Колмогоров А.Н. Уравнения турбулентного движения несжимаемой жидкости (1124030), страница 56
Текст из файла (страница 56)
В более поздних работах [6[ и еще неопубликованных (смл Изв. АН СССР. Сзр геогр. и геофвз., 1941, т. 5, № 4/5, с. 433 — 446.— Примеч. ред. к наст. иву.) сам Миллионщиков при помощи тонких рассмотрений, использующих третьи и четвертые моменты, дал оценку ошибки, происходящей от пренебрежения третьими моментами. 294 дд. Уравнения турбулентного дгижениа несжимаемой жыдкости 48 УРАВНЕНИЯ ТУРБУЛЕНТНОГО ДВИЖЕНИЯ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ э Общую картину турбулентного движения можно представлять себе (в соответствии с Тейлором и Ричардсоном) следующим образом.
На осредненный поток накладываются турбулентные пульсации различных масштабов, начиная от масштабов порядка «внешнего масштаба» турбулентности Ь («путь перемешивания») до наиболее мелких масштабов порядка величины тех расстояний )ч, на которых делается существенным влияние вязкости («внутренний масштаб» турбулентности). В участках, размеры которых малы по сравнению с ь, поле скоростей является плавным. Наиболее крупномасштабные пульсации черпают энергию от осредненного потока и передают ее пульсациям меньшего масштаба.
Таким образом возникает поток энергии, непрерывно передаваемой от пульсаций ббльших к пульсациям меньших масштабов. Диссипация энергии, ее переход в тепло происходит в основном только в пульсациях масштаба Х. Величина ю диссипируемой в единицу времени в единице объема энергии является основной характеристикой турбулентного движения во всех масштабах. Наиболее характерными для турбулентности являются свойства движения в участках, размеры которых малы по сравнению с Ь. Локальную структуру турбулентности (т.
е. структуру ее при масштабах((Ь) можно считать пространственно однородной и изотропной. Ее изучение проводится аналогично тому, как была изучена Тейлором и Карманом изотропная турбулентность. Однако при этом следует рассматривать моменты различных порядков, определяемые как средние значения от произведений компонент векторной разности скоростей в двух различных точках пространства. В силу изотропии эти моменты являются функциями только от расстояния г между точками (при г ~ Ь). Так, моменты второго порядка Вал и В„„суть средние значения квадратов разностей проекций скоростей в двух точках соответственно на линию соединения этих точек и на направление, ей перпендикулярное. При г (( Ь эти моменты оказываются пропорциональными гт, а при г )» Х (но г (( Ь) Вас и Внн пропорциональны гчг '.
Сам внутренний масштаб турбулентности Х пропорционален тч (р/го)нч, где т — вязкость жидкости, р — ее плотность. Эти результаты находятся в хорошем согласии с измерениями корреляции скорости, выполненными Драйденом и др. Несколько менее полному математическому исследованию может быть подвергнуто однородное и изотропное (во всех масштабах) тур- * Ивв. АН СССР. Сер. физ., 1942, т.
6, № 1 — 2, с. 56 — 58. Краткое резюме доклада иа Общем собрании Отделения фив.-иат. наук Академии наук СССР 26 — 28 января 1942 г. Казань. т ДАН СССР, 1941, т. 30, с. 299 (№ 45 наст. ивд.— Примеч. ред.) бд. Ураененил турбулентного движения несжимиемоз жидкости г95 булентное движение, в котором осредненный поток отсутствует; такое движение непременно является затухающим со временем. В дополнение к результатам Тейлора и Кармана с помощью найденного Л.
Г. Лойцянским» закона сохранения можно показать», что пульсацнонная скорость движения затухает здесь обратно пропорционально 19 . Масштаб же Р движения растет как ~' . Исходя из изложенных локальных свойств турбулентности можно построить (при помощи некоторых допущений, несколько более грубо приближенных) полную систему уравнений турбулентного движения. Эти уравнения имеют вид Р' —— Р'» — — ( — +Ь) +А~ д, < — ( — '+ — ')~~, (1) Рт Ч, г'Г» д Г Ь дтд (2) Р» Ы 2.» дх. ~ т дх. ) ' РЬ А Ь вЂ” «\г д ГЬ дЬ1 — = — Ьсо+ — — й+ А" ~— Р» 3 ог г~~ дх.
~ т дх. (3) Здесь Р)Р1 означает субстанциональную производную по времени, р'г есть внешняя сила, Гг — скорость осредненного движения, р— осредненное давление; Ь=('/»)~чарой есть»» от среднего квадрата пульсационной скорости; «г — некоторая средняя «частота», определяемая как е» = с»г ЬгТ, где с — константа, а посредством з обозначено з= 7 ( — '+ — 1) . Наконец, А, А', А" суть численные постоянные, которые должны быть определены раз н навсегда сравнением какого-либо решения уравнений с экспериментальными данными. Отношение Ьг ю играет в уравнениях (1) — (3) роль некоторого «коэффициента диффузии» соответственно для осредненной скорости, «частоты» е» и пульсационной скорости Ь.
Первый член в (3) представляет собой ~!а от турбулентной днссипацни энергии, отнесенной к единице массы жидкости (2иг!Зр), а второй — а » от энергии, передаваемой турбулентным пульсациям от осредненного движения. Отношение коэффициентов первых членов в (1) и (2) определяется упоминавшимся уже соотношением Лойцянского. Уравнения (1) — (3) определяют вектор осредненной скорости х;, пульсационную скорость Ь и масштаб движения л .
