Колмогоров А.Н. Уравнения турбулентного движения несжимаемой жидкости (1124030), страница 57
Текст из файла (страница 57)
Так как Ма ~ замкнуто, то существует такое е ) О и такое от- крытое 6 'г М„м что для всех г е= 6 Ве(Рв(г) На е (г)) ~ е. Положим Н = шах ) Рз(г) ~, Й = Ь (а, ~) — шах ) Х)а у (г) !, *як где К=К" 6. Так как Г замкнуто и на нем ( На, ~ (г) ) не достигает Ь (и, ()), то й >О. Выберем Х .> О так, чтобы было Х ~( е/Нг, )г ~( й!2Н, и положим Ра (г) = Ра (г) — ХРа (г). Легко установить, что на 6 !На в(г) /~ =).0а 1(г))г — 2Х Ве (Рв (г) На г(г)) + ннв/ Рз(г) )в ( < УР(а,У) — 2Хе + Х в, Нв = ЕР(а,~) — Лз.
С другой стороны, на Р )На',1(г)) ~~~На,~(г)!+)" (Рв(г)) ~~Т~(а~~) 8+ 2П Н= й 2 ' Из этих двух оценок ясно, что Ь (а', ~) ( Ь (и, ~), И. Замечание ло неводу многочленов П. Л. Чебнагева 299 т. е. Р„(г) не является многочленом наилучшего приближения, что и требовалось докаэать.
Теорема 1 полностью доказана. Введем теперь в рассмотрение допущения: (А) Функции ф, (г), фв (г),..., ф„(г) линейно независимы на К, (В) К содержит не менее и + 1 точек. (Н) Любой многочлен Рр (г), у которого не все коэффициенты рв равны нулю, обращается на К в нуль не более чем в и — 1 точках. Условия (А) и (В) исключают лишь тривиальные, неинтересные для рассмотрения случаи. Условие (Н), наоборот, существенно ограничивает класс допустимых систем функций ф, (г). Т е о р ем а 2. При условиях (В) и (Н) из Л (а, 1) = К (г) вытекает, что ~ Па, ~ (г) ) — Ж (е) не менее чем в и + 1 точках.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Допустим, что, вопреки утверждению теоремы, множество М„, с состоит лишь из точек г„г„...,га; д(п. Так как множество Ма ~ в силу (В) не совпадает с К, то при й = =1,2,...,д ! П„,, (г„) ) = Л (и, у) ) О. Дополним произвольно систему точек г,, г„..., га (в случае д ( и) до системы из и рааличных точек гг гю ° ° ° го. Иэ (Н) вытекает, что детерминант ) фт (г ) ), й, т = 1, 2, ..., и, отличен от нуля. Поэтому система уравнений ~,ф, (г„) + ()вфв (гв) + .. + ()афн (гв) = Па, е (хв), 1=1,2,...,д, разрешима.
Соответствующий любому решению этой системы много- член Ра (г) противоречит, как легко установить, условию (Т) теоремы 1. Таким обраэом, Р (г) не может быть многочленом наилучшего приближения. Полученное противоречие доказывает теорему. Как было указано в начале заметки, нас будут интересовать условия, при которых имеет место теорема единственности: (П) Для любой определенной на К непрерывной комплексной функции ( (г) имеется только один многочлен Ра (г) = Т~ (г), 300 дв. Зенечанне по поводу многочленое ее.
Л. Чевншева обладающий свойством Ь(а,у) = 8(1). Т е о р е м а 3. Если выполнено условие (А), то утверждения (()) и (Н) равносильны (т. е. (Н) есть необходимое и достаточное условие для (С)). Доказательство соотношения(Н)-+.(Н).Из(А) вытекает, что К содержит не менее и точек. Коли число точек в К равно точно и, то любая функция ~ (г) является многочленом и сама является своим единственным наилучшим приближением с Ж (~) = = О. Остается рассмотреть случай, когда выполнено условие (В) и можно применить теорему 2.
Допустим, вопреки утверждению (Н), что существует два различных многочлена Ра (г) и Р, (х), для которых Ь (а', 1) = Х (а", 1) = $ (1).. Образуем многочлен Рн (г), соответствующий ап — — (ай+ ай)!2; й = 1,2,..., и. Легко видеть, что Е (а;1) = Ж У). По теореме 2 существует п + 1 точек зв~ ° ° е хны~ в которых ! вва, ~ (зн)! = е (У). Обычным образом доказывается, что во всех этих точках сво, у(зн) = 1ва", ~(зь) = Юн, с(еу), что вместе с допущением (Н) приводит к противоречию.
