Колмогоров А.Н. Уравнения турбулентного движения несжимаемой жидкости (1124030), страница 49
Текст из файла (страница 49)
Очевидно, М» (Х) = М, (Ч) - Мз, Мп (Х) = М„(р) = М.'. Подбирая константу й, можно произвольно увеличить М, (7() по сравнению с Ме (р), в частности, можно достигнуть того, чтобы было Мо (Х) = Мо Мы видим, таким обрааом, что тройка (М„М», М„) действительно «возможна». В силу доказанной сейчас леммы ясно, что достаточность условия ($) будет установлена, если будет при любых данных й и и (О ( ~ й ( и) найдена хотя бы одна функция 7' (х), для которой уп» У) = С„,. Этому условию как раз и удовлетворяет функция 7„(х), определяемая формулой (5).
Всамом деле, легко вычислить, что при й = 1, 258 40. О неравенееавах дла производных 2,..., и справедливы равенства 1'пм (х) = 1„» (х), М» (1„) = зкр ! 1„» (х) ! = Кн». (8) (9) Из (8), (9) и (2) и вытекает, что у„» (д„) = С„». 1 3 СЛУЧАЙ.» = 1 В этом параграфе мы докажем теорему П и необходимость условия (1) теоремы 1 в случае Ь = 1. Чтобы оба эти предложения были доказаны, достаточно установить следующее. А) Теорема 11 верна при п = 1. В) Если теорема 11 верна при п = т, то условие (1) теоремы 1 необходимо при п = т + 1. С) Если теорема 11 верна при п = т и условие (1) теоремы 1 необходимо при п = т + 1, то теорема 11 верна при и = т + 1.
Чтобы убедиться в правильности утверждения А, достаточно заметить, что при любом х )~,(х) ) =1 и, следовательно, в случае п = 1 для функции сравнения дрд (х) = а)д (Ьх) + с теоремы 11 абсолютная величина производной постоянна: ) ~рд (х) ! = Мд (<рд) = М, (~р). Таким образом, при и = 1 все содержание теоремы 11 сводится к тривиальному неравенству ! 1 (хо)1 ~( Мд (в'). Займемся теперь доказательством утверждения В. Будем называть верхней функцией сравнения порядка п для функции 1 (х) в точке хо функцию вида др„(х) = арн (Ьх + с), для которой Мо (фн) ) Мо У) Мп (фп) ™н У) 'рн (хо) = 1 (хо).
Легко убедиться, что для верхней функции сравнения ~ ~„' (х,) ) всегда больше, чем ) др„' (х,) ) для соответствующей функции сравнения в собственном смысле слова. Ясно также, что верхнюю функцию сравнения др„(х) можно всегда подобрать так, чтобы в любом заданном конечном интервале, окружающем точку хо, сама функция др„(х) отличалась сколь угодно мало от ~р„(х), а ее производная 259 40. 0 неравенствах дла пропвводныа отличалась сколь угодно мало от производной ц„' (х).
Поэтому при каждом п утверждение теоремы П равносильно следующему: Т е о р е м а П *. Если еоп (х) есть верхняя функция сравнения иорядка и для функции / (х) в точке хо, шо ~1 ( .) ~ < ) ч. (х.) ) (10) Предположим теперь, что теоремы П и П а установлены при п = = т и рассмотрим функцию 1 (х) с конечными М; Ц) вплоть до 1 = =т+1. Сколь бы ни было мало з ) О, можно выбрать такую точку хо, в которой ( 1' (х,) ! ) )11, У) — з.
Без огРаничениЯ общности можно считать, что 1' (хо) ) О. В пРотивном случае следовало бы перейти от рассмотрения 1 (х) к рассмотрению — ~ (х). Построим для функции 1' (х) в точке х, две функции сравнения ер,т (х) и у,а (х), подчиненные условиям ф' 1 (хо) ~ О, ~р'н,а (х ) ~( О. Обозначим через х, ближайший слева от х, нуль функции ц,, (х) н через х, ближайший справа от хо нуль функции ер, а (х) (см. рис. 2) ° Рве. 2 е Гг/ Мы сейчас докажем, что на сегменте (х„хо) справедливо неравенство (11 а) 1' (х) е ер,„, г (х), а на сегменте [х„ х,) — неравенство (х) ~ ~врое, е (х).
(11Ь) Установим первое из этих неравенств. Для этого рассмотрим вместо самой функции ер,, (х) какую-либо верхнюю функцию сравнения ,е (х) порядка и для 1 (х) в той же точке хо. Ближайший слева от х, нуль функции ц ,, обозначим х, и докажем, что в интервале (х„ хо) выполняется неравенство 1' (х) ) ц ,, (х). (12а) 40. О неравенствах дяя проиввоаных 260 В самом деле, если бы это неравенство нарушалось где-лнбо в интер- вале (х„хо), то существовала бы первая влево от хо точка $ интер- вала (х„хо), в которой нарушается неравенство.
