Колмогоров А.Н. Уравнения турбулентного движения несжимаемой жидкости (1124030), страница 47
Текст из файла (страница 47)
Поэтому дух/дв = 0 и е,' (с) = солей. Согласно $2 эта постоянная не может быть больше — 2, а соглас- но теореме 10 эта постоянная не может быть меньшей — 2. Значит, она равна — 2, и согласно теореме 16 дср/д/ — — 2, с ю что и требовалось доказать. 3 а м е ч а н и е. Допустим, что начальные значения о (х, 1) не такие, как предполагалось до сих пор, а именно: 246 дд. Упрощенное докаеатеаъетео эргодичеекой теореми 1) в(х,О) =4 при х>сц 2) р (х, 0) = 0 при х ( св ( с„; 3) в (х, 0) принимает при св ( х ( сг какие угодно значения, заключенные между 0 и 1.
Тогда легко видеть, что скорость передвижения влево того участка, где происходит главная часть падения в от 1 до О, все-таки при со стремится к 2, так как в атом случае в(х — сщ 1) (В (х, 1) (в(х — ею 1), где В (х, 1) означает решение уравнения (29), удовлетворяющее новым начальным условиям. ЛИТЕРАТУРА 1. Ргэйег В. А.
ТЬе ЯевеМса1 1Ьеогу о1 вавпга1 ве1есноп. Ох1огй: Нп1ч. Ргевв, 1930. 2. Ханаан А. Я. Асимптотические законы теории вероятностей. М.; Лл ОНТИ, 1936. 3. Вепй1хоп 1. Япг 1ев сопгЬев йййпив раг 1ев ейпановвй1Негепме11ев.— Асса ша1Ь., 1901, чо1. 24, р. 1 — 88. 4. Степаное В. В. Курс дифференциальных уравнений.
Мл Фивматгнв, 1958. 468 с. 5. Реггошэау 1. ОЬег йав ЧегЬа11еп йег 1п1ейта1Ьвгчеп в1пев Яувтешв йеэчбЬвН- сЬев 01Йегеп11а1не1сЬппйев 1в йег ЖаЬе е1пев в1пйп1вгеп РвпЫев.— Мат. сб., 1934, т. 41, с. 107 — 156. 6. Сеогеу М. Яш. 1ев 49паМовв апх йег1чйев рагс1е11ев йп Фуре рагаЬоНопе.— 1. шасЬ. рпгев ев арр1. Яег. 6, 1913, чо1. 9, р. 305 — 471.
7. Рмтотнеу 1. Еог еготов Вапйп егтав13аЬе йег %агше1е11пв3в31е1сЬпвй.— Сошр. шасЫ., 1935, чо1. 1, Н 3, р. 383 — 419. 39 УПРОЩЕННОЕ ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ЗРГОДИЧЕСКОЙ ТЕОРЕМЫ БИРКГОФА — ХИНЧИНА * 11 ВВЕДЕНИЕ Интересующая нас теорема была сформулирована Биркгофом как теорема механики, или, если угодно, теорема, относящаяся к зволюции произвольной системы, состояние которой вполне определяется конечным числом параметров, а ход изменения — дифференциальными уравнениями, допускающими интегральный инвариант. Пусть состояние иаучаемой системы может быть изображено точкой Р некоторого замкнутого и-мерного дифференциально-геометрического многообразия М".
Пусть, далее, координаты хн х„... " УМН, 1938, вып. 5, с. 52 — 56. ЕЗ. Укрощенное доказательство эрзодичесноа теорема ., х„точки Р подчинены дифференциальным уравнениям дх;1д1 = Хг (хм хю..., х„), (1) причем в правые части не входит явно й Уравнения (1) в предполо,кении (которое мы делаем) однозначности их решения определяют для каждого 1 преобразование любого подмножества Е многообразия М : Т,Е=Е', где Е' есть множество всех точек Р', в которые передвинутся точки Р множества Е аа промежуток времени 1. Интегральным инвариантом называется такая функция множества Х (Е), для которой всегда 1 (Т,Е) = 1 (Е).
