Колмогоров А.Н. Уравнения турбулентного движения несжимаемой жидкости (1124030), страница 53
Текст из файла (страница 53)
Точки вокальной тапааагачнагти альайражаниа аамааатаа 44 ТОЧКИ ЛОКАЛЬНОЙ ТОПОЛОГИЧ НОСТИ СЧЕТНОКРАТНЫХ ОТКРЫТЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ КОМПАКТОВ е Рассмотрим непрерывное однозначное отображение У =7(х) У = 7 (П) точки уа с более чем счетным полным прообразом Т ' (у*). Чтобы найти такую точку уа,мы построим точки х(,'(,'„,( ~(7, у(") Е=$" (п=1, 2, ...; )а=О, 1) и открытые множества Т>"),"ч..л„С:П $™С:У (п=1, 2, ...; >а= О, 1), обладающие следующими свойствами: 1) /(х;,„.,л )=у(">, 2) хч;„..л„е= У(,;,,л, (а) (а) З) ров~у(а), (па1) 1(а) 4) (уьч .(„(„„С.
б"9), .(„~ а ДАН СССР, 1944, т. 30, с. 477--479. компакта Х на компакт У. Отображение 7' называется открытым, если образ любого открытого множества пространства Х является открытым множеством в пространстве У. Отображение 7' называется счетнократным, если полный прообраз ) ' (у) любой точки у пространства У не более чем счетен. Точка х пространства Х называется точкой локальной топологичности отображения 7, если существует такая окрестность б> точки х, которая отображается отображением 7 на свой образ 7'((7) топологически. В дополнение к результатам П.
С. Александрова И) я доказываю далее следующую теорему. Т е о р е м а. Если отображение 7' открыто и счетнократно, то множество Т> точек его локальной топологичности всюду плотно в Х. Для доказательства теоремы, очевидно, достаточно установить, что из существования непустого открытого множества П ~ Х, не содержащего точек локальной топологичности открытого отображения 7, вытекает существование в бб. Точки локальной токоаогичнооти отображений компактов 279 (н в1) (п в1) 7) П) н.л„о й)),й л, = О, 8) диаметР множеств )г("> и 01~,(, л меньше 1/и.
Из 3), 5), 8) вытекает, что точки у("> сходятся при и -и оо к некоторой предельной точке у*. Из 2), 4) и 8) вытекает, что для любой последовательности 11~ )вг ° г )пг ° ° составленной из нулей и единиц, точки и(),";~,. сходятся при п-э оо к некоторой предельной точке нн...г Из 7) вытекает, что точки х(,„., л,, соответствующие различным последовательностям П, 12,..., 1„,..., различны. Из непрерывности отображения > вытекает, что для любых 11, 12,..., 1„,..., > (и),(, л„...)=у т. е. что полный прообраз > ' (уи) точки уи имеет мощность континуума. Переходим к построению точек хйн>.л и у('> и открытых множеств й'(,"н> л и К(о). а) При и = 4 в качестве точки у(1> выбираем любую точку из )г, имеющую в У не менее двух различных прообразов х,",) и х(1').
В силу отсутствия в й' точек локальной топологичности такая точка у(1> существует. За й", и У) принимаются какие-либо окрестности тойеи чек х(п и х(1'), удовлетворяющие условиям й>ОС Ц, П(ОСИ, и й'(') П(н=о. Наконец, в качестве й(1> выбирается такая окрестность точки у('>, которая содержится вместе с своим замыканием в )г, ~ (уо(')) и в Т' (й))о>). Такая окрестность точки у('> существует в силу открытости отображения >'. Ь) Допустим, что точки х(,н>,л и у("> и открытые множества й>(б> л и у(к> уже построены для и = Лг, и построим их для и = = У + 1.
Положим и = 11 + 212 + 2212+ ° ° +2)ч Чл 280 ай. Точки локальной топологичноети отображений компактов и будем обозначать систему индексов Ыо... >„через 8 (ч). Системы индексов Ыэ .. Л„О и ((>э... )„1 обозначим соответственно через Ю (т) О и Я(ч) 1. В новых обозначениях множества У(;,">(, ( „, которые нам предстоит построить, обозначаются символами Уэ(,)о (№1) (Лг<) и Пэ< н, где ч = О, 1, 2, ..., 2)т — 1. При построении этих множеств мы введем еще точки Ч„$; и $' и открытые множества Иг, обладающие следующими свойствами: 1) Ум Е= Пэ(ч)о г Йю Е Пэ(ч)( ° (уы) " ()ч+1) 2) дч Е И'чг 2) ~Д,)=~Д,)=дч. 4) И',С:У(Уэ<(,~о'), $Г,С ~(Уэ(,>,')), б) И чг(( И'ч б) И',с И Построение точек т)„$; и 3," и открытых множеств Пи<,и, Уэ(„) (Мг)) (Ж+(а и Иг производится индуктивно переходом от ч к ч + 1: Ь() При ч = О выбираем в У<>ч> точку )>„имеющую в (гэ(о> не менее (Х) двух различных прообразов $о и $о.