Решение этих уравнений представляет большие трудности. В конечном виде они могут быть проинтегрированы для движения жидкости между движущимися параллельными плоскостями, причем получаемый результат находится в согласии с известными результатами Кармана. г Тр. ЦАГИ, 1939, вып. 440, с. 3. » ДАН СССР, 1941, т. 31, с. 538 (№ 46 наст. вал. — Примеч. ред.). 296 49, Замечание но поводу многочненое Л. Л.
ггебмьчева В заключение доклада приведены предварительные результаты численного интегрирования уравнений (1) — (3) для турбулентного течения по трубе кругового сечения. Д и с к у с с и я. Л. Л. Ландау отме«ает, что А. Н. Колмогоров впервые дал правильное понимание локальной структуры турбулентного потока. Что касается уравнений турбулевтиого движения, то в иих, ло миеиию Ландау, должен быть иеяремеиио учтен тот факт, что в турбулектиом потоке наличие ротора скорости ограничено конечной областью пространства; качественно правильные уравиекия должны приводить к такому характеру распределения вихрей. В дискуссии принял участие также Н.
Л. Капица. 26 января 1942 г. ЗАМЕЧАНИЕ ПО ПСВОДУ МНОГОЧЛЕНОВ П. Л. ЧЕБЫШЕВА, НАИМЕНЕЕ УКЛОНЯЮЩИХСЯ ОТ ЗАДАННОЙ ФУНКЦИИ* В 1918 г. А. Хаару [1) удалось довести условия единственности многочлена наилучшего приближения до чрезвычайной общности. Результат Хаара не послужил, однако, в течение тридцати лет со времени его опубликования исходным пунктом каких-либо новых исследований конкретного аналитического характера. По-видимому, это объясняется тем, что не было обнаружено достаточно простых и аналитически естественных случаев применимости условий Хаара за пределами «систем Чебышева» в смысле С.
Н. Бернштейна (см. [2, 9 1 — 2 гл. 1!). Работа Хаара, как и вся классическая теория наилучших приближений, относится к действительным функциям. В атой заметке я показываю, что теорема Хаара легко переносится на комплексные функции. Это делает ее применимой, например, к вопросу наилучшего приближения непрерывной комплексной функции на любом замкнутом ограниченном множестве комплексной плоскости обыкновенными многочленами (см.
[4)). Кроме перенесения на комплексный случай теоремы Хаара (см. далее теорему 3), я устанавливаю комплексный аналог данного еще Чебышевым характеристического свойства многочленов наилучшего приближения (см. далее теорему 1). Ввиду элементарного характера всех дальнейших результатов, примыкающих непосредственно к работам Чебышева, я привожу полностью все докааательства, хотя некоторые из них являются лишь небольшими видоизменениями $44— 45 из книги Н. И. Ахиезера [3).
Появление этой книги и послужило в УМН, 1948, т. 3, выл. 1, с. 216 — 221. 297 4З. Замечание по поводу мновочленов Л. Л. Чебышева непосредственным поводом для моего интереса к данному кругу вопросов. Мы будем рассматривать «многочлены» вида Ра (г) = а»«р» (г) + аовро (г) +... + и„<рп (г), где «ро суть выбранные раз навсегда комплексные функции, которые предполагаются определенными и непрерывными на некотором компакте К. Для любой заданной на К непрерывной комплексной функции 7' (г) и любой системы («ом ~о~ ' ' 'Ф ~оп) иа п комплексных чисел обозначим Ра в (г) = Ра (г) — ге (г).
Как и в действительном случае, существует в'(а,У)= шах /Раы(г) (, вил и минимум Ж (~) = ш)п Ь (и, у) достигается хотя бы для одного многочлена Ра (г). Множество тех г е= К, для которых ~ Ра, о (г) ~ = Ь (а, 7'), мы будем обозначать Ма, в Т е о р е м а 1.
Для равенства Ь(а,7') = о (7) необходимо и достаточно условие: (Т) Каков бы ни был многочлен Рз (г) шш Ке(Рз(г)Ра 7(г)) ~ О. * Мат Д о к а з а т е л ь с т в о д о с т а т о ч н о с т и. Допустим, что условие (Т) выполнено, и рассмотрим многочлен Ра. (г). Пусть Рз (г) = Ра (г) — Р„ (г). В силу условия (Т) существует га е.= Ма, н для которого Ве(Рз (го) Ра, в(г )) ~<0.
В этой точке ! Ра', 7(го) / = (Ра, 7 (го) — РЗ(га)) (Ра. 7(го) — РЗ (го)) = = Ра,г(го) Ра,у(го) РЗ(га)Ра,г(го) РЗ(го)Ра,7(го) + 298 дд. Замечание по поводу многочвенов П. Л. Чедногева + Рд(го) Рд(го)=(На, г(го)!о 2 Ве(рс(го) 0а, у (гв)) + +1Р,(го) !* ~ ~ (и,)). Таким образом, при любом и' Ь(а',~))~в (а,~), что и требовалось доказать. Д о к а з а т е л ь с т в о н е о б х о д и м о с т и. Допустим, что условие (Т) нарушено, т. е. существует многочлен Рд (г), для кото- рого всюду на Ма, Ве (Рд (г) Ра в (г)) ) О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
