Колмогоров А.Н. Уравнения турбулентного движения несжимаемой жидкости (1124030), страница 66
Текст из файла (страница 66)
Зто их свойство могло бы быть включено в формулировку нашей теоремы. Из 5) и 3) вытекает 6) ~фуо(хр) е.=.Ло$,;,.л при (хы...,х„)~Я;, л . 12 ПОСТРОЕНИЕ ФУНКЦИЙ тч Установив существование функций орн» и констант Лф и е„, обладающих свойствами 1) — 6), переходим к доказательству основной теоремы. Искомые функции уо (у) будут построены в виде от =11ш)1~, с ю где то ани О, а 11'с для г ) О будут определены с помощью индукции по г одновременно с натуральными Й,. Мы будем при этом употреблять обозначения ~,(",..., .)=ХЛ',[Хф" (;)1, ч р И1 н (3) Очевидно, что Го — = О ото = з"Р! 1! лн ДопУстим, что непРеРывные фУнкции 11о х и номеР Йе о Уже определены.
Тем самым определена на Е" и непрерывная функция /„в. Так как диаметры кубиков Я,;,...1 при Й вЂ” оо стремятся к нулю, то можно выбрать Й, столь большим, чтобы колебание разности Я 1 у — 1е г на любом Юо,;,,; не превосходило — М Пусть Ял — произвольные точки из соответствующих сегментов А~о,ь На сегменте ЛЗ,;,...1 положим Х'(у)=Х'-о(у)+ „, (1(6,» 0, „) — 1с-г(6,.„,Ялн)) (5) бб. 0 представлении непрерывныа фуннциа в ниде суперпввициа 343 Очевидно, что фиксированные таким образом значения функции у» подчинены неравенству !Х'(у)-Х',(у))( — „, М,, где )сею! ( — — — ~- М„ы.
(9) Слагаемые из Х" оцениваются при помощи (6). Иэ (5) вместе с (8), (9) и (6) получаем !1 — 1,)=~ — „, ~~~, «'+~~~, (х' — хГ-т)~< $ л 2п+ 1 < 2л+2 " л+1 2л+2 М„,+ Мсы Так как неравенство (10) справедливо в любой точке (хд, .,х)ЕЕл, то (11) Из (6) и (11) вытекает, что разности т» — )(с» в не превосходят по Вие сегментов Лу»,;,,, л доопределим функцию )(» произвольно, но с соблюдением этого же неравенства (6) и непрерывности. Оценим теперь 1 — 1„в произвольной точке (хм..., хп) иэ Е".
Очевидно, что 1(хм ° ° т ) — 1 (хм..., х„) = 1(хм..., х„) — 1е г(хы..., х„)— — ~ ()(~ !,~~ врр» (хр) ~ — )(~ в ~ „~~ ф"» (хр) )1 . (7) » Р У Сумму 3 в (7) представим в виде Х' + Х", где сумма Е' распространена на некоторые п + 1 значений д, для которых точка (х„... ..., х„) входит в какой-либо иэ кубиков 8»»,;, ... » (такие существуют по лемме 1), а сумма Х" распространена на остающиеся и значения д. Для каждого слагаемого иэ Е' получаем в силу (5) 2» ~ ~Г вру»(хр)~ — т», ! у ф"'(х„)~ = 1 Ц(ту~ ау ) 1,До а ау, )) л -)- Г » [1(хв ° ° ° х ) — 1.»(хв ° ° ° х Ц+ — в (8) 344 67. О линейной размерности тоиологииесиих иространстз абсолютной величине соответствующих членов абсолютно сходяще- гося ряда Поэтому функции (о при г- сю равномерно сходятся к непрерывным предельным функциям тс.
Иа соотношений (3) и (4) и оценки (11) предельным переходом прн г — ь сс получаем равенство (1), чем и заканчивается доказательство теоремы. 20 июня 1957 г. ЛИТЕРАТУРА 1. Колмогоров А. Н. О представлении непрерывных функций нескольких переменных супврпоавцввыи непрерывных функций меньшего числа переменных.— ДАН СССР, 1956, т. 108, № 2, с. 179 — 182. 2. АРнольд В. К. 0 представлении непрерывных функций трех переменных суперпоапцпвыи непрерывных фупкпвй лвух переменных.— ДАН СССР, 1957, т. 114, № 4, с. 679 — 681.
О ЛИНЕЙНОЙ РАЗМЕРНОСТИ ТОПОЛОГИЧЕСКИХ ВЕКТОРНЫХ ПРОСТРАНСТВ э Два топологических векторных пространства Е и Е' называются изоморфными, если между ними можно установить взаимно однозначное линейное и в обе стороны непрерывное соответствие. Хорошо иавестно, что все топологические векторные пространства одной и той же конечной размерности п иэоморфны между собой. В этом тривиальном случае размерность пространства с1 (Е) удовлетворяет требованиям: а) если Е изоморфно замкнутому линейному подпространству пространства Е', то г1(Е) < с1(Е'); б) если Е' линейно и непрерывно отображается на Е, то с1(Е) < ~( сг (Е').
Банах в гл. ХП своей известной монографии [1) дал обобщение понятия размерности на случай бесконечномерных векторных пространств, исходя из желания сохранить при этом свойство а). В 9 1 настоящей заметки мы вводим линейную размерность б (Е), удовлетворяющую обоим требованиям а) и б). Классификация пространств по размерности получается при этом, естественно, несколько более бедной, чем у Банаха, но в некоторых отношениях более естествен- а ДАН СССР, 1958, т.
