Колмогоров А.Н. Уравнения турбулентного движения несжимаемой жидкости (1124030), страница 59
Текст из файла (страница 59)
Весьма вероятно, что в случае 4) спектр неизбежно непрерывен, но пока доказана только Т е о р е и а 4. При надлежащем выборе иррационального у и аналитической функции Р (х, у) спектр динамической системы непрерывен '. Преобразование координат, существование которого утверждается в теореме 2 и в п. 1), 2), 3) теоремы 3, может быть получено следующим образом: 2я и = — (т(х,у)+ Л(у — ух)), и=у+ у(и — х), где т(х,у)=)рЯ,У+у(5 — х))с($, у(у)=т(2п,у), ао = 2н ~ о (У) с(У = —. ~ ~ Р (х, У) Их ау, е е ' Т.
е. пе существует измеримой функции е (Р), ие равной с точностью до множества нуль константе, которая вдоль траекторий меияется по закову чг (Рг) = е ' ц'(Ре). 310 51. О див«ми««свих системах с ин»ге»раховым ингариантом на торе а Л (у) — решение функционального уравнения Л (у — 2яу) — Л (у) = Я (у) — ао, имеющее период 2н и удовлетворяющее условию ~ Л(у) 8у=(). е Если представить Я (у) в виде тригонометрического ряда Ю(у)=ао + Х а„еы» »ыо то Л (у) формально пишется в виде (6) ЛИТЕРАТУРА 1. Нгммцкий В.
В., Сгггваног В. В. Качественная теория дифференциальных уравнений. 2-е изд. Мх Физыатгиз, 1959. 2. Хвмчив А. Я. Метрические задачи теории иррациональных чисел.— УМН, 1936, вып. 1, с. 7 — 32. д (у)= Т3 в сггв. вто Условие (4) гарантирует сходимость ряда (7) к аналитической функции. Наличие в формуле (7) знаменателей, которые прн надлежащей арифметической природе иррациональности 7 могут быть очень малы, объясняет причины возникновения аномалий, отмеченных в теореме 3. Если ряд ~!.в-'., !' (8) сходится, то спектр дискретен и собственные функции имеют вид (5), При сделанном в самом начале допущении об аналитичности функции г" (х, у) коэффициенты а„с возрастанием ! п ! быстро убывают, малые же знаменатели в ряде (7) при любой иррациональности 7 могут встречаться лишь по раареженной последовательности значений п.
Поэтому в случае расходимости ряда (8) следует ожидать, что природа ряда (7) будет аналогична природе лакунарных рядов с расходящейся суммой квадратов коэффициентов, т. е. с рядом (7) нельзя будет связать естественным образом никакой измеримой функции Л (у). Поэтому вероятно, что в случае расходимости ряда (8) приведение динамической системы к виду (3) невозможно. Вероятно, в этом случае спектр неизбежно непрерывен, т.
е. для рассматриваемых нами динамических систем исключен случай смешанного спектра, а дискретный спектр всегда имеет ровно две независимые частоты. В заключение ваметим, что роль «малых знаменателей», мешающих сходнмости рядов, хорошо иввестна в небесной механике. 13 ноября 1953 г. ЮЗ.
О сохранении усвоено периодических движений 52 О СОХРАНЕНИИ УСЛОВНО ПЕРИОДИЧЕСКИХ ДВИЖЕНИИ ПРИ МАЛОМ ИЗМЕНЕНИИ ФУНКЦИИ ГАМИЛЬТОНА* Рассмотрим в 2г-мерном фазовом пространстве динамической системы с в степенями свободы область С, представленную в виде произведения в-мерного тора Т на область Я евклидова в-мерного пространства. Точки тора Т будем характеризовать круговыми координатами д„..., д, (замена Уа на уи+ 2п не менЯет точки д), кооРдинаты же точки р из Ь' будем обозначать р„..., р,.