(2) Мы предполагаем, что существует определенный для всех измеримых подмножеств Е многообразия М" интегральный инвариант 1 (Е), подчиненный условию 1 (М") = 1. Теорема, доказанная самим Биркгофом в несколько более узких предположениях, гласит: какова бы ни была суммируемая относительно ' Х (Е) действительн я функция 1(Р), определенная на М", предел )ип — ~ 1(Т, Р) йг = ф (Р) с+„С о существует, за исключением самое большее множества ХХ точек Р, для которого 1 (П) = О.
Эта теорема может рассматриваться как частный случай следующей, более общей теоремы. Пусть дан стационарный стохастический процесс в смысле Хинчина и, т. е. совокупность случайных величин х„зависящая от параметра 1, — оо (1(+ оо, подчиненная тому условию, что законы распределения систем (хсл хг з ...~ х~„) и (хаыо хизо ..., х~ +т) при любых заданных и, (ы (з,..., („и т совпадают.
Допустим, что величины ) х, ) имеют конечное математическое ожидание Е ) х, ) (которое в силу стационарности одинаково для всех 1) и с вероятностью з Это означает, что интеграл 1 !1( )) ( ) мн существует и конечен. з Хинчин А. я. Теории корреляции стационарных стохастических процессов. — УМН, 1938, выи. 5, с. 42 — 51. 248 ар, укрощенное Еокоеателъетео эреооннеекой теоремы единица непрерывныз по 1.
Тогда с вероятностью единица существует предел с 1пп — ~ х, ае. 1 Г (4) „с5 о Это и есть общая теорема Биркгофа — Хинчина. Приведенная выше теорема Биркгофа действительно является ее частным случаем, так как если принять вероятность нахождения точки Р в множестве Е равной Т (Е), то случайные величины х, = ~ (Т, Р) удовлетворяют всем условиям общей теоремы. 1 р 1пп — 5 х, г(се л о (5) где и пробегает лишь целые положительные значения. Вводя обоа- начение 1~1 хь = 5 хо с(с е и замечая, что ь-~-1 Е (хо ~ (Е ~ (х,(дс=Е(хо(, \ мы убеждаемся таким образом, что доказательство общей теоремы Биркгофа — Хинчина сводится к доказательству следующей теоремы, относящейся к дискретным последовательностям случайных величин.
Основная теорема. Пусть х; ( — оо(1(+со) — стацио- нарная е последовательность случайных величин, для которой матема- тическое ожидание Е ( х; ! конечно. Тогда с вероятностью единица существует предел хо+ хе+ ° .+хо ь 1пп е Это допущение может быль ослаблено. е Определение стационарности остается дословно прежним, лишь г заменяется через ц принимающее только целые значения. 1 2 РЕДУКЦИЯ К ДИСКРЕТНОМУ СЛУЧАЮ В атом параграфе будет покааано, что существование с вероятностью единица предела (4) вытекает иа существования с той же вероятностью предела 2249 89.
Упрощенное доказательство вргодическоа теоремы Итак, допустим, что предел (5) существует с вероятностью единица. Положим иал-з Уи= ~ )хв (й. О~э~яд~о, з Е (Уо) = ~ Е ~ х, ) о[[ = Е ~х, ( + о Поэтому ряд вероятностей) т » ~'Р~ — „' у.>а~=~;Р~ — „' уо> ~=~;Р(у.>яз) й1 и 1 и 1 т ь р „Р((и+ 1)з~уо>поз)= и=в из=и » 1 шР((т+ 1)з>уо>~ те) ( — Е(уо) сходится при любом е> О. Отсюда вытекает, что с вероятностью единица из-1 Пш — У„=1па — ~ ) х,)[И= О. 1 . 1 (6) и т и» Из существования предела (5) вытекает существование предела [с! 1 П вЂ”,~,а, где (С] обозначает целую часть С, а С пробегает непрерывный ряд значений. В случае же наличия равенства (6) имеем с [с1 с 1 1пп зпр ~ — 1 х, вЫ вЂ” — ~ х, Ю ~ = с-+ С С о о с и+1 = 1пп зпр~ — х,в[1~ ~(1пвзпр — ~ ~ х,)[[1=0.
