Колмогоров А.Н. Уравнения турбулентного движения несжимаемой жидкости (1124030), страница 46
Текст из файла (страница 46)
Для етого надо только показать, что при д ) 0 не может быть до (х, 1)/дх = О. Это же следует из таких соображений. Величина до (х, г)/дх удовлетворяет при с ) О уравнению (48). Следовательно, величина ю (х, в) = вм'до(х, в)/дх, где М вЂ” верхняя граница значений (др/до(, 240 Зд. Исследование уравнения днсдфувнн удовлетворяет уравнению Так как дР/до+ М )~ О, то на основании теоремы 2 функция ю (х, с) при ~ ) ~в ) 0 не меньше функции ю (х, 1), которая при с = сз совпадает с Ю (х, с), а при с ) ) ~а удовлетворяет уравнению дсв дв6 — — — =О. дг дха Эта же последняя функция всюду при г) ~в положительна, так как при с = ~а функция ю (х, 8) не равна 0 тождественно, если с достаточно мало.
Во всем дальнейшем мы будем обозначать через о (х, с) функцию, удовлетворяющую при ~) 0 уравнению (29) и обращающуюся в О при з = 0 и х ( 0 и в 1 при с = 0 и х) О. Т е о р е м а 10. При любом постоянном х ( 0 о(х — 2г, т)- О, с- Доказательство. Функция Г(х,с) =о(х — 2г,с) удовлетворяет уравнению дд двд дх —" — — "= — 2 — "+Р(о), дг дхв дх Функция же о* (х, с) = о (х — 2с, г) е ' удовлетворяет уравнению з доз десх — — — = [Р (о) — о) е-х. дг дхв Согласно наложенным на Р (о) условиям (32) и (33) Р (о) — о ( «( О. Следовательно, о* (х, с) меньше той функции, которая удовлетворяет уравнению (37) при г) О, а при ~ = 0 принимает значение О, когда х(0, и значение е ", когда х) О.
Эта же последняя функция равномерно по х стремится к 0 при ~ — оо. Т е о р е м а 44. Будем рассматривать величину до (х, г)/дх при постоянном с как функцию о. Это возможно на основании теоремы 9. Пусть до (х, г)/дх = ф (о, г). (49) Тогда при возрастании с и неизменном о функция гр не возрастает. в Лагко видеть, что функция ва (х, с) остается огрзиичеииой ири ограниченном с) О. 24$ Зд.
Иееяедееамие ураенения диффузии Д о к а з а т е л ь с т в о. Рассмотрим функции п(х, г) и и (х + с, г )- се) = пь (х, е), где с — некоторая константа и г ) О. Положим ие (х, 2) = п (х, е) — пв (х, е). Пусть й есть множество тех точек плоскости (х, С), где из (х, У) ) ) О. Докажем прежде всего, что это множество ограничено только слева и притом такой линией, которая выходит из начала координат и вдоль которой ко- де орднната е нигде не убывает. Для доказательства этого заметим, что из(х, 7) удовлетворяет яг уравнекию дм дем ак — — — =Й(х, г)из, дз дяз где Й (х, 7) есть некоторая ограниченная функция, именно Й (х, 2) = Р' (й (х, 1)), и й (х, е) есть некоторое число, заключенное между и (х, 8) и пе,' (х, 2). Поэтому множество й не может содержать изолированных кусков ', не примыкающих к оси х.
Значит, оно состоит только из одного куска, примыкающего, очевидно, к правой половине оси х. Чтобы доказать, что множество й ограничено слева линией, вдоль которой г нигде не убывает, допустим противное, именно, что эта линия содержит кусок вида, изображенного на рис. 4. Пусть, например, начиная от точки А эта кривая опускается вниз. Тогда функция из (х, г) принимала бы отрицательные значения правее ливии ОА, в то время как на самой линии ОА она равна О, а на осн х при х ) О она принимает положительные вначения. Но методами, совершенно сходными с теми, какими была доказана теорема 4, можно показать, что это невозможно. Совершенно так же доказывается, что множество й не ограничено справа. После этих замечаний высказанная теорема доказывается уже совсем просто.
