Колмогоров А.Н. Уравнения турбулентного движения несжимаемой жидкости (1124030), страница 42
Текст из файла (страница 42)
В частности, при помощи этого разностного исчисления могут быть определены некоторые новые инварианты комплексов и замкнутых множеств и доказаны некоторые обобщения законов двойственности. 9 1. Мы рассматриваем в дальнейшем кососимметричные функции ' 'у; (хе~ хг| х... х.) и + 1 аргументов х„х„..., х„. Так как значение такой функции 7'„не меняется при совершении над х„х,,..., х„произвольной четной подстановки, то мы говорим, что Г„есть функция ориентированного симплекса Х" = (хе, х„..., х„). При изменении ориентировки симплекса знак функции меняется: („( — х") = — („(х").
) Функции 7'„(Х") будут в дальнейшем предполагаться определенными для всех и-мерных симплексов Х", входящих в некоторое множество К симплексов разного числа измерений. Относительно этого множества К мы предполагаем в дальнейшем, что: 1) вместе с Х" и симплекс — Х" входит в К; 2) вместе с Х" и все его (и — 1)-мерные грани входят в К. Условия 1) и 2) являются обобщением требований, предъявляемых к комплексам в комбинаторной топологии. Чтобы К было комплексом, необходимо еще, чтобы каждая вершина х входила лишь в конечное число симплексов из К.
Это последнее условие не предполагается в дальнейшем. Умножение симплексов определяется формулой (х„х„..., х„) (у„у„..., у ) = Х"~ = 2"' " = =(хе,х„...,х„,уе,уг,...,у ). * В кнн Труды семинара по векторному и тензориому анализу с вх приложениями к геометрии, механике и физике. М.; Лл ГОНТИ, 4937, вып. 4, с. 345 — 347. г для простоты предполагаем, что значениями рассматриваемых функций являются действительные числа, хотя в приложениях к топологии сугцественны к некоторме другие случаи.
37. Кососиыысочричныс величины и тоиологичсснис инварианты 229 Умножение функций ~„(Хн) определяется формулой — „(Хнчыы) ~ ~~~ч ч' (Хн) о (Хы) х"х'"=х"'ы" где суммирование совершается по всем парам симплексов Х" и Х, дающих по умножении Хнч"'+'. Легко видеть, что умножение функций ассоциативно и дистрибутивно относительно сложения. Вместо коммутативности имеет место соотношение д.=( — ~)~- »<-»и„.
В частности, при четном и (н(н = ( 1)чнч»ч 1„1„= 1„(„= О. Для того чтобы развиваемая теория была применима к симплексам нулевого измерения, следует допустить, что каждому элементу хо соответствуют два симплекса нулевого измерения +(х ) и — (хо). Условившись в этом, положим для любого элемента хо ео (+(хо)) = т, ео ( (хо)) = — 1. Функция е, (Хо) симплексов нулевого измерения удовлетворяет выдвинутым выше условиям. Определим теперь операцию го1 равенством гоч )„= ео~н.
Операция гоЦ„, очевидно, является некоторой функцией ~„„ симплексов п + 1 измерения. В силу второго условия, наложенного на систему симплексов К, она определена для всех симплексов х""', входящих в К. Из равенства еоео = О вытекает непосредственно, что гоС (го$ ~„) = О. Броме того, операция гоч, очевидно, дистрибутивна относительно сложения. Будем говорить, что ~„есть цикл, вели тот ~„= О. Цикл ~„называется, далее, гомологпчным нулю, если существует функция ~„» для которой го$ ~„, = ~„. Циклы образуют относительно сложения группу так же, как и циклы, гомологичные нулю.
Фактор-группа группы всех циклов по группе циклов, гомологичных нулю, называется группой Бетти системы симплексов К. Отношение определенных таким образом 220 87. Кососимметричние величина и топологичесние инварианти групп Бетти к группам Бетти, обычно рассматриваемым в комбина- торной топологии, будет освещено в другой моей работе.
