Колмогоров А.Н. Уравнения турбулентного движения несжимаемой жидкости (1124030), страница 55
Текст из файла (страница 55)
Ниже приводится новый вывод формул (20), из которого следует, что Б/ (21) (25) где ио — (С/2) е'/е/,е/еЬ-г Следовательно, е = (2яЬ/С)'/*Л ". (27) Положив К = ('/з) (2п/С)'/', (28) из (23) и (27) получаем формулу (22). Формула (28) показывает, как коэффициент К выражается через абсолютную константу С, введене Уравнение (77) пропптегрнровано в [6[ ошибочно.
В действительности показатель степени в формуле (78) должен равняться АВ/[5 + АВ[, а в формуле (81) — равняться — 5/[5 + А В[. Значение р = е/. соответствует АВ = 2. е Мы принимаем, что соотношение (26) сохраняется для сколь угодно малых р. Однако реальный смысл опо имеет только при р, больших по сравнению с Х/5, так как само допушоппе (19) естественно лишь прп г, больших по сравнению с Х. Установим сначала, что при достаточно большом Ке из допущения (19) вытекает ИЬ/с[1 = — КЬ'/ Л ', (22) где К вЂ” абсолютная константа.
Формула (22) может быть обоснова- на различными способами. Если принять допущения моей заметки [2), то можно рассуждать так. При иэотропной турбулентности сред- няя энергия на единицу массы равна (е/э) Ь. Поэтому рассеяние энер- гии за единицу времени на единицу массы равно в среднем е = — (~/ь) г[Ь/г[е. (23) Так как, пользуясь обозначением Вид (г) из [21, имеем Ь„, (г) = Ь вЂ” ('/э) В/и (г), (24) то в силу формулы (23) из [21 при г, малых по сравнению с Ь, но больших по сравнению с Ь, Ь/и (г) Ь /1 — — е'/че/е), 25 Для функции ф (р) из (25) при малых р получаем о ф (р) 1 — Вр~/е (26) 290 47.
Рассеание гнергии при авкаеьнв иввтрвпнвй турйуаентнвсти ную в [2), и величину и, определяющуюся из (26) по виду функции Ф (р). Из (12) и (22) получаем йЬ/с(1 = — КЛ 'йьк/". (29) Интегрирование уравнения (29) приводит к результату Ь = (10/7К)"/гЛн (1 — 1о) (30) Из (30), (13) и (12) вытекает и = (10/7К)'/ Лч (1 — 1е) 1, (31) В = (7К/10)'ЬЛ'е (1 — 1е)'ь (32) Сопоставление (31) и (32) с (20) показывает, что действительно р = 6/ 4 марта 1941 г. ЛИТЕРАТУРА 1.
Миввивнщиквв М. Д. Вырождение однородной изотропной турбулентности в вязкой несжимаемой жидкости.— ДАН СССР, 1939, т. 22, № 5, с. 236 — 240. 2. Колмогоров А. Н. Локальная структура турбулентности в несжимаемой вязкой жидкости при очень болыпих числах Рейнольдса.— ДАН СССР, 1941, т. 30, № 4, с.
299 — 303. 3. Тау1вг о. Ч. Яза11змса1 1Ьеогу о1 гпгЬи1епсе. 1 — Ге'.— Ргос. Воу. Яос. Ьопйоп, 1935, ко1. А151, Н 874, р. 421 — 478. 4. Мойегп йече1оршелзз ш НпЫ шесЬап!сз/Ей. Я. Со1йззеш. Ох1огй: Сп1ч. Ргезз, 1938, чо1. 1, 191. Рус. перл Современное состояниегидродинамики вязкой жидкости/Нод ред. С.