С .~-т [ 1 и Ф и Поэтому при одновременном существовании предела (5) и справедливости (6), т. е. с вероятностью единица, существует и предел (4). 2ЬО 89. УнроиЬенное докагатевъство гргодическоа теоремы 13 ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ОСНОВНОИ ТЕОРЕМЫ Положим аг+ кача+ ' ..
+ аь-г Ь вЂ” а Требуется доказать, что йоь при Ь - + оо стремится с вероятностью единица к определенному пределу. Л е м м а. Если вероятность существования предела йоь при Ь вЂ” + оо меньше единицы, то существуют два числа сс и (3, а ( р, для которых вероятность одновременного выполнения соотношений 1(ш зпр йоь ) р 1(ш 1п1 йоь ( и (7) Ь +ос ь-+ положительна.
Доказательство; Пусть (а„, ()„), и = 1, 2, ..., есть последовательность всех интервалов сс„( р„с рациональными концами. Коли 11ш й,ь не существует, то среди интервалов (а„, р„) найдется первый по порядку, для которого 1пп зир йоь ) Ц„г 1(ш 1п1 йоь ( и„. Таким образом, случай К несуществования 1пп йы, разбивается на счетное число случаев К„. Но если вероятность Р (К) положительна, то найдется такое и, что и Р (Х„) ) О. Тем самым лемма доказана. Д о к а з а т е л ь с т в о о с н о в н о й т е о р е м ы.
Обозначим случай справедливости неравенств (7) через К. Будем теперь пред- полагать, что все хс приняли какие-то определенные значения, и займемся более детальным изучением поведения средних й,ь. Будем называть сегмент (а, Ь) особым (относительно ()), если й,ь) (), но й,ь ( р при всех Ь', а ( Ь' ( Ь. Легко показать, что два особых сегмента (а, Ь) и (а„Ь,) не могут перекрываться, т. е. не может быть положения, при котором а (а, ( Ь ( Ъ|. В самом деле, в случае такого перекрытия из (аг а) Ьаа + (Ь аг) йа ь йаь и й, ) р вытекает или й , ) р, что невозможно, так как сегмент (а, Ь) особый, или й„ь ) (г, что невозможно, так как сегмент (а„Ь,) особый.
Будем нааывать разность Ь вЂ” а рангом сегмента (а, Ь). Назовем, далее, сегмент (а, Ь) в-особым, если он является особым, имеет ранг, не превышающий в, и не заключен ни в каком большем особом сегменте ранга, не превышающего ю Очевидно, что каждый особый сегмент (а, Ь) ранга, не превышающего в, заключен в одном и только в одном в-особом сегменте. В самом деле, среди особых сегментов, заключающих в себе (а, Ь), ранг которых не превышает в, должен найтись хотя ВВ.
Упрощенное Вепаеательетео вргозичееноа теорема 251 бы один наибольшей длины; если бы таких нашлось два, то они должны были бы перекрываться, что по доказанному невозможно. Что ;ке касается двух ~особых сегментов, то такие два сегмента могут только лежать один вне другого. Обозначим через К, случай справедливости неравенств (7), соединенной с существованием такого 1 ( з, что Ьм ) р. Очевидно, что 11ш К, = К; поэтому 11ш Р (К,) = Р (К). (8) Пашей задачей является, допустив, что Р (К) ) О, прийти к противоречию При Р (К) ) О, очевидно, начиная с некоторого з все Р (К,) также положительны.
Мы рассматриваем далее только такие з. В случае К, существует з-особый сегмент (а, Ь) с а (О( Ь. В самом деле, среди тех 1 ( В, для которых в случае К, справедливо неравенство Ь„) р, существует наименьшее Р. Сегмент (О, Р) особый. Следовательно, он заключен в з-особом сегменте (а, Ь).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