$ 2. Произведение двух циклов всегда равно нулю. Для циклов оказывается полезным введение второго умножения. Второе умножение, обоаначаемое [~„, у ], может быть определено для любых функций ~„и ~ рассматриваемого типа, однако только для циклов мной доказана его ассоциативность. Общее его определение доставляется формулой [1„,)„]=1., (х" )= 4 (а + т (- 1) ~~~~~ 1н (-и Х ) Лн (г» Х ~). хн-»хвх ~-»=хнгт Второе умножение дистрнбутивно относительно сложения. В случае, если ~„, ~ и ~» — циклы, имеет место ассоциативный закон [[1, ~ ],Ы = К, У,Я].
Вместо коммутативности имеет место соотношение ) = ( — 1)"т [~~, я. Операция го$ связана со вторым умножением формулой (л + лг + 1) го1 [~н, ~т] = (и + 1) [го1 ~н, ~т] + +( — 1)" (т + 1) [)„, го$ ~т]. Произведение (в смысле второго умножения) цикла, гомологичного нулю, на произвольный цикл является циклом, гомологичным нулю. Это позволяет определить кольцо гомологпй системы К точно так же, как оно определяется обычно для многообразий.
221 88. Исследование уравнения диЯЯуаии 38 Мы исходим из уравнения диффузии для простоты в двух измерениях ,'; =й(",", + ,'",), й)о, (1) х и у обозначают здесь координаты точки на плоскости, 1 — время, и — плотность вещества в точке (х, у) в момент времени 1. Допустим теперь, что, кроме диффузии, имеет место возрастание количества вещества, скорость которого в данной точке и в данный момент времени зависит от уже имеющейся плотности.Мыполучим тогда урав- нение (2) Естественно, нас интересуют лишь значения Р (и) при и ) О. Мы будем предполагать, что Р (и) — непрерывная и нужное количество раз дифференцируемая функция и, удовлетворяющая, кроме того, условиям Таким образом, мы предполагаем, что при весьма малых и скорость Р (и) возрастания и пропорциональна и (с коэффициентом пропорциональности а) и что прн приближении и к единице наступает состояние «насыщения» и возрастание и прекращается.
В соответствии с этим мы будем рассматривать только решения уравнения (2)„ удовлетворяющие условию (б) ИССЛЕДОВАНИЕ УРАВНЕНИЯ ДИФФУЗИИ, СОЕДИНЕННОЙ С ВОЗРАСТАНИЕМ КОЛИЧЕСТВА ВЕЩЕСТВА, И ЕГО ПРИМЕНЕНИЕ К ОДНОЙ БИОЛОГИЧЕСКОЙ ПРОБЛЕМЕ* Со«меси»но с ХХ. Г.
Петровским и Н. С. Пискуноеым ВВЕДЕНИЕ Р(0) =Р(1) =0; Р(п))0, 0<о<1; Р'(0) = се) О, Р'(п)<се, 0<о<1 0 ~ и ~( 1. а Вюл. МГУ. Математика и механика, 1937, т. 1, вып. 6, с. 1 — 26. (3) (4) (5) аа. Исвавдование Вравивииа диФФувии Произвольные начальные значения г прн 1=0, удовлетворяющие соотношению (6), определяют одно и только одно решение ' вашего уравнения (2) при $>0, подчиненное тому же условию (6). Мы будем далее предполагать, что плотность о не зависит от координаты у. В атом случае основное уравнение (2) запишется в виде ,—, = й —,, + Р(р), Нв а'тв (7) Предположим теперь, что в начальный момент в=0 при х(а плотность о 'О, а при х ) Ь ) а плотность достигает своего максимального возможного значения и = 1. Естественно, что область плотностей, близких к единице, будет с возрастанием 1 распространяться Рне.
$ справа налево, оттесняя область малых плотностей влево. В частном случае а =Ь картина будет приблизительно такова, как изображено на рис. 1. Тот участок кривой плотности (как функции х), на который приходится основная часть падения плотности от единицы до нуля, с течением времени перемещается справа налево. По форме кривая плотности при ь'- приближается к определенной предельной кривой. Задача заключается в том, чтобы определить эту предельную форму кривой плотности и предельную скорость ее перемещения справа налево.