Гольдштейна Мл Изд-во иностр. лиг., 1948. Т. 1. 5. Кагтап Тй. исп, Ивтаггй Ь. Оп 1Ье ззапзпса1 1Ьеогу о1 1зозгор1с гпгЬп1епсе.— Ргос. Воу. Яос. Ьопйоп, 1938, ко1. А164, Ы 917, р. 192 — 215. 6. Лвйцкнский Л. Г. Некоторые основнме закономерности изотропного турбулентного потока.— Тр. ЦАГИ, 1939, вып. 440, с. 3 — 23. 47 РАССЕЯНИЕ ЭНЕРГИИ ПРИ ЛОКАЛЬНО ИЗОТРОПНОЙ ТУРБУЛЕНТНОСТИ * В моей заметке И) было определено понятие локальной изотропности и были введены величины Влл(г) =(иа(М) — па(М))з, В„„(г) = (п„(М') — и„(М)!', (1) где г обозначает расстояние между точками М и М', иа (М') и п~ (М) — компоненты скорости в точках М и М' по направлению ММ', а ип (М) и и„(М') — компоненты скорости в М и М' по какому-либо перпендикулярному к ММ' направлению.
в ДАН СССР, 1941, т. 32, № 1, с. 19 — 21. б7. Рассеяние енереии нри локально иеотроннов кеурбуленксносоьи 29е Для дальнейшего нам понадобятся еще третьи моменты Ва (г) = [па(М ) — па (М)]з. (2) При локально изотропной турбулентности в несжимаемой жидкости имеет место уравнение (3) аналогичное известному уравнению Кармана для изотропной турбулентности в смысле Тейлора. Здесь з обозначает среднее рассеяние энергии в единицу времени на единицу массы. Уравнение (3) записывается в виде ( 4 ~( бпа„ вЂ” + — ) [6т — — Влас) =4в б г)~ Ы и в силу условия НВаа (г)/се [„о = Ва,ц (О) = 0 дает 6тс)Ваа)с)г — Вала = (е,~ ) йг.
(5) Прн малых г, как известно, Вас — (х)ьзе) егз, (6) т. е. 6МВааЫг = (4!з) ег. Таким образом, при малых г в левой части уравнения (5) второй член бесконечно мал по сравнению с первым. При больших г, наоборот, первым членом можно пренебречь по сравнению со вторым, т.
е. считать В,цл — — (4! з) в . (7) Естественно допустить, что при больших г отношение В= В...: В,[',[, (6) т. е. асимметрия распределения вероятностей для разности Ьиа = иа (М') — иа (М), остается постоянной, При этом допущении имеем для больших г В,и — Свчагчэ, (9) где С = ( 4/55)чь (40) Соотношение (9) было выведено в [$[ из несколько других соображений '. е А. и. Обухов независимо нашел соотношение (9) из подсчета баланса распределения энергии пульсаций по спектру (см. [2)). яо2 ое.
Рассеяние энергии нри яонояъно иэотронноа турауяентности В [1] был введен локальный масшгиаб турбулентности (,з/5)ея (11) и обосновано допущение, что В„,(г) =]Гесс~„„(г/Л), В„„(г) =~/тй[]„„(г/Л), (12) где ])„о и [1„„— универсальные функции, для которых при малых р 1- (р) = ('/. ) р', ])-(р) = ('/. ) р', (13) а при больших р ]4. (р) = Ср*/, 8„„(р) = (е/,) Ср . (14) При изотропной турбулентности в смысле Тейлора закономерности локально изотропной турбулентности должны иметь место для расстояний, значительно меньших чем интегральный масштаб турбулентности В (см. по поводу его рационального определения мою заметку [3]). При этом коэффициенты корреляции Вол(г) = (ил(М') ил (М)): Ь, В„„(г) = (а„(М') а„(М)): Ь, (15) где Ь есть среднее значение квадрата компонент скорости, связаны с Вел (г) и В„„(г) соотношениями Вел — — 2Ь (1 — Вял), В„„= 2Ь (1 — В„„).
(16) В силу (16) и (12) при г, малых по сравнению с В, должно быть 1-В-= — ';„" [-( —;, ), 1 — В,='/2',т Р..( — ",). (17) Если г мало по сравнению с В, но велико по сравнению с Л, то в силу (14) и (11) 1 — Вле (~/е) Ссч Ь 'гче, 1 — В (е/з) Сс /вЬ-егчь (18') (18') Формулы (18) позволяют определить константу С из экспериментальных данных. Наиболее тщательные измерения коэффициентов корреляции Вал и Внн были произведены Драйденом, Шубауэром, Маком и~ Скрэмстадом [4].