120, с. 239 — 241. йт. О оинейной раемерноети топоооеинеепих пространств 345 ной. Для простоты и непосредственной связи с определением Банаха мы будем все рассматриваемые далее пространства предполагать пространствами типа Р (см. [1, гл. Н1)).
Можно считать общеизвестным, как вводится метрика типа Р в следующих пространствах, которые будут далее рассмотрены в качестве примеров: С'„Р~ — пространство действительных функций 1 (хы..., х„), определенных на и-мерном единичном кубе, имеющих непрерывные частные проиаводные до порядка р включительно, с топологией равномерной сходимости вместе с частными производными до порядка р включительно," В~„ ~ — пространство действительных функций ) (х„ ...,з„) от и действительных переменных з,, ...,х„, периодических с периодом .2я по каждому переменному и имеющих непрерывные частные производные всех порядков, с топологией равномерной сходимости как самих функций, так и нх частных производных любого порядка; А„— пространство функций ~ (г,..., з„) от п комплексных с переменных г„..., з„, аналитических в ограниченной открытой области С комплексного п-мерного пространства, с топологией равномерной сходнмости на каждом компакте К С: 6.
Традиции и опыт классического анализа заставляют считать, что пространства функций от большего числа переменных должны быть «богаче» элементами, чем пространства функций от меньшего числа переменных: если решение задачи зависит от «произвольной» функции одного переменного, то считают, что «произвол» в выборе решения меньше, чем если решение зависит от произвольной функции .двух переменных, и т. д.
Мы увидим далее, что в случае аналитических функций такие представления находят себе опору в соответствующих неравенствах линейных размерностей (теоремы 4 и 10). Этот результат мы и рассматриваем как наиболее интересный в настоящей заметке. Наоборот, для пространства функций конечной гладкости указанное ожидание, основанное на опыте классического анализа, не находит себе подтверждения в свойствах линейной размерности. Например, из результатов, наложенных в гл. ХН монографии Банаха (1], легко извлечь, что все пространства Сйи~ имеют независимо от значений и и р одну и ту же банахову размерность «Ншь Так как иэ равенства с)1ш~ (Е) = Й1ш~ (Е') всегда вытекает б (Е) = 6 (Е'), то то же самое относится и к вводимой нами размерности Ь (Е). Обращение к пространствам бесконечно дифференцируемых функций не меняет дела. Например, все пространства В~„~ имеют одну и ту же размерность йш~ и одну и ту же размерность 6, так как верна следующая Т е о р е м а 1.
Все пространства В~„~, п = 1, 2,..., ивоморфны (см. (5)) 346 й7. О линейной размерности тонолосичссниа нространстз 11 ЛИНЕЙНАЯ РАЗМЕРНОСТЬ б (Е) Следуя Банаху, мы введем функцию 6, определив смысл неравенства 6 (Е) ( 6 (Е'). Этим функция 6 определяется с точностью до сохраняющего порядок взаимно однозначного отображения частично упорядоченного множества ее значений 6 на новое частично упорядоченное множество Ь'. По определению(1) обозначает, что существует замкнутое линейное надпространство Е' пространства Е', отобрааимое линейно и непрерывно на пространство Е. Необходимая для корректности определения функции транзитивность определенного таким обрааом отношения (1) легко~ доказывается. Отметим здесь одно из свойств размерности 6 (Е), отсутствующее у банаховой раамерности 61ш,(Е).
Т е о р е и а 2. Если пространстпва Е и Е' ба ховы (типа В) и рефлексивные, то неравенство (1) равносильно неравенству 6 (Е) ( 6(Е') (2) между размерностями сопряженных пространств. Иэ теоремы 2 и результатов гл. ХП монографии Банаха [1) можно легко извлечь ряд результатов, относящихся к размерности 6 (Е) банаховых пространств, на которых мы не останавливаемся.
Вместо этого мы сформулируем здесь несколько теорем о размерности 6 пространств аналитических функций. Т е о р е м а 3. Если са и С' — две ограниченные конечносвязные области на комплексной плоскости, то 6 (Ао) = 6 (Ао ). Обобщение теоремы 3 на функции многих переменных пока доказано только в следующей форме. Пусть С„..., ф— ограниченные конечносвязные области на комплексной плоскости и 6 = 6г Р' ,Сс м х... х 1"„; тогда имеет место следующая Т е о р е м а За. Размерность 6 (А„) = а не зависит от выбора о ОбЛаетЕй СМ Саз ° °, 1ли. Для введенной в теореме За размерности аи верна Теорема4.
Если п(п',тосги<ио.' Размерность 6 (Е) занимает крайнее положение среди всех линейных размерностей, удовлетворяющих условиям а) и б). Т е о р е м а 5. 7юбая функцияб (Е), удовлетворяюи1ая условиям а) и б), представима в виде д (Е) = 1 [6 (Е)), причем из 6 (Е) ( 6 (Е') вытекает с1 (Е) ( Ы (Е'). Е7. О линейной размерности тоноаозичесним иространсте 347 Среди таких функций «1 (Е), подчиненных б (Е) и более бедных в смысле возможности различения пространств по размерности, мы рассмотрим лишь одну, которую назовем «аппроксимативной размерностью». При ее помощи и доказывается теорема 4, являющаяся непосредственным следствием теоремы За и приводимой далее теоремы 1О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
