Колмогоров А.Н. Уравнения турбулентного движения несжимаемой жидкости (1124030), страница 40
Текст из файла (страница 40)
Пусть à — произвольная дискретная абелева группа и В ее группа характеров в смысле Понтрягина ', О является тогда абелевой бикомпактной группой, ее группа характеров дискретна и изоморфна группе в. Мы говорим вообще, что две абелевы группы, одна нз которых дискретна, а другая бикомпактна, взаимны в, если одна из них изоморфна группе характеров другой. Теорема взаимности. Группа В„(Н, В) иВ,(Н,.е) для каждого г ~ )О взаимны.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Так как В является группой характеров группы У, произведение а х а произвольного элемента а из ,7 на произвольный элемент и группы О есть определенный элемент * Ргорпогвг бвз бгопрвв бв Ввм! бвв окрасов 1осв!ешопг Ь!согарасгв.— С.
г. Асвб. вс!. Рвмв, 1936, го1. 202, р. 1325 — 1327. Перевод М. Б. Балававве. е Настоящая ввмоткв существенно опкрвегся на мою заметку (см. № 32 наст. квд.), которая в дальнейшем будет обозначаться (В1). о Для ссылок на результаты, относящиеся к топологкчосккм группам к в особенности ях теории характеров, см. заметку (В1) н мемуар Л. С. Понтрягина: Торо!об!св! соппппгвНче зтопрз.— Апп. МвьЬ., 1934, чо). 35, р. 361— 388. ' Двойствонны в смысле теории характеров Понтрягина.— Примеч. пер, 2Ю 88.
Свойства крупп Бстти локалкыо бикоипактыих простраыств сс (а) непрерывной циклической группы К (группы действительных чисел, приведенных по модулю 1). Мы определяем для пары функций ср" и 1", удовлетворяющих соответственно условиям (а) — (6) и (а) — (с)) из (В1), произведение 1 х су" следующим образом: пусть М„..., ̄— элементы системы множеств Яхт определенной рв и п. 2 из (В1) условием (с)); положим т х ф"=Х~'(рь,...,р;,) х р" (М.;„...,М;„), где р; — произвольная точка из М; и индексы 11 независимо друг от друга пробегают все аначения 1,..., и. Произведение 1в х ср", очевидно, не что иное, как и-кратный интеграл в смысле Радона— Стилтьеса 1" хф'=~...1Г(р„..., рв)ф"(д„,Н,...,д„„Н), Таким образом, каждая функция ю задает гомоморфное отображение группы 7" в группу К.
Легко видеть, что, с другой стороны, каждое гомоморфное отображение г"" в К при надлежащем выборе ср" можно определить таким образом. Отсюда следует, что группа Ф' всех функций су", удовлетворяющих условиям (сс) — (6), с топологией, которая вводится следуя (В1), взаимная группе Р". Однако подгруппа Ф" группы Ф" есть в точности аннулятор в гс группы О" функций Г", эквивалентных нулю.
Следовательно, группы Ф" и г'" комплексов ~р' и 1" также взаимны. Это позволяет определить произведение 1" х су" элементов групп Р" и Ф". Далее, доказывается основное соотношение 1с Х И ср +1 = Кв) с Х Ч) "+1 (2) Получается, что Г' является аннулятором группы Е" в Ф", следовательно, Ф" — Г' взаимна с Я'. Получаем также, что Я" является аннулятором группы Н' в группе Ф", следовательно, Ф" — У" взаимна с Н". Из этого вытекает, что группа В," (Н, Х) = = Я' — Н' взаимна с Я' — Г" = В" (Н, 8).
2. Фундаментальные системы. Обозначим через Х разбиение Н = ЕВ пространства Н на конечное либо бесконечное семейство непересекающихся подмножеств Ва. Разбиение Х называется локальио конечным, если каждое бикомпактное в Н множество пересекается лишь с конечным числом множеств В . Система Я локально конечных разбиений называется фундаментальной системой, если она обладает следующими свойствами: 1') если Х' и Е' — два разбиения, принадлежащие данной системе Я, то разбиение Х'Х" = Х, элементами которого являются пересечения произвольного элемента Е' с произвольным элементом Х", также принадлежит семейству Я; 2') какова бы ни была конечная система Н„..., У„открытых множеств, покрывающая какое-либо биком- 211 ЗЕ. Группы Бетти метрических пространств пактное в В подмножество А, среди разбиений пространства Я, принадлежащих Я, найдется по крайней мере одно, со свойством: его элементы, имеющие общие точки с А, содержатся каждый в некотором 1(,.
Конечные объединения множеств, выбранных иа разбиений Е данной фундаментальной системы Я, образуют тело множеств в, которое мы обозначим через Т (Я). Первая теорема редукции. Для произвольной фундаментальной системы Я и 0-цикла г" существует цикл у', гомологичный г" и постоянный' по отношению к каждому своему аргументу, на элементах некоторого разбиения Е, принадлежащего Я. В т о р а я т е о р е м а р е д у к ц и и. Пусть ф" (е„ ..., е„) есть и-цикл; если ф" (ео,..., е„) = О всякий раз, когда з„..., з,.