Оказывается, что искомая предельная скорость равна Хв = 2 1/7ьтт, (8) а предельная форма кривой плотности дается решением уравнения (9) обращающимся в нуль при х = — оо и в единицу при х = + оо. Такое решение всегда существует и единственно с точностью до преобразования х' = х + с, не меняющего форму кривой. Заметим, что уравнение (9) может быть получено следующим образом. Будем искать решение уравнения (7), обладающее тем свойст- ь доказательство етого будет дано з $ 3.
223 ЗВ. Исследование уравнения ди44увии вом, что при изменении с форма кривой, изображающей зависимость о от х, не меняется, а сама эта кривая перемещается справа налевсу со скоростью Л. Такое решение имеет вид (о(х,с) = э(х+Лс). Рассматривая теперь о как функцию одного переменного в = х + Лг, получим уравнение Л вЂ” = й — „, + Р(р). Во Нво Уравнение зто, оказывается, имеет решения, удовлетворяющие условиям, поставленным выше для уравнения (9), при всевозможных Л ) )Л,. Но только при Л = Лв мы получим интересующую нас предельную форму кривой плотности при указанных выше начальных условиях. Чтобы понять странное на первый взгляд явление наличия решений уравнения (7) вида (10) при Л) Л„т. е.
решений, при которых расширение области больших (близких к единице) плотностей происходит со скоростью, большей Л„разберем предельный случай й = О. В атом случае диффузия отсутствует и уравнение (7) легко интегрируется. При наших начальных условиях в точках х ( а, где плотность вначале была равна нулю, она останется равной нулю при любом с ) О. Однако нетрудно подсчитать, что прн любом Л) Лв найдутся решения уравнения (7) вида (10), удовлетворяющие всем поставленным выше условиям. Кажущееся перемещение вещества справа налево будет здесь вызвано на самом деле ростом его плотности в каждой точке, происходящим совершенно независимо от течения процесса в других точках.
В 2 1 изложенные во введении факты применяются к изучению биологических проблем, в $2 и 3 будет дано доказательство этих фактов. Рассмотрим теперь некоторую территорию, ааселенную каким- либо видом. Предположим сначала, что некоторый доминантный ген А распространен по изучаемой территории с постоянной концентрацией р (О ~ р в 1).
Предположим далее, что особи, обладающие признаком А (т. е. принадлежащие к генотипам АА и Аа), имеют преимущество в борьбе за существование над особями, не обладающими этим признаком (принадлежащими к генотипу аа); именно предположим, что отношение вероятности выживания особи, обладающей признаком А, к такой же вероятности для особи, им не обладающей, равно 1+ос, где сх — малое положительное число. Тогда с точностью до членов порядка ав получим для приращения концентрации р за одно 224 дд. Исследование уравнения ди44увии поколение формулу (см. [1)) Лр = ар (1 — р)'.
(11) Предположим теперь, что концентрация р различна в различных точках территории, занятой изучаемым видом, т. е. что р зависит от координат точки на плоскости х и у. Если бы при этом особи нашего вида оставались прикрепленными неподвижно к отдельным точкам территории, то соотношение (11) было бы по-преже нему справедливо. Допустим, однако, что в промежутке между рождением и размножением каждая особь перемещается в случайном направлении (все направления равновероятны) на то или иное расстояние. Пусть при этом ~ (г) Ыг будет вероятность перемещения .на расстояние, лежащее между г и г + Ыг, а Гг е р = ~гг ') гт( (г) с[г о — среднеквадратичное перемещение. Тогда получим вместо (11) формулу Л р (х, у) = ~ ~ р ($, т[) — М; Й~ — р (х, у) + е ее + ар(х, у) (1 — р(х, у))е, (12) где г = )ег(х — $)я + (у — т[)'.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
