Колмогоров А.Н. Уравнения турбулентного движения несжимаемой жидкости (1124030), страница 62
Текст из файла (страница 62)
Осиеая теория динамических систем и классическая механика 323 Уравнения движения имеют вид доа дче' аРа — — — "=О. и дда ' дэ Очевидно, что торы Т~„выделяемые условиями р =с,, ра=с„ инвариантны и на каждом из них происходит условно периодическое движение дта д =да(С)= — И (СМСа) с двумя частотами, зависящими от с. Предположим, что якобиан час- тот )ча по импульсам р„отличен от, нуля: ( —,' )=,—,„)ко. (4) Оказывается, что в этом случае раабиение рассматриваемой области четырехмерного пространства И' на двумерные торы Т' в основном устойчиво по отношению к малым изменениям Н вида Н (д, р, Е) = И (р) + ЕВ (, р, 6).
Чтобы получить точную формулировку, рассмотрим область сс с: йс, определяемую условием р Е== В, где  — ограниченная область на плоскости точек р. В предположении аналитичности функций И' и Я и при условии(4) можно доказать следующее: для любого е) О существует такое 6 ) О, что при ~ 0 ~ ( б в динамической системе дча д дда д — „" = — Н(ч,р,В), —," =, Н(р,р,о) вся область 6, кроме множества меры меньше е, состоит из инвари- антных двумерных торов Т', на каждом из которых в надлежащих (аналитически зависящих от д, р) круговых координатах движение определяется уравнениями с(Ьди = Кь ИЬ~с(С = ), мя степенями свободы, не интегрируемых классическими методами, в которых существенную роль играют инвариантные (по отношению к преобразованиям Яс) двумерные торы.
Чтобы убедиться в том, что такие примеры существуют, рассмотрим, примыкая к проведенному Виркхофом (61 исследованию окрестности эллиптического периодического движения, систему с круговыми координатами д„дх и импульсами р„р„для которой НИ р) = ~'(р). 324 бд. Общая те»рая динамических систем и классическая механика где е„и )с на каждом Т» постоянны, т. е.
являются условно периодическими с двумя периодами. Метод докаэательства эаключается в том, что прослеживается судьба первоначальных торов Т, 'с частотами 2 (с), удовлетворяющими условию (2), при изменении Б и устанавливается, что каждый такой тор при достаточно малом е не раэрушается, а лишь смещается в 42, сохраняя на себе траектории условно периодических движений с постоянными частотами яа. Вероятно, многие слушатели уже догадались, что дело идет по существу о некоторой переработке широко дискутировавшейся в литературе по небесной механике идеи о возможности набежать появления ненормально «малых знаменателей» при расчете возмущенных орбит. Однако в отличие от обычной теории возмущений я получаю точные результаты, а не вывод о сходимости рядов того или иного приближения конечного порядка (относительно Б). Это достигается благодаря тому, что вместо расчета воэмущенного движения при фиксированных начальных условиях я сами начальные условия меняю так, чтобы при изменении 0 все время попадать на движения с нормальными (в смысле условия (2)) частотами 2«с.
Сделаю еще три замечания по поводу сказанного. т. Теорема о приводимости движений на Т» к виду (3) может быть доказана и при условиях достаточно высокого порядка конечнократной дифференцируемости функций г" и М (естественно, с соответствующим ослаблением заключения).
Теорема о сохранении торов в 42«, наоборот, по-видимому, необходимо требует, если не аналитичности И" (р) и о (д, р, 6), то существования у этих функций бесконечного числа проиэводных, подчиненных некоторым ограничениям на порядок их роста. 2. Предусмотренное во второй теореме исключительное множество меры х. э действительно может окаэаться всюду плотным и, вероятно, положительной меры при сколь угодно малых Б.
Это явление аналогично «зонам неустойчивости», обнаруженным Биркхофом при исследовании окрестностей эллиптических периодических траекторий (6). 3. В качестве одного иэ специальных случаев, к которым применимо все сказанное выше, можно укаэать на движение по инерции по аналитической поверхности, блиэкой к трехосному эллипсоиду. 4 3 ЯВЛЯЮТСЯ ЛИ, «ВООБЩЕ ГОВОРЯ», ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ НА КОМПАКТНЫХ МНОГООБРАЗИЯХ ТРАНЗИТИВНЫМИ И СЛЕДУЕТ ЛИ НЕПРЕРЫВНЫЙ СПЕКТР СЧИТАТЬ «ОБЩИМ» СЛУЧАЕМ, А ДИСКРЕТНЫЙ вЂ” «ИСКЛЮЧИТЕЛЬНЫМ»2 Гипотеза о преимущественном эначении транэитивного случая и случая непрерывного спектра (перемешивания) неоднократно выскаэывалась в связи с «эргодическими» гипотезами в физике. В применении к каноническим системам обе эти гипотеэы естественно от- Юд.
