Колмогоров А.Н. Уравнения турбулентного движения несжимаемой жидкости (1124030), страница 54
Текст из файла (страница 54)
Локальная структура турбулентности практически интересных случаев она может рассматриваться лишь как весьма грубое приближение к действительности даже для малых областей ( и при очень больших числах Рейнольдса. К отличие от этого автору представляется весьма правдоподобным, что в произвольном турбулентном потоке с достаточно большим числом Рейнольдса ' Ке = И))т в достаточно малых областях ( четырехмерного пространства (х(, хз х„у), не лежащих вблизи границ потока или других его особенностей, осуществляется с хорошим приближением гипотеза локальной изотропности. При этом под «малой областью» подразумевается область, линейные размеры которой малы по сравнению с Л, а временные — по сравнению с Т = ()/Ь.
Естественно, что в столь общей и несколько неопределенной формулировке выдвинутое сейчас предположение не может быть строго доказано '. Чтобы сделать возможной его экспериментальную про- «Здесь Е, и (( обознача(от типичные масштабы длин и скоростей для потока в целом. з Приведем здесь лишь некоторые общие соображения в пользу высказанной гипотезы. При очень больших Ве турбулентный поток можно представлять себе следующим образом: на осведиенный поток (характеризующийся математическими ожиданиями и„) накладываются «пульсации первого порядка», состоящие в беспорядочном перемещении отдельных объемов кидкости с диаметрами порядка ((з) = ( (где ( — прандтлевский путь перемешивания) друг относительно дру::га; порядок скоростей этих относительных перемещений обозначим через о(С.
Пульсации первого порядка оказываются при очень большом Ке в свою очередь неустойчивыми и на них накладываются пульсации «второго порядкаь с путем перемешивания ((з) ( ((') и относительными скоростями о(з) < о(г); такой процесс последовательного измельчения турбулентных пульсации происходит до тех кор, пока для пульсаций какого-либо достаточно больпюго порядка и число Рейнольдса П (а) ((а) (а)( не окажется достаточно малым, чтобы влияние вязкости на пульсации к-го порядка было уже ощутительно и предупреждало образование накладываю«цихся на них пульсаций (а + 1)-го порядка. С энергетической точки зрения процесс турбулентного перемешивания естественно представлять себе так: пульсации первого порядка поглощают энергию осредкенного движения и передают ее последовательно пульсациям более высоких порядков; энергия же самых мелких пульсаций рассеивается в тепловую благодаря вязкости.
В силу хаотического механизма передачи движения от пульсаций низших порядков к пульсациям более высоких порядков естественно допустить, что в пределах малых по сравнению с (Е) областей пространства мелкие пульсации высших норядков подчинены приближенно пространственно изотропному статистическому режиму. В пределах малых промежутков времени этот режим йб. Локаяъная структура турбулентности верку для отдельных частных случаев, мы указываем далее ряд след- ствий из гипотезы локальной изотропности. й 3. Будем обозначать через у вектор с компонентами уы ую уз и рассмотрим случайные величины п'а (У) = ша (Уы Ую Уз) = ии (хз + УЫ хз + Уз, хз + Уз г) — иа (хы з~, хз, ().
(3) В силу предположения локальной изотропности их законы распределения не зависят от хы хз, х, и 2. Для первых моментов величин иои (у) из локальной изотропности вытекает, что ш„(у) = О. (4) Переходим поэтому к изучению вторых моментов з В а(уп>, уи>) = ш„(ус0) иоз (уи>). (5) Из локальной изотропности вытекает, что В„з (уп>, уи>) = '/ (Виз (ф > у( >) + Ваз (уи> уи>) — В.з(уи> — у >, уи> — уп>)).
Эта формула позволяет ограничиться вторыми моментами вида В з (у, у). Для них( В,з (у, у) = В (г) соз О„соз Оз + бааВ„„(г), (7) (6) При г = О имеем В,„(О) = Ввт(О) = — 'В„(О) = — 'В„„(О) = О, — зВ,„(О)=2( — д) =2пз. — дВ„„(О)=2( — д) =2а,',. ((О) (Щ естественно считать приближенно стационарным даже в том случае, если поток в целом пестацвонарен. Так как прв очень больших Ке разности) та (Р) = иа (Р) — иа (Р ) компонент скоростей в блвзкпх точках Р в Р~о> четырехмерного пространства (з, яо, яз, з) определяются почта исключительно пульсациями высших порядков, то наложенная сейчас схема и приводит пас к пшотезе локальной пзотроппсстя в малых областях в смысле определевяй 4 1 в 2. з Все результаты $ 3 вполне аналогичны полученным в ((, 2, 4) дая случая кзотроппой турбулентпоств в смысле Тейлора.
