аЬа!гас! арргоасЬ 1о шап!1о1йе.— Апп. Ма!Ь., 1933, чо1.
34, р. 191 — 243. Клеточные пространства составляют частный случай дискретных пространств в смысле П. С. Александрова (см. его заметку: Япг !ее еарасеа йМсге!а.— С. г. Асай. ес!. Раг!е, 1935, чо1. 200, р. 1649 — 1650). Значительная часть представленных здесь результатов верна для более общих дискретных пространств, нежели клеточные; в частности, если предположить пространство частично упорядоченным и конечным. Мы определяем размерность (следуя Таккеру) как гомеоморфное отображение данного дискретного пространства (рассматриваемого как частично упорядоченное множество) в (упорядоченное) множество целых чисел, что отличается от специального определения по Александрову. См.
также: Вйат А. Ие. Япг 1'Апа!уеы ейиа йеа чаг!елее а и-йппепюопа: ТЬеее.— 1. ша!Ь. рпгеа е! арр1. Яег. 9, 1931, чо). 10, р. 115 — 200. 4. Смл Тисйег А. )!г.— 1Ый. 5. А !ехапбгоЦ Р., Нор( Н. Торо1о8!е. Вй. 1, Я. 168 — 170. Следует при атом ааметить, что если множество лежащих в В клеток размерности г пусто, то существует единственная функция !г с пустой областью определения. 6. В случае симплициальных комплексов и в употребительных в наши дни обоаиачениях комбинаторной топологии определения авучат следующим обрааом. Пусть сначала комплекс )г = гхг содержит только один симплекс х'.
Обозначим инцидевтные х" (г — 1) (соответственно (г + 1))-мерные ориентированные симплексы х" г, ..., х„' т (соответственно х"+г, ..., х,"е"). Мы определяем у„! =~Ч~гх; ~, бд =~!*,"". Тогда для любого алгебраического козшлекса ! =~~~~! х =~)„определены з дезе = ~~ бо1г. 7. А!ехапйго!! Р., Нор! Н.
Торо!о8!е. Вй. 1. Я. 205. 8. Здесь мы рассматриваем дискретные 0-группы; соответствующие группы характеров, следовательно, являются биокомпактными. 9. Ронге!аб!и 5. л. Торо1оййса1 сошшпса!!че Ягоире.— Апп. Ма!Ь., 1934, чо1. 35, р. 1 — 338; Катреп Е. В.
оап. ЬосаПу Ысошрасг АЬе1!ап Ягопре апй !Ье1г сЬагас!ег Ягопрю — Апп. Ма!Ь., 1935, чо1. 36, р. 448-463; 197 80. Кольцо гомологий комплексов КОЛЬЦО ГОМОЛОГИЙ КОМПЛЕКСОВ И ЛОКАЛЬНО БИКОМПАКТНЫХ ПРОСТРАНСТВ* $1 КОЛЬЦО ГОМОЛОГИЙ КОМПЛВКСА Первый параграф является продолжением моей работы «О ааконах двойственности комбинаторной топологиив (см. № 29 наст. изд.). Мы сохранили все обозначения этой работы, но рассматриваем лишь специальный случай построенной там общей теории: клеточное пространство В является симплициальным комплексом, а в качестве области коэффициентов Т выбирается аддитивная группа рациональных чисел.
Пусть два симплекса х" = (р„р„..., р„) и х = (д„д,,..., 9,) являются клетками Л. Если каждая точка д; отличается от всех точек рд и симплекс (Р«1 Ргс .с Ргс Чо~ Чг~ ..., 9,) есть клетка Л, мй называем х" " произведением х" и х' и пишем Хг+вьг хгХ« Ясно, что определенное выше умножение симплексов ассоциативно; коммутативность описывается следующим соотношением: хх = ( — 1)1 Д !хлх алгебраических комплексов ~" и /' мы комплекс /""", который определяется Под произведением двух понимаем алгебраический следующей формулой: Тг) ° — Тг+евг (хелен) 2 7 (х") 7 (х').
х х =хесе«Г Умножение в правой части понимается в смысле обычного умножения рациональных чисел. Сумма распространяется на все возможные представления симплекса х""' в виде произведения х"х'. Эквивалентное определение произведения алгебраических комплексов было дано Александером (21. В противоположность произведению сим* Ногае!оя!егаия дев Когар1ехев иис! 6ев !оса!МйоюраЬ«еи Вашиев.— Мат. сб., 1936, т. 1, с. 701 — 706. Перевод О. В. Локуциевскоео.