Будем предполагать, что в области 6 в координатах (у„..., д„р„..., р,) уравнения движения имеют канонический вид два д ври д — Н(Ь р), — = — — Н(ър). (1) Н(а, р, О) =т+ ~~~~),ир„+ ~(~ ~~~~Ф„д(д) р рд+ О(! р(в), а ад (2) зде т и й,„— константы, и при некотором выборе констант с ) О и ц ) О для всех целочисленных векторов и выполняется неравенство ) (и, ),) ) ~ )с!! и )е. (О) в ДАН СССР, 1954, т.
98, № 4, с. 527 — 530. Функция Гамильтона Н далее предполагается зависящей от параметра О и определенной при всех (д, р) 5= 6, О 6= ( — с; + с), но не зависящей от времени. По существу дальнейшие рассмотрения имеют действительный характер, но требуют довольно значительных ограничений на гладкость функции Н (д, р, О), более сильных, чем бесконечная дифференцируемость. Для простоты во всем дальнейшем предполагается, что функция Н (д, р, О) аналитична по совокупности переменных (д, р, О).
Суммирование по греческим индексам предполагается далее распространенным от 1 до в. Употребляются обычные векторные обозначения: (х, у) =,~~ х„у„, ) х ) = + )/ (х, х). Целочисленным вектоа ром называется вектор, все компоненты которого целые числа. Множество точек (д, р) из П с р = с обозначается Т,. В теореме 1 предполагается, что Я содержит точку р = О, т. е. Т, с: П. Теорема 1. Пусть 3)2 дз. О сохронении условно периодических движений Пусть, кроме того, детерминант, составленный из средних значений р„з(О)=, ~ ~ (Р„з(у)ду,... дд, 1 (2а) функций дН отличен от нуля: ~ р„, (О) ! ~ О.
(4р 'в' в е" ~ С, которое приводит Н к виду Н=М(О) + Х),Р. + О(р') а (б> (М (О) не зависит от (,) и Р). Легко понять значение теоремы 1 для механики. Она показывает, что в-параметрическое семейство условно периодических движений да = )саг + ча е ра = О, (о) существующее при О = О, не может при условиях (2) и (3) исчезнуть в результате малого изменения функции Гамильтона Н: произойдет лишь смещение обегаемого траекториями этих движений з-мерного тора То в тор Р = О, который останется заполненным траекториями условно периодических движений с теми же частотами Х„..., 2„. Преобразование (О Р) = Ке(у, р), существование которого утверждается в теореме 1, может быть построено в виде предела преобразований (Е("), Р') = КР (у, р), где преобразования (()(м) Р(м)) г(м) ( ) (фем Р(мп)) е(мы) (О( ) Р(м)) находятся при помощи «обобщенного метода Ньютона» (см. [1)).
В этой заметке мы ограничимся построением преобразования Кеп = = Я), что позволит уже понять роль условий (3) и (4) теоремы 1. Тогда существуют определенные для всех достаточно малых 9 и для всех точек ((), Р) некоторой окрестности в' множеппва Т, аналитические функции Ра (Ч', Р, О) и Са ((), Р, О), осуществляющие преобразование прикосновения да=Е.+ОР.Е,Р,О), р.=р.+ОС.(Е,Р,О) де. 0 сохранении условно периодических движений 313 Зададим преобразование Я> формулами ~>»> = д„+ ОУ„®, ра — — Ра + О ~ ~~~ Рд д + аеа+ д Х(д)) д (6) (легко проверить, что это преобразование прикосновения) и будем искать константы $а и >".
и функции Х (>7) и Уа (д), исходя из гребо. вания, чтобы Н=>Я+ ХЛссРа+ lеХФад(Ч)раР> + О (А(о) +,'~~ Ва(о) Ра)+ а а,з а +О(!Р!и+О!Ив+ О') (7) имело вид Н=>в+ О~+,'ЯЛ„Раи>+ О(!Рсо!е+ О'). (8) Подставляя (6) в (7), получим Н=т+ >> ЛаРаи>+О~А + ч> >Ла($а+ — )~+ а а + О~Ра' (Ва+ ~ Фаз(Ч) ~Вз+ д . ) + ~ Лд д ~+ дда ддд +О(!Рн>Р+О). А+~ Л„(й„+ — ) =~, (9) дХ > ду Ва+ е> Ф д ($й+ — ) + ч> Лд — =О.