Действительно, пользуясь произволом в выборе с, можно достичь того, чтобы при любом наперед заданном спрн некотором х = х, величины и (х„ 2) и пи (х„ г) совпадали. А тогда на основании толькочто приведенных рассуждений будет при всех х ) х,. о (х, е) ~) пь (х, е) и, следовательно, де дое, — (Хеэ е) ез — (хе е)е что н требовалось доказать.
е По поводу доказательства аналогичного утверждения для случая коиечиых кусков см. [7, с. 386 — 887). Можно показать, что то же утверждение имеет место и для бесконечных кусков. Ср. примечание к теореме 1. 242 дд. «Гееаедование уравнения дисдусувии Т е о р е м а 12. При любом 2 дв (а, 8) д ~)и (х), если о (х, 2) = и (х). Здесь и (х) означает решение уравнения (34), о котором говорилось в начале этого параграфа. Д о к а з а т е л ь с т в о совершенно такое же, как у предыдущей теоремы. Надо только вместо функции оь (х, 2) взять функцию и (х + с) и вместо прежней функции ш (х, г) рассматривать разность о(х, 2) — и(х+ с).
Т е о р е м а 13. Пусть о*(х, 1) = о(х+ ео(2),1), где функция ер ($) подобрана таким образом, что постоянно о* (О, г) = с = сопзс. Тогда равномерно по х о*(х, с) -в о*(х) 1 Д о к а з а т е л ь с т в о. Из равенства (49) находим до св( г) с (51) При 1- оо согласно теореме 11 подынтегральная функция монотонно возрастает. Кроме того, согласно теореме 12 интеграл дв сь(э, П не возрастает бесконечно. Поэтому в равенстве (51) можно с переходить к пределу под знаком интеграла. Пусть при 1- о ф (о. 1) — ф (о).
Тогда в пределе равенство (51) обращается в с* с Так как по теореме 12 ау (о) ) О, то это равенство определяет некоторую функцию о* от х. Остается показать равномерность стремления ое (х, 2) к о* (х). Для этого заметим, что из (51) следует равномерная сходимость х (ов, 1) к х (о) на всяком интервале з ( ое ( 1 — е. Если теперь принять во внимание, что вследствие теоремы 11 функция ф (о*, е) остается ограниченной на всяком таком интервале, то отсюда следует равномер- 248 дд. еесслсдоевиие уравнение диЯЯуоии удовлетворяет уравнению дш д'еш — — — = д'(о) ше до дхе (52) где д (х, с) заключено между ос, (х, с) и оь.т (х, с). Согласно теореме 13 при достаточно большом со ) ш (х, 0) ) ( е, где е ) 0 как угодно мало.
Согласно теоремам 2 и 3 ш (х, с) меньше, чем функция в (х, е) = ее"', где к есть верхняя граница значений ) Р' (и) ), потому что эта последняя функция при г = 0 принимает значение, не меньшее чем ш (х, 0), при с ) 0 удовлетворяет уравне- нию — — — =н)ш), дй дои правая часть которого при и = Ю не меньше правой части уравнения (52). Совершенно так же доказывается, что ш (х, с) ) — ееос. Итак, покаэано, что последовательность функций оь (х, г) прн +со равномерно на некоторой области с ( Т сходится к некоторой функции, которую обозначим через д (х, с).
Покажем, что д (х, 1) удовлетворяет уравнению (29). Воспольэовавшись для этого равенством (42), напишем ',(х, с)=оп (х, с)+ и-Не +, — ~дч ~, Р( .Я Ч))де. о (53) ная сходимость оо (х, е) к оо (х) для значений х, где о (х) заключено между числами е и 1 — е (е произвольно мало). Вне же этого интервала значений х о*(х, С) -е о*(х) равномерно потому, что там при достаточно больших 8 функция о* (х, с) вообще принимает значения, мало отличающиеся от 0 и 1. Т е о р е и а 14.