См. (П. 10. Роп«г)ад«п Ь. Ю.— 1ЬЫ. Ы. Срл Ропгггадгп В. ПЬег с1еи а!яеЬга1всЬеи 1иЬа!1 горо!ояысЬег ОиаПЬпвва1ве.— Ма«Ь. Ааи., 1931, Вд. 105, 3. 165 — 205. 12. Срл Тисйег А. Иг.— 1ЬЫ. 13. Срл Ве(есйеы В. Торо!ояу. Кеес г'огЬ, 1930. СЬар. 4. (98 ЯО. Кольцо оомолооой комплексов плексов произведение алгебраических комплексов определено во всех случаях.
Если В не содержит (г + в + 1)-мерных симплексов, то су(цествует, это доказано в моей работе, цитированной выше, единственный (г + в + 1)-мерный алгебраический комплекс и произведение любых ~" и ~' равно этому комплексу("'+'. Можно легко видеть, что произведение алгебраических комплексов ассоциативно и дистрибутивно относительно сложения. Закон коммутатнвности заменяется равенством ус~с ( 1)(соп(оь((~о~с (2) Отсюда вытекает при четных г ~"~ = ( — 1) "" т = — ~ ~" = О. (3) Каждая вершина комплекса В определяется (в соответствии с моей работой, цитированной выше) двумя нульмерными клетками + (р) и — (р).
Мы введем специальный нульмерный алгебраический комплекс е' такой, что для любой точки р ,о ( [ ( )) = ] 1,,о ( ( )) = 1, Из определения оператора до мы немедленно получаем М' = ~'1" (4) Так как согласно (3) е'е' = О, то Уо (до() = еоео(с О что ранее было доказано непосредственно. Для произвольного в-мерного симплекса х' мы обозначим через [хл] комплекс (клеточное пространство), который состоит из всех его граней (включая сам симплекс х'). Если х' принадлежит В, то, очевидно, каждая функция г" (х"), которая определена для всех х" из В при г С в, определена и для всех х" из [х'1. Если при этом ~'являетсяО-циклом на В, то ( остается О-икломм, если этуфункцию рассматривать как алгебраический комплекс на [ал]. Л е м м а. Любой О-цикл г" (г ~ в) О-гомологичен нулю на каждом [х'], т.
е. существует такой комплекс ~' (, определенный на [х"], что уо(" ' = г" на [х']. Для доказательства достаточно выбрать какую-нибудь вершину р симплекса х', тогда для каждого симплекса х" ' из [х"] можно утверждать: ("-' (х"-') = г" (+ (р) х" '), если х" ' не содержит точки р; у"-' (х" ') = О, если р есть вершина х"-'. 199 80. Кольцо зомолоаий комклакооа Из леммы вытекает, что произведение двух циклов всегда равно нулю.
Действительно, пусть ит+"1= гтгв тогда на каждом (х" +'+11 справедливы равенства гт гааз-1 га оа(а-1 и, таким образом, ит+в+1(хз аз+1) гоуз-1г (з-1 ( гого]т-1(в-1 () Введение второго умножения приводит к новым гомологическим инвариантам. Это второе умножение может быть определено формулой [щ а таз (хг+в) 4(в+а+1) 1т(Хт-1ХО) 1в(ХОХз-1). (5) Е 1х 1 хт+з Сумма в правой части распространяется на все возможные представ- ления симплекса хт+' в форме трех сомножителей указанных раз- мерностей.
Легко видеть, что второе умножение дистрибутивно по отношению к сложению и что выполняется соотношение (7'", 7'1 = ( — 1)т' (1*, 7"1. (6) (7) Для доказательства положим 7'"1" = )г"+'+1. Тогда (г + г + 1+ 2) [11', 1] = (г + г + 1 + 2) [и) +вз1 Я = и(в+в+(+1) (хтг1г(+1)— 1 4 ютввз1 (х г+з+1хо) 1( (хохз-1) хт;З х(-1 хтзз+!+1 8 1" (Х"-'Х') )в (Хз) 1' (ХОХ(-1) + —,Е х' 1х'х х( )=хтгзз(+1 + — ~~~ 1" (хт) 1'(х' 'х') 1'(х'хьа) = 8 хтхв вх ха 1 гтав-Г( 1 2 ( 1)(т+1)(вв1) 1 ~ ( (а (ха) м х хтз(=хаза+(+1 Х вЂ” з) 1 (х'"'хо)1 (хох' 1)+ — ~а, 1 (х ) М хт-1 „(-1 т+в хг вг( от+в+(+1 Основная формула, связывающая первое умножение со вторым, гласит: (к+о+1+ 91,11 ( + + )ГУ,(1+ + ( — 1)("+1)(зг1) (г + 1 + 1) з' (зт, в'1.