принадлежат телу Т (3) некоторой фундаментальной системы Я, то цикл ф" гомологичен нулю, Обозначим через )з функции, удовлетворяющие условиям (а)— (б) п. 2 из (В1) и постоянные на элементах хотя бы одного разбиения Х фундаментальной системы Я. Обозначим далее через фз функции, удовлетворяющие условиям (р) — (е), но определенные только на множествах иа Т (Я). Функции тз образуют группу и з. Все рассуждения из (В1) остаются в силе в этом случае и приводят к определению групп В" (Л, В, Я) и Во" (Л,,Т, Ю). Итак, в силу теорем редукции этн две группы соответственно изоморфны группам В"„(В, В) и В,"(В,,Т). 30 марта 1936 г. ГРУППЫ БЕТТИ МЕТРИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВ * В этой заметке гмы изучаем, что происходит с нашей общей теорией групп Бетти в двух специальных случаях метрических пространств, а именно в случае компактов и в случае открытых многообразий. 1.
Пусть Л вЂ” произвольный компакт. Главная цель, которую мы преследуем при исследовании этого случая, это следующая с Система Т множеств называется телом, если объединение, пересечение и разность двух множеств, нринадлежащих Т, есть снова множество, принадлежащее Т. з Комплекс )т называется постоянным иа элементах некоторого разбиекия, если он содержит функцию )т с отмеченным свойством. о Ьез бгспрез с(е Вегп без езрасез шегг(диез.— С. г. Асаб. зс1. Раме, 1936, чо1. 202, р. 1558 — 1560.
Представлено Г. Жюлиа. Псрсвод М. Б. Бововодвс. х Она опирается на мои ааметки (см. № 32 и ЗЗ наст. изд.), которые з дальнейшем будут обозначаться (В1) и (В11). 212 34. Груням Бетти метрических прострвиств Т е о р е м а. Группа В„'(В, О) игоморфна обычной группе Бетти В" (Л, О) пространства Л (в смысле Вьеториса '). Чтобы доказать зту теорему, прежде всего отметим, что в случае компактов вместо общих фундаментальных систем можно рассмотреть фундаментальные последовательности Я = (Х„..., Х»,...) последовательныхподразбиеннй В на непересекающиеся множества: В=В»-(-...
-(- В,' В,"В»=0 (1~7), (Х») при диаметрах В,", стремящихся к нулю, когда )г стремится к бесконечности. Тогда достаточно показать изоморфизм между В" (В, О, Я) и В" (В, О). Итак, системе Я соответствует проекционный спектр Пв пространства В в смысле Александрова '. достаточно в каждом В» выбрать точку а; и рассмотреть зти точки как вершины нерва Л'» системы множеств В~»;..., В» . Таким образом, имеем следую'»' щее предложение. Л е м м а.
Существует игоморфигм, сохраняющий гомологию, между группой Я" (В, О, Я) и группой всех истинных проекционных циклов сс спектра Пе. Пусть, в самом деле, ~р" (Е„..., Е,) есть и-цикл; положим для каждого г-мерного симплекса (аь,..., а;„) из Л'» с» (а;„..., а; ) = ~р" (Вкп ..., В; ). Алгебраические подкомплексы с» нерва Аг», которые получены таким образом, являются циклами и последовательность (с») есть истинный проекционный цикл с". Легко усмотреть, что зто соответствие между ц" и с" является искомым изоморфизмом.
Имея истинный цикл Вьвториса, остается лишь показать, что, наоборот, произвольный цикл Вьеториса гомологичен истинному проекционному циклу. Доказательство этого предложения [принадлежащее Александрову е в случае когда Π— конечная группа) основывается на компактности области коэффициентов.
2. Пусть теперь Л вЂ” открытое многообразие размерности и. Рассмотрим произвольное клеточное разбиение ят" пространства В. Тогда можно применить после легкой модификации теорию, которую я развил ранее '. С этой целью мы рассмотрим нечетные функции ср" (х") ориентированных клеток х' из М", значения которых суть элементы О, т. е. бесконечные алгебраические подкомплексы в классическом смысле. Операторы у„и у, определяются, каки в ци- э Л.
Вьеторис дал определения лишь для групп целых чисел и групп порядка 2 в качестве областей коэффициентов (Ма»Ь. Апп., 1927, Вд. 97, Я. 454— 472). Общие области коэффициентов были введены П. С. Александровым (смл рппд. ша»Ь., 1933, то1. 20, р. 140 — 151). ' См.: Аап. Ма»Ь., 1928, чо). 30, р. 101 — 187, а именно с. 107. ч 1Ьи1., р. 162. е Смл Мат. сб., 1936, т.
1, № 1, с. 97 — 102 (см. № 29 наст. нэд.). 243 84. Группа Бспспси мсспричссиии пространств тированном мемуаре, причем первый из зтих операторов дает границу алгебраического комплекса ср" (х') в классическом смысле. Группы Я„и Яо ~и-циклов и О-циклов, так же как и подгруппы Г„ и Го циклов, являющихся границами, определяются автоматически. Группы Бетти В" (М", О) = Е"„— Г„" изоморфны тогда группам В"„(В, О), определенным в (Б1). Показывается, далее, что если М," и Мс являются двумя клеточными разбиениями В, то группы В," (М,", О) и В," (М,", О) также изоморфны. Следовательно, мы сможем написать В," (В, О) вместо Вс (М", О). Рассмотрим, с другой стороны, конечные алгебраические подкомплексы М, т.
е. нечетные функции Г" (х") со значениями в У и отличными от нуля лишь для конечного числа х". Эти функции таким же образом, как и всегда, приводят нас к группам Бетти В", (М", Х) и В," (М", Х). Легко доказывается, что В", (М, Х) изоморфна группе Вс(А, Х), определенной в (Б1), и что В„(М", У) с точностью до изоморфизма не зависит от выбора клеточного подразделения М", так что группу В„" (М", У) можно рассматривать как группу В,", (В, У); зта последняя, впрочем, является обычной группой Бетти М" в классическом смысле комбинаторного Апа1уз)з з1ьнз.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