Представив формулу (18') в виде 1 — В„„= 2С (йг)ч*, й = з: (ЗЬ)'/, (19) я вычислил из эмпирической формулы (17) работы [4], полагая в обозначениях из [4] Ь = )/аэ, з = (э/э) Уа1/аэЫх, значения коэффициента Ь, соответствующие турбулентности на расстоянии 40М М, дюйм 1 3,25 5 й, смт 0,107 0,065 0,042 47. Рассеяние энергии при лвкалънв иввтрвкнвй турбулентнвсти 293 от решетки с размером ячейки М, равным 1', 3,25" н 5". С этими аначениями для й кривые рис. 5 из [4[, учитывающие поправку на длину проволок, хорошо укладываются для не слишком больших по сравнению с 5 значений г в формулу (19) при С = г/г.
(20) докальиый масштаб Х в условиях опытов, описанных в [4[, настолько мал, что отклонения от соотношений (18) при малых г не могут быть обнаружены '. Кривые рис. 28 нз [4[ не могут быть непосредственно использованы для определения С, так как в них не внесена поправка на длину проволок. Однако они с удовлетворительной точностью подтверждают при г, малых по сравнению с 5, вытекающее из (18) соотношение (1 - Н„„))(1 - Н.,) = '),. (21) С учетом поправки на длину проволок для отношения (21) в [4[ получено значение 1,28 (см. [4, с.
29[), также достаточно близкое, если учесть ограниченную точность опыта, к теоретическому значению г/ ЛИТЕРАТУРА 1. Колмогоров А. Н. Локальная структура турбулентности в несжимаемой вязкой жидкости при очень болыппх числах Рейнольдса.— ДАН СССР, 1941, т. 30, № 4, с. 299 — 303. 2. Обухов А. М. О распределении энергии в спектре турбулентного потока.— ДАН СССР, 1941, т.
32, № 1, с. 22 — 24. 3. Колмогоров А. Н. К вырождению изотропной турбулентности в несжимаемой вязкой жидкости.— ДАН СССР,' 1941, т. 31, № 6, с. 538 — 541. 4. Пгубгп Н. 5., БсьиЬаиег 6. В., Мвс)с И'. С., Ясгакигаб Н. К. Меазпгешепгз о( 1псепзйу апб зса)е о1 че1пб-гпппе1 зогЬп)ейсе апд 1Ье1г ге1а11оп 1о 1Ье сгШ- са1 Веупо1дз пишЬег о1 зрЬегез.— Хам Ас)ч.
Сош. Аегопапк, 1937, Кер. Х 581. 5. Миллионщиков М. Д. Затухание пульсаций скорости в аэродинамических трубах.— ДАН СССР, 1939, т. 22, № 5, с. 241 — 242. 6. Миллионщиков М. Н. О влиянии третьих моментов в изотропиой турбулентности.— ДАН СССР, 1941, т. 32, № 9, с. 615 — 617. г Заметим в связи с этим, что попытку применения к наблюдениям из [4[ теории изотроппой турбулентности, пренебрегающей третьими моментами, предпРинятую Миллиовщиковым в [5[, следует признать основанной па недоразумении.
Легко обнаружить, что з обставовкг наблюдений из [4[ в уравнениях, сзкзывагощих вторые моменты с третьими (например, в уравнении (3)), члены со втоРыми моментами несравненна меньше, чем члены с третьими моментами. На рис. 3 из [5[ сравневпе с теоретической кривой для К„„(полученной в пренебрежении третьими моментами) с опытными данными из [4[ произведено ошибочно, так как: 1) исцользоваиные данине относятся к определенной спектРальной компоненте пульсаций, а не к полным пульсациям; 2) опытные данные не соответствуют условию 8Ш = 7,56, которым определяется теоретическая кривая.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