При со -е + оо последовательность функций о, (х, г) = о (х + р (г,), г + го) ходится к некоторому решению 8 (х, е) уравнения (29) равномерно области е ч Т = сове$. Функция су (с ) определена ток, что прн сех го он(0, 0)=с=савва. Доказательство. Функция и (х, е)=ос,(х, е) — оч+т(х, с) 244 88. Исследование уравнения диффузии (х-4> ° —,'„~йц ~ 'у, (р(, ) — р( -))йИ.
о оз По теореме 14 величина Р(, Я 1)) — Р(о; К Г)) при достаточно больших ев и 1~ как угодно мала. В таком случае, применяя цитированный уже выше результат Жеврея, мы найдем, что частная производная по х от (54) при достаточно болыпнх 8; и го делается равномерно по х как угодно малой, если е ( Т. Функция и~ь (х, з) = доь (х, е)/дх удовлетворяет уравнению ему дзи'е — 0 — — з = р'(уе) зов. дг дхз Мы уже доказали равномерную сходимость при г ( с ( Т правой части этого уравнения, когда 1в — оо.
Поэтому тот же ход рассуждений, которым доказывалась равномерная сходимость до,,'/дх, применяется к доказательству равномерной сходимости дшь/дх = = д'он/дхх. А так как функция оь удовлетворяет уравнению (29), то этим доказывается и равномерная сходимость доь/д1. Т е о р е м а 16. Пусть вдоль линии х = зри П) (соответственно х = ер (з)) функция ои (х, з) (соответственно у (х, 1)) остается постоянно равной с.
Тогда равномерно по з при е ( з ( Т (54) р'и (г) р'(1). зз Д о к а э а т е л ь с т в о. Величина ере, (1) (соответственно ер' (1)) в точке (ерь (с), 1) (соответственно (зр (1), 1)) равна (,' )~ доя/аг 1 г дз/св '1 — ) ~соответственно — = дсз /дх ) ~ ду/вх ) ' В этом равенстве можно переходить к пределу, поставив вместо оь величину у. Функция же, удовлетворяющая уравнению (53), удовлетворяет и уравнению (29) как было показано при докаэательстве .теоремы 1. Т е о р е м а 15.
При з — +ос частные производные первого порядка по х и г от оь (х, 1) приближаются к соответствуюецим частным производным Г (х, 1) и притом равномерно во всякой области е (1( Т, где е и Т вЂ” любые положительные постоянные. Д о к а э а т е л ь с т в о.
Равномерная сходимость доь/дх доказывается на основании равенства (53). Действительно, равномерная сходимость при з ) г частной производной по х от первого слагаемого правой части вытекает иэ того, что это слагаемое представляется интегралом Пуассона. Чтобы то же доказать при 1( Т для второго слагаемого, составим разность его значений для двух значений св: 1е и ~о' она равна дд. Исследование уравнвних диффувии 245 В силу теорем 12 и 14 при достаточно большом гв всюду на области ~(е( у( Т) (рь (Π— р (1)) (е где ев произвольно .мало.
По теореме 15 равномерно на области П' числители и знаменатели дробей двс /да дв/да О и дв с /дх де/дх (55) при одинаковых значениях аргументов отличаются друг от друга как угодно мало. Кроме того, в полосе ср (в) — е, ( х ( ср (в) + еа величина дд/дх превосходит некоторую положительную константу. Поэтому дроби (55) при одинаковых значениях аргументов и достаточно большом ув отличаются меньше чем на е, на полосе е(в(Т, ср(у) — еа(х(ср(с)+ е,. Если еще принять во внимание, что дробь — равномерно неду/дг дв/дх прерывна на этой полосе и потому ее значения в точках этой полосы, имеющих одинаковое в, при достаточно малом е, отличаются как угодно мало, то отсюда и вытекает доказываемая теорема. Теорема 17.
При любом с Р (х, /) = и (х + 2/) и два/ду — — 2 (обозначения теоремы 14). Д о к а з а т е л ь с т в о. Рассмотрим функцию зх (х, с) = 8 (х + ев (с), в), где функция ев (в) подобрана так, что ох (О, у) ж е = сопее. Тогда двх дввх двв — = —,+ с, (г) — + Р(их). дУ дхв дх Но, с другой стороны, по определению И (х, в) величина ох (х, у) ни при каком х пе долисна зависеть от с.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