В качестве Уэз(о>о и Пэ(о>( берем ()ты) ()твн окрестности точек $о и $~, удовлетворяющие требованиям У' "' <)'(№') — О. э<о>о ' э(о)ь И+1 — (М) (К-.1) (К) ()э(о)о <:. Па<о> ()э(о>( ~ Пэ(о> В силу открытости Т' у точки )) о найдется окрестность И'„содержащаяся в Р~>, У (6'э<о>о ) и У (Е4(о>~"). ЬО) Донуотны, Что Г>ч, Яч, фч, ()Э(ч>о, ()Э(чн Н Ич ужэ ПОСтроЕНЫ (кьп (а(г(> при ч = р, и построим их для ч = р + 1. В качестве )>з„выберем точку иа И'э, которая имеет в Пэ(э,п не менее двух различных прооб(л> разов Ц„д и $э,м В качестве 6'э(э„>о и (>э(эьп( выберем какие-либо (и+1) ()т+>) окрестности точек $эг> и $э,>, удовлетворяющие требованиям (мы) От) (№>) (Ф) (лги <%+1) Оэ(эвнг~~э(эг>)г ~Ъ(эь>)о <-..
Пэ(зы> н ~э(о.а)о'~э(э+(>(= О Игз, ~ (ГГ(а;>>)о) и 1 (Пэв(а"Он). Дойдя в описанном построении до ч = ч, = 2)т — 1, положим у(№1) В силу открытости Т" у точки ))~+, найдется окрестность И'Вен содержащаяся в бб. Локалькак структура турбулекткости ц силу свойств 4), 5) и 6) множеств )4г„множество )4ст, содержится во всех 1 ((7з(т)о) и 7 ((7з<т))). Поэтому у точки у<к+() найдется по прообразу (не() (№1) хассе )т хжчп лежащему в каждом из множеств (7з<,)о и ()з<т),.
В силу открытоит+<) от+1) стн 7' У У<№ч) б= )4(т, С У<я) найДетсЯ окРестность У<ны), соДеРжащаяСя ВМЕСТЕ СО СВОИМ ЗаМЫКаНИЕМ В Е'кт), ВО ВСЕХ 7 (Х7<З(т)О)) И ~ (ц(Ме))) Легко проверить, что построенные точки х~„"„) .,; и открытые множества (7(,„... ( и у(о) удовлетворяют условиям 1) — 8). (о) 20 декабря 1940 г. ЛИТЕРАТУРА 1. Александров П. С. О счотнократных открытых отображениях.— ДАН СССР, 1936, т. 4, № 7, с. 283 — 287.
45 ЛОКАЛЬНАЯ СТРУКТУРА ТУРБУЛЕНТНОСТИ В НЕСЖИМАЕМОЙ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ ПРИ ОЧЕНЬ БОЛЬШИХ ЧИСЛАХ РЕЙНОЛЬДСА" ф 1. Будем обозначать через и„(Р) = и„(х(, х„х„1), а = 1, 2, 3, компоненты скорости в момент времени 1 в точке с прямоугольными декартовыми координатами х(, х„х,. При изучениитурбулентности естественно считать компоненты скорости и„(Р) в каждой точке Р = (х(, хт ха, 1) изучаемой области (е четырехмерного пространства (х(, хх, х, 1) случайными величинами в смысле, принятом в теории вероятностей (см.
по поводу такого подхода Миллионщиков И)). Обозначая через А математическое ожидание случайной величины А, предположим, что йа н (диа/дхб)а конечны и ограничены в каждой ограниченной подобласти области (". * ДАН СССР, 1941, т. 30, № 4, с. 299 — 303. 282 Фо. Локальное структура а)урбулентноак)н Введем в четырехмерном пространстве (хы хм х„1) новые координаты уа кк ха — х(„' — иа (Р<')) (1 — 1<о>), е = 1 — 1<о>, (1) где Р<„( <о> — некоторая фиксированная точка из области С. Заметим,что координаты уа какой-либо точки Р зависят от случайных величин иа (Рав) и поэтому сами являются случайными величинами. Компоненты скорости в новых координатах равны щ„(Р) = иа (Р) — иа (Р(о)). (2) Пусть при каких-либо фиксированных значениях величин и„(Р<')) точки Р<">, й = 1, 2,..., и, имеющие в системе координат (1) координаты у( > и з<о), лежат в области С. Тогда можно определить Зп-мерный условный закон распределения вероятностей Ра для величин и)а() = иа (Р(">), с< = 1, 2, 3; Й = 1, 2, ° °, и, при заданных „,(о) и (Р<о>) Вообще говоря, закон распределения Р„зависит от параметров ,<о) ><о>, (о) (а> <о> Ха 1 ~ иа 1 уа О п р е д е л е н и е 1.
Турбулентность называется локально однородной в области С, если при любых фиксированных и, у( > и е "> закон распределения Р„не зависит от х„, о(о) и и„), пока все точки Р<"> помещаются в С. <„) и р е д е л е н и е 2. Турбулентность называется локально иеотропной в области С, если она локально однородна и если, кроме того, указанные в определении 1 законы распределения инвариантны по отношению к вращениям н зеркальным отражениям исходной системы координатных осей (х>, хм хо). По сравнению с введенным Тейлором (2) понятием изотроппой турбулентности наше определение локально изотропной турбулентности уже в том отношении, что в нашем определении требуется независимость законов распределения Р„от Ю, т.
е. стационарность во времени, и шире в том отношении, что ограничения накладываются лишь на законы распределения разностей скоростей, а не самих скоростей. $ 2. Гипотеза изотропности в смысле Тейлора хорошо подтверждается экспериментально в случае турбулентности, вызванной прохождением потока через решетку (см. [3)). В большинстве других 283 бб.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