200 ЗО. Кольцо зомолозиа комплексов зе — ~~> )' (Х' 'Хе) )' (ХОХ'-1) = 1 4 хз зхзхс 1=хозе =( — 1)озззкззп(г -[- е+ 1))'[)",)']+ (о+ е+ 1) 1" [у', ~'], что и требовалось доказать. Легко видеть, что [ов ~з) — ~г (8) Поэтому из (7) следует .) [Ооз лв) (и [ + 1) оо [зо зз) + ( — 1) о "и (г + 1) 7'"7'. (9) Дважды применяя (9), получим [ООЕз ОО)з) Ов~г~в (10) Формула (10) делает возможным новое определение второго умножения для 0-циклов. Пусть г' и г' — два 0-цикла и х"" — некоторый симплекс. По лемме, доказанной выше, на х"" выполнены соотношения гз ОООз-1 И гв ОООз-1 Из формулы (10) следует [г', г'] = и"" (Х"") = ЕО)е 1)з '.
Ясно, что значение ее~' 1~' ' на снмплексе х'" не зависит от выбора 7з ' и ~' '. Это новое определение без труда приводит к ряду новых фактов. Во-первых, мы устанавливаем, что произведение [г", гв) двух 0-циклов является 0-циклом: пусть х'"ы — любой симплекс; дЛя [Х"зззз) ВЫПОЛНЕНЫ раВЕНСтВа г" = ОО~з-1 И гз = ее~в-1 Отсюда следует, что оо [гз гз] — цзззз1 (хеззз1) евов[г" 1ез-1 0 Во-вторых, докажем, что для циклов второе умножение ассоциативно: пусть г", г' и г' — циклы и хз" ' — любой симплекс. На [ зовы) г' — Оо)з-1 гз оо)з-1 гз оо)з-1 и мы получаем для симплекса х"+" Цг", г'], г'] = [г" [гс]] ООУз-з~в-1)З-1 Приведем еще следующую формулу: 1) о [вз зз) (е [ 1) [оо(з зв) + + ( 1) (о+ 1) [~~ со~~) (11) 2О~ 80.
Кольцо вомолоека комклекеов аналогичную формуле дифференцирования в кольцах Пуанкаре кососимметрических дифференциальных форм. Заметим, что из (9) вытекает 1)~(г [ г [ 2) [ве го[в[ ( [ г + Ц оо [Ге во[ + ( — 1)" (т + 1) )"~'. (9') Умножая (9) на (г + 1), (9') на (о + 1) и складывая полученные равенства, получим после сокращения формулу (11). Если г' — О-цикл, а г' — гомологичный нулю О-цикл, то оог' О н ге оа1е-» Далее, из формулы (11) следует (г + ) " [1"-~, гв) = г [г", "[, т.
е. что цикл [г", г') гомологичен нулю. Отсюда мы заключаем: Если 0-цнклы г," и г,", а также г,' и г', попарно гомологичны, то циклы [г„г[) и [г», ф также гомологичны. В самом деле, [г„ гь] — [г„ г,] = [г„ г, — г»] + [г, — г„ го] ж О„ в в г так как г, — г, ы 0 и г, — г, ж О. Из последних результатов, следует, что второе умножение 0-циклов г' и г' обычным путем нндицирует умножение элементов групп Бетти В," (В) и В'„(В), результатом которого является элемент группы Бетти] В,"' (В). Элементы всех групп Бетти В," (В) с этим умножением образуют кольцо 0-гомологий комплекса В [3).
1 2 КОЛЬЦО ГОМОЛОГИЙ ЛОКАЛЬНО БИКОМПАКТНОГО ПРОСТРАНСТВА Результаты 2 1 верны для произвольной совокупности вершин, причем под В можно понимать любую систему симплексов, удовлетворяющую единственному естественному требованию: все грани принадлежащего В снмплекса ле также принадлежат В. Отметим следующее преимущество 0-гомологий перед обычными и-гомологиями: теория последних применима лишь для таких алгебраических комплексов, которые на совокупности симплексов с общей вершиной имеют лишь конечное число коэффициентов, отличных от нуля.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