где г'=Уз+Узз+Узз, Уи — — гсозйа,баб=О пРи а„-ьР,б„а=2 при а=(); В (г) = Взз (г) — В н (г) (8) в,„о> =Г,>., о опт'. в е>=к,о.,о, оз . (9) Еу. Локальное структура турбулентносты Формулы (6) — (11) были получены без использоваиия предположеяия о иесжимаемости жидкости. Из этого предположения вытекает уравнение г дВее/дг = — 26, (12р поаволяющее выразить В„„через Ве„.
Из (12) и (11) вытекает, что а„' = 2а'.! (13) Легко далее вычислить,что (в предположении яесжимаемости) средиее рассеяние энергии в единицу времени иа единицу массы равно й=ч'(2(э ) +2(е ) +2( — ') +(д + ) + (14) 4 4. Рассмотрим преобрааовавие координат ды = уа/ц, е = е/о. (15) Скорости, кииематическая вяакость и среднее рассеяние энергии в новой системе координат выражаются следующими формулами: иеы = юао/я, ч' = чо/ца, е' = йоа/е)к.
(16) Примем теперь следующую гипотезу: Первая гипотеза, подобия. Распределения Рк для локально иеотпропной турбулентности однозначно определяются ееличиналеи ч и е. Преобраэоваиие координат (15) при Ч = Х = )/ч/а~= чп ГЬ(е, (17) о = 1/а = )/сч/е приводит величинам ч' = 1, е' = 1. Поэтому в силу принятой гипотезы подобия соответствующая функция (18) (19) 5 5. Чтобы определить поведение функции ()ее (г') при больших г', введем еще одну гипотезу. должна быть одинакова для всех случаев локально иэотропиой турбулеитиости.
Формула~ Вее (г) = )/че рос (г/й) (20) показывает в соединении с выведеикыми ранее, что вторые моменты В э (уи>, уоз) в случае локально иаотропиой турбулентности однозиачяо выражаются череа ч, з и универсальную функцию ()ее. Вб. Локальная структура турбулентности Вторая гипотеза подобия». Если абсолютные величины векторов у<ю и их разностей у<г> — у<ге (где /с' чь й) велики по сравнению с Л, то законы распределения г„однозначно определяются величиной е и не зависят от т.
Положим уа = у'//сэ, з" = з'//сэ, (21) где уа и з' определены в соответствии с формулами (15), (17) и (18). Так как прн любом й е'=е"=1, то при г' большом по сравнению с Л' = 1 в силу принятой сейчас гипотезы Ввв (г") = В в (г") = ()вв (г'/й'). С другой стороны, из формулы (20) вытекает, что Ввв (г") = (1/й ) В,ы (г') = (1/й ) рвв (г'). Таким образом, прн больших г' (4,< (г'//сэ) (1//сэ) ~~~ (г), откуда »<»»вв (г') С (г')ч», (22) где С вЂ” абсолютная константа. В силу (17), (20) и (22) при г, больших по сравнению с Л, В,ц (г) = Се<»»л<». (23) Из (23) и (12) легко вывести, что прн г, больших по сравнению с Л, Впп (г) /эВвв (г)' (24) Заметим по поводу последней формулы, что прн г, малых по сравнению с Л, в силу (13) имеет место соотношение Впк (г) = 2Ввв (г).
(25) 28 рекабря <940 г. ЛИТЕРАТУРА <. Миллионщиков М. /<. Вырождение однородной кэотропвой турбулентности е вязкой несжимаемой жидкости.— ДАН СССР, <939, т. 22, № 3, с. 236— 240. » В термквах схематического представления о турбулентности, развитого в пркмечакпп 2, Л есть масштаб наиболее мелких пульсаций, энергия которых непосредственно рассеивается в тепловую благодаря вязкости.