Тем самым соотношение (Н) — (Щ доказано. Д о к а з а т е л ь с т в о с о о т н о'ш е н и я (Щ -и (Н). Допустим, вопреки утверждению, что условие (Н) нарушается, т. е. существует система из и различных точек з„з„...,г„, для которой детерминант !фм(еш) ! й,т=1,2,...,п, равен нулю, т. е. существуют нетождественно равные нулю 7» 72 ° ° е 7 удовлетворяющие при любом й = 1, 2,..., и условию 7,фу (г,) + 7вфн (ге) +... + 7„фу (хн) = О. бд. Замечание по поводу многочвенов П..Ч.
Чебышева 301 Легко построить на К непрерывную комплексную функцию л (г), обладающую свойствами: (а) У(г ) =7т/!у (втехточкахг,гдеу ~0, (Ь) ! Ь' (г) ! (~ 1 всюду на К. Выбрав какую-либо такого рода функцию д (г), положим 1 (г) = З (г) ~1 — д ! Рт (г) !) * где Н= шах! Р (г)!. Лемма. и' (/) = 1. Для докааательства леммы допустим, вопреки утверждению, что существует многочлен Р (г), удовлетворяющий неравенству Л(а,~)(1; Тогда в точках г, в которых у„, чь О, 1(гт)= У /)Ут!, Не ( гт Ра (гт)) = Ве (Ут~ (гт) + утг.га, 1 (гт)) = =Не()7 (+т Ва,г(г )))О, т=п Ве ~ у Р„(г ))О, о1=1 что противоречит равенству т=п И П гн=н ~ у Р„(г )= Я ау ~ч~ у ~ру(гт)=0.
гп 1 В 1 гп 1 Противоречие докааывает лемму. Докажем теперь, что при )е !<1/Н любой многочлен Ре(г) = н Рт (г) удовлетворяет равенству Х (р,/) =1=с'(1'). Это вытекает ив оценки )Н,, ()(<)И)!+)Р ()!=~1 — +Р,()~+~+Р,(.)1= =1 — — '„'!Р,(г))+ )и! )Рт(г)Ы1. Полученное противоречие с условием (П) доказывает соотношение (П) — (Н). Теорема 3 полностью докааана. бд. О дроблении капель е турбулентном потоке Возврат к теории наилучших приближений действительных функций действительными многочленами можно произвести при помощи следующего предложения.
Теорема 4. Если функции шв(в), й=1,2,...,н, и 1'(в) действительны, то равенство Е (а, 7') = с' (7") (где с (7) определено как минимум Е (а, 7) для комплексных многочленов Ра (з)) заведомо достигается для какого-либо двйствительного многочлвна Ра (з). Д о к а а а т е л ь с т в о теоремы 4 непосредственно вытекает из того простого замечания, что при сделанных в ней допущениях для любого комплексного многочлена Р (в) многочлен Ра' (в) = lв (Ра (в) + Ра (в)) действителен и удовлетворяет неравенству Е( ',Л<Е(и,д. ЛИТЕРАТУРА) 1. Ноаг А.— Мв11г.
Апп., 1918, Вб. 78, 8. 294 — 311. 2. Вернттелн С. Н. Экстремальные свойства поликомов. МЛ Лл ОНТИ, 1937. ьЬ 1. 3. Ааиееер Н. И. Лекции по теории аппроксимации. М.; Лл Гсствхтворивдат, 1947. 4. Мопсе1 Р. ЬвСопв вш'1вв вег1вв бе ро1упошев Й ппв твг1вЫв сошр1вхв. Раг1в, 1910, р. 66 — 71. 50 О ДРОБЛЕНИИ КАПЕЛЬ В ТУРБУЛЕНТНОМ ПОТОКЕ* Публикуемая непосредственно перед моей заметкой заметка (1) М. К. Варанаева, Е. Н. Теверовского и Э. Л. Трегубовой содержит интересный экспериментальный материал по вопросу о дроблении капель нерастворимых в воде жидкостей в турбулентном водном потоке.