В этой точке $, очевидно, выполняются соотношения (1З) (14) 1' К) = фт, (з), 1 Д) =.ф,,(Р>О. (17) Равенство (13) покааывает, что фт,, ($) можно рассматривать как верхнюю функцию сравнения порядка т для ~' (х) в точке $. Следо- вательно, по теореме 11 (которая в случае я = вв считается уже ус- тановленной) ( 1' (~) ~ ~ ~ ф.,, (~) ~. (15) Противоречие между (14) н (15) доказывает, что неравенство (12а) не может нарушаться в интервале (х„хо). Если выбрать ф,, (х) достаточно мало отличающимся от ф,, (х), то и точка х, будет сколь угодно близка к х,.
Поэтому иа (12а) пере- ходом к пределу получается неравенство (11а) на сегменте [х, хо). Аналогично доказывается неравенство (11Ь). Из неравенств (11а) н (115) вытекает, что ~(хо) ~(хв) ~ ~ фт г(х) Ых+ ~ фт я(х) дх. (16) Если выбрать е достаточно малым, то ф,я (х) будет отличаться на )хо; хя] сколь угодно мало от ф „(х), а точка хв будет сколь угодно близка к ближайшему вправо от хо нулю хя функции фт,, (х) (см. рис. 2).
Следовательно, правая часть неравенства (16) может быть сделана отличающейся сколь угодно мало от ~ фт г(х) дх. хв Заметим теперь, что фт,в (х) = а~т (Ьх + с) является производной от функции фтвг (х) (а!Ь) вгпеэв (Ьх + с) Легко видеть, что интеграл (17), распространенный на промежу- ток между двумя соседними нулями функции ф,, (х), в котором она положительна, равняется в точности 2Мо (фтеа) Так как, с другой стороны, / (х,) — ~ (хв) > 2Мо й 261 40. О нераеенетвае деа ирвивввдннх то в силу (16) и произвольной близости правой части (16) к интегралу (17) получается Ме У) ~~ Ме (й'а+1).
Из этого последнего неравенства в соединении с равенствами ев 1 +1 т-И М1 (у~+1) = С „,,М'," (ер ет) М~+1 (1р,а, ), М1 (~р +1) = Ме (у н 1) = Ме (Г) = М1 (1)е М~+1(ерин.1) =Мт(Ч~т,1) =Мы У') =Мен1У) получаем окончательно ен 1 М1 Я < С, Меа 1 Я М;~',++1 1Я, чем и заканчивается доказательство утверждения В. Докажем теперь утверждение С. Допустим, что необходимость условия (1) для я = т + 1 и й = 1 уже установлена и что теоремы П и П * уже доказаны для п = т.
Предположим, что вопреки утверждению С теорема П а неверна при и = т + 1. Пусть, следовательно, для какой-либо функции 7 (х) и какой-либо ее верхней функции сравнениц' р „(х) порядка ея + 1 в точке х, имеет место неравенство (ХЕ),(~ )[ Гав+1 (Ха) ( ° Так как Ме (р„,+1) ) М, (г), то точка х, не может ~ыть максимумом ф +, и в ней, следовательно, ~0,1 (х ) ~ О и 7" (х ) ~ О. 11е уменьшая общности, можно допустить, что 1 (ха) > О и /' (ха) ) О.
Остальные случаи можно привести к этому, ааменяя в случае надобности Рис. 3 1 (х) на — ) (х) и х на — х. Можно также выбрать функцию сравнения так, чтобы было р' „(х,) ) О (см. рис. 3). Пусть теперь х, есть ближайший вправо от хе максимум ерв„1 (х). Имеем 1 (ХЕ) = рвве1 (ХВ)~ У(х,) С Ма (1) < М, Я„„) = р.„, (х). 262 40. О нераеенетеах дза производных Следовательно, на сегменте (хо, х,) разность ~ (х) — зр ,г (х) достигает максимума в какой-то точке $, отличной от х,.
В точке $ имеем )' я) = зрт+з (зе) ее'(вз) ~<%вм 6). (18) Дифференцируя функцию ор „(х) = а~ „, (Ьх + с), (19) (20) Неравенство (1), которое для случая и = т + 1 и й = 1 считается уже установленным, дает нам вместе с (19) т Мо Ц') = Мз(1) ~(~вталМоем (() М„„"„(1) ( т 1 ( С з зМоо ' ~ ( рт, за М~~~~г(=;ое„з) = Мг(зри~а) = Ма(<ров). (21) Из (20), (21) и равенства 'р (3) = р ° ($) = Г (з) заключаем, что ер (х) есть верхняя функция сравнения порядка т для г' (х) в точке а. По теореме 11 а, которая для н = т считается уже доказанной, отсюда следует, что ~)" ($))((%в(Ц) =('рт.зЯ)~1 нли, так как ерим (вв) ь.: О р (С) ) ертм ($) (22) Противоречие между неравенствами (18) и (22) и доказывает утверж- дение С. 14 НЕОБХОДИМОСТЬ УСЛОВИЯ (1) НРИ ЛЮБОМ в Допустим, что необходимость условия (1) уже доказана для всех и и для й < т (т ) )1).
Докажем, что в атом случае оно выполняется н для й = и + 1. Для етого рассмотрим функцию ~ (х) с конеч- получим функцию ер (х) = ертм — — аЬгт (Ьх + с). Заметим теперь, что в силу определения верхней функции сравнения Ч) г (х) Мо Я ( Мо (оРт+з) Мт(е ) ™тег(е) ™тег(%вез) ™т(тт) ад.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