Общая теория динамических систем и классическая механика 325 носить лишь к (2г — 1)-мерным инвариантным многообразиям Т,„" ', которые выделяются требованием постоянства энергии Н=Й, и относить их только к случаю компактных Ьь, так как на некомпактных Ьь~' ~ в самых простых задачах имеются (и обычно господствуют по мере) «уходящие» траектории, о которых речь будет идти далее (в $4). В случае откааа от первой гипотезы вторую естественно относить уже не ко всему многообразию Й" (или алям ' в случае канонических систем), а к тем эргодическим множествам, на которые распадается Я" (разрешая, конечно, пренебрегать эргодическими множествами, сумма которых имеет меру нуль). В применении к аналитическим каноническим системам на оба вопроса следует ответить отрицательно,так как теорема об устойчивости раабиения на торы, высказанная нами для систем с двумя степенями свободы, сохраняется и при любом числе степеней свободы.
Если в 2я-мерномтороидальномслоебфазового пространства(б" Н(, р, Е) = К(р)+ВЮ(~, р, О), то при О = О этот слой очевидным образом распадается на инвариантные г-мерные торы Т', на каждом из которых движение условно периодично с д периодами, причем в случае на почти всех торах Тр периоды независимы в смысле (я, Л) = Х паЛа Ф О а при любых целых л„и поэтому траектории обвивают тор всюду плотно, г-мерная лебеговская мера на Т' транзитивна и весь тор представляет собой одно эргодическое множество. Теоремы 1 и 2 моей заметки (22] утверждают, что в описанной обстановке при малых 6 вся зта картина изменяется только в том отношении, что некоторые торы, соответствующие системам частот, для которых выражения (и, Л) убывают с возрастанием ) л ) = 3'р~ и ~ слишком быстро, могут исчезнуть, большинство же торов Тр, сохраняя характер происходящих на них движений, несколькосмещаются в ьлм, продолжая при малых О заполнять 6 с точностью до множества малой меры.
Таким образом, при малых иаменениях Н динамическая система остается нетранзитивной, а область 6 с точностью до остатка малой меры остается распадающейся на эргодические множества с дискретным спектром (указанной специальной природы). 626 бд. Общая теория динамических систем и классическая механика В связи с этим интересно отметить, что некоторыми физиками (см., например, (7)) высказывалась как раз гипотеза, что «общим случаем» канонической динамической системы беэ уходящих траекторий является как раэ распадение исае на г-мерные торы Т', несущие на себе условно периодические движения с г периодами.
Идея эта, повидимому, основана только на преимущественном внимании к линейным системам и к ограниченному набору интегрируемых классических задач, но во всяком случае следует отметить, что методы доказательства приведенной выше теоремы существенно привязаны именно к расслоению ьс~ на торы Т' и неприменимы к расслоению на торы какой-либо иной размерности г ) г или г ( ю В общем виде указанная сейчас гипотеза вряд ли может быть поддерживаема, так как весьма вероятно, что при любом г имеются примеры канонических систем с з степенями свободы и устойчивыми транзитивностью и перемешиванием на многообразиях А~я' '. Я имею в виду движение по геодезическим на компактных многообразиях У' постоянной отрицательной кривизны, т.
е. динамические системы с Н (Ч, Р) = Яра 6 (д) Рарз где д„ вЂ” координаты на компактном многообразии T постоянной отрицательной кривизны, а л 6 — компоненты метрического тензора на $". Устойчивость отрицательной кривизны по отношению к малым изменениям функций д з (д) не требует пояснений. Затруднения заключаются лишь в том, что изменение функций лаэ (д) не является единственным возможным видом изменений функции Н (д, р), а транзитивность и перемешивание при г ' 2 остаются доказанными лишь для случая постоянной кривизны, в то время как при варьировании лаз кривизна перестает быть постоянной.
Второе затруднение в случае г = 2, для которого транвитивность доказана и при переменной кривизне, отпадает. Первое же не существует, если ограничиться функциями Н (с7, р) вида Н (Ч~ Р) = Н (Ч) + Х Уаз (Ч) РиРз (2) иа (которыми, собственно говоря, и занимается классическая механика), так как переходом к новой метрике системы вида (2) сводятся к системам вида (1). Если вспомнить то,.что было ранее сказано о движении по инерции по поверхностям, близким к трехосному эллипсоиду, то мы приходим к выводу, что уже в простейших задачах классической механики приходится считаться как с устойчивыми и поэтому имеющими право на равное и основное внимание по меньшей мере с двумя рассмотренными случаями, иа которых один связан с транзитивностью на многообразиях постоянной энергии и непрерывным спектром, а бд.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