Явление это, помимо его самостоятельного интереса, может, по идее авторов заметки (1), служить и дополнительным средством проверки наших представлений о локальной структуре турбулентных пульсаций. Теория локальной структуры турбулентных пульсаций была разработана мною и А.,М. Обуховым. Она была проверена по данным непосредственных измерений пульсационных скоростей и нашла ряд подтверждений и применений при изучении рассеивания в * ДАН СССР, 1949, т.
66, № 5, с. 825 — 828. 50. О дроблении кииель е турбулентном потоке турбулентной атмосфере звука, ультракоротких радиоволн и света. В соответствии с этой теорией средний квадрат пе разности скоростей в двух точках, лежащих на расстоянии д, выражается формулой ве = (с~') е)' 1 Ф) е)~ (а) где о — кинематическая вязкость, а у — универсальная функция с асимптотическим поведением: / (Й) Р при малых ес, (1) (у) ~ (й) йне при больших й. (В обозначениях мы, по возможности, следуем заметке [1], а знак употребляем в смысле приближенной пропорциональности, причем коэффициент пропорциональности нв пишем.) В приведенных формулах Хе обозначает.
«внутренний масштаб» турбулентности. При спектральном разложении турбулентных пульсаций компоненты спектрального разложения масштаба, значительно меньшего ).е, должны быть ничтожно малы. Что касается разностей скоростей на расстояниях «е, существенно меньших Хо, то их среднеквадратичное значение в соответствии с (р) убывает пропорционально Ы. Для многих физических процессов эти разноети могут оказаться «достаточно большими» и при расстояниях с[, аначительно меньших, чем внутренний масштаб е.е, Поэтому обнаружение физических процессов, производимых.
этими разностями, еще совсем не означает необходимости какого-либо пересмотра нашей с А. М. Обуховым теории '. Введем теперь в турбулентный поток «первой» жидкости (в опытах И] — воды) тонкую струйку «второй» жидкости с той же плотностью (это требование в опытах [1] выполнено с большой точностью) с кинематической вязкостью ч' и с поверхностным натяжением на границе с первой жидкостью и.
Если бы и равнялось нулю, а е' равнялось ч, то с механической точки арения струйка второй жидкости ничем не отличалась бы от выделенной чисто геометрически струйки потока первой жидкости. В заметке [1] не совсем точно описывается судьба такой струйки. Такая струйка должна в действительности не распадаться на капли диаметра порядка )е, а деформироваться во все более тонкую извивающуюся и разветвляющуюся нить. Никакого предела размешивания струи в потоке в такой идеализированной схеме не получилось бы. Предел этому размешиванию кладет только поверхностное натяжение. Благодаря нему струя распадается на капли, капли эти дробятся до некоторого предела, а капли достаточно малого диаметра ез сохраняются, так как действующие на них разрывающим образом ' Попытка же, предпринятая в статье [2] Е.
Н. Теверовским, обосновать необходимость применять при б, значительно меньших чем Хе, «закон двух третей» (у) не может считаться достаточно убедительной. Описываемые им в [2] явления могут найти и совсем другое объяснение. б0. О дроблении намело е турбулентном ното е разности скоростей порядка га при малых д малы и уже не з состоянии преодолеть поверхностное натяжение. Из гипотезы об универсальности безраамерной локальной структуры турбулентных потоков вытекает, что судьба капли диаметра Н должна зависеть только от безразмерных отношений Ы/йо и т'/т и числа Вебера Ч7еа — о/ибадр.
Вместо отношений Ийо и т'/т можно ввести два числа Рейнольдса Вел —— иф/т, Веб = пай/т'. В области диаметров капель одного порядка с внутренним масштабом Хо число безразмерных характеристик процесса, по-видимому, нельзя уменьшить, их должно быть три: ('ее'е„, ЮЛ„т'/т) или (М7еа, Веа, Веб), безразлично. Но при Ы, значительно меньших чем Х„мы попадаем в область значительного преобладания сил вязкости над силами инерции и безразмерных характеристик остается только дзе: %ел и т'/т. т'(<т или т'-о В области д,значительно больших чем Хо, роль вязкости первой жидкости должна быть мала. Если вязкость т' второй жидкости меньше или того же порядка, как и вязкость первой жидкости, то при бе, значительно больших чем Хо, можно пренебрегать и той и другой вязкостью.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