Смысл второй гипотезы подобна заключается в том, что механизм передачи энергии от более крупных пульсаций к более мелким для пульсаций промежуточных порядков, для которых <<» больше чем Л, ке эавкскт ст еяэксстк. ь 2, Тау1ег б. 1. 8(апзпса1 (Ьеогу о1 (игЬп1епсе. 1 — 1ч'.— Ргос. Иоу. Бос. Ьоп()оп, 1935, чо1. А151, Ы 874, р. 421 — 478. 3, Мо()егп ()ече1оршепсз 1п 11пЫ шесЬап)сз/Еб. 8. Оо)42(е(п. Ох1огй; Оп1ч. Ргезз, 1938, чо1. 1, 1 95. Рус. перл Современное состоавие гидродинамикп пязкой жидкости/Нод ред. С.
Гольдштейна. Мл Изд-зо пиастр. лиг., 1948. Т. 1.[ 4. Кагтии ТА. сан. ТЬе 1пп()ашеп(а12 о1 (Ье з(апз(1са1 (Ьеогу о1 (пгЬп!епсе.— 1. Аегопап(. 8с1., 1937, чо). 4, )(7 4, р. 131 — 138. К ВЫРОЖДЕНИЮ ИЗОТРОПНОЙ ТУРБУЛЕНТНОСТИ В НЕСЖИМАЕМОЙ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ" скорости в момент времени 1 в точке Р = (хг, хз, хз) случайными величинами и через А обозначать математическое ожидание случайной величины А.
Б случае изотропной турбулентности в смысле Тейлора (см. [3, 4)) иа = 0 и вторые моменты (2) (3) Формула (7) вместе с (3) бб. К еироасдению иаетроиноа турбулентности Будем, подобно И, 2), считать компоненты и„(Р, 1) = иа (хг, 2Ь, х„1) Ьав — иа(хг ах2,хз >1) из(хг ~ х2 ~ ха а1) (2) (Г) (Г) (2) (2) (2) выражаются формулами (см. [ 1, 5)) Ь„в = Ь (г, 1) сов басов 86 + 6„6Ь (г, 1), где г'=(х~~ю — х~~в)2+ (хз' — хз')2+ (хз' — хз )2, х".) — х„' = г сов О„, бав = 0 при а ~ Р, 6 ь = 1 (1) о (г, 1) = Ьзд (г, 1) — Ь„„(г, 1); Ьу( (Г 1) иг (хп хз хз~ 1) иг (хг + Г хза хз~ 1)' Ь и, (Г, 1) = Из (Х(, Хз, Хаю 1) Из (Хг + )1 ха, ХЗ| 1)а дЬдд/дг = — (2/г) Ь.
Ьбд(0,1) =Ь„„(0,1) = [иа(хг,хз, хз,1)] =Ь (1) а ДАН СССР, 1941, т. 31, № 6, с. 538 — 541. при сс = [1; (4) (5) (6) (7) позволяет определить Ь„„через Ь„е. Таким образом, все вторые моменты определяются через единственную функцию Ьоо (г, е). Для Ь„е (г, 1) Карман и Ховарт (5) получили уравнение яде (1О) (12) и ='у'д (14) Так как и — О при 1 — е. со, то из (14) вытекает, что при больших 1 .число Рейнольдса Ке мало. На этой заключительной стадии вырождения изотропной турбулентности ааконно применение теории, пренебрегающей третьими моментами. Как показано в [1), в этом случае (15) (16) Легко вычислить, как /е, А и В выражаются через т и Л.
Для больших Ке Карман, допуская, что Ьео (г, г) имеет вид Ьее (г, г) = Ьф (г/Х ), (19) бб. и еирозедении иеотроммоа турбуеемтноети Ь„„е (г, ~) = и', (хм хз, хз, т) и, (х, + г, хз, хз> т). Лойцянский (6) из уравнения (9) вывел, что ее Л= ~Ьеб(г, е)гей' о же зависит от времени.
Примем за «масштаб турбулентности» длину х, = (Л/Ь)'ь. По / и среднему значению компонент скорости определим число Рейнольдса Ке = Еи/т = (Леь/т) й!е. й Г ге Ьее(г, г) =, ехр ~ — — 1, (4те)еь ~ 8ее г Ь„„(г, с) =, (1 — — ) ехр ( — — ) а, следовательно, в=Ат 1е, Ь = В~Ге. (17) (18) Ад. И вырождению иеотронноя турбуоентноети 28У нашел (см. [51), что ' и = но (1 — (о), 5 = ~о (1 — 1) (20) не определив, однако, показатель р.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