Введем функции г.(д) =~Ф (д) —,' Х(д). д дауд Разложив функции Фаз, А, Ва, Х, У„, Я~ в ряды Фурье вида Х(д) = ~х(п)ец" о> н положив для определенности х (0) = О, уа (0) = О, (12) Таким образом, наше требование (8) сводится к тому, чтобы выполнялись уравнения! 314 22. О сохронении условно периодических движений получим для остальных подлежащих определению коэффициентов Фурье х (п), у„(п), зи (я) и констант Ри и ь уравнения а(0)+ ~ЛДи= ь, а(п)+ Е(п, Л) (х(к) =0 при ачьО, (13) (14) где д«д — г(д»... с(Ь о — «средняя частота» по координате дз при фиксированных импульсах р„..., р„то условие (3) обоаначает, что якобиан средних частот по импульсам отличен от нуля.
Перейдем теперь к рассмотрению того специального случая, когда Н (д, р, 0) зависит только от р, т. е. Н (д, р, 0) = И'(р). В этом случае при 6 = 0 каждый тор Тр состоит из полных траекторий условно периодических движений с частотами Л„(р) = дВ7дри. ои (0) + ~ ср з (0) $а + ьи (0) = О, (15) з Ьи(л) + Хораз (л) сз + зи(л) + 1(л, Л) уи (и) = 0 прп л чьО. (16) з Легко видеть, что система (11) — (16) однозначно решается при условиях (3) и (4). Условие (3) существенно при определении х (и) из (14) и при определении у„(п) из (16). Условие (4) существенно при определении $з из (15). Так как коэффициенты рядов Фурье анали- тических функций Ф„а, А и Ви при возрастании ! и ) имеют порядок убывания не меньше р'"~, р ( 1, то из условия (3) вытекает не только формальная разрешимость уравнений (13) — (16), но и сходимость рядов Фурье для функций Х, 1'и и Яи и аналитичность этих функций.
Построение дальнейших приближений не связано с новыми трудно- стями. Несколько тоньше лишь использование условия (3) для дока- аательства сходимости отображений К~с к аналитическому предель- ному отображению Кэ. Условие отсутствия «малых знаменателей» (3) следует считать, «вообще говоря», выполненным, так как при любом ц ) г — 1 для всех точек г-мерного пространства Л = (Л„..., Л,), кроме множест- ва лебеговской меры нуль, можно найти с (Л), при котором ) (и, Л) /; с (Л)!/ п /ч, каковы бы ни были целые п„п„..., пе (см. [2]). Условие (4) тоже естественно считать, «вообще говоря», выполненным. Так как дЛз р„, (о) = —,' (о), 315 52.
О сохранении условно периодических движений Если якобиан (17) отличен от нуля, то почти ко всем торам Тр можно применить теорему 1, Возникает естественное предположейие, что при малых О полученные в соответствии с теоремой 1 «сдвинутые торы» заполняют большую часть области С. Это и подтверждается указываемой далее теоремой 2. При формулировке этой теоремы будем считать область Я ограниченной и введем в рассмотрение множество Мэ тех точек (д< >, р<о>) 6= С, для которых решение да (1) = й (1; д<в>, р1о>, О), ра (1) = уа (1; д1«>, р1»>, О) системы уравнений (1) с начальными условиями ча (О) = ва г ра (О) =- ра 1»> 1о> приводит к траекториям, не выводящим при изменении 1 от — оо до [-со из области С, и условно периодично с периодами = Ха (91»>, ргоо, О), т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
