Колмогоров А.Н. Уравнения турбулентного движения несжимаемой жидкости (1124030), страница 67
Текст из файла (страница 67)
1 2 АППРОКСИМАТИВНАЯ РАЗМЕРНОСТЬ аа(Е) Каждому пространству Е типа Р поставим в соответствие класс Ф (Е) функций ф (з), определенных для е ) О при помощи условия ф ~ Ф (Е), если для любого компакта К С Е и любой открытой окрестности У нулевого элемента 6 в Е существует такое з„что при любом е ( ео можно найти У ( ф (з) точек х„..., хн пространства Е так, что КС () (х +еУ). затми Дза пространства Е и Е' имеют одну и ту же аппроксимативную размерность с1, (Е) = с(а (Е'), если Ф (Е) = Ф (Е'). По определению имеет место неравенство с1, (Е) ( Ы, (Е'), если Ф (Е):З Ф (Е'). Аналогично определяются отношения ), <.', ), '1 (несравнимость). Аппроксимативная размерность может быть во многих случаях вычислена при помощи методов, примыкающих к работам, посвященным е-энтропии и е-емкости метрических пространств (см.
(2 — 4)). Приводим некоторые простейшие результаты в этом направлении. Т е о р е м а 6. Д'ля и-мерного пространства Ен при конечном и множестпво Ф определяется условием ф ~ Ф, если 11ш (з"ф (з)) = оо, Е со Т е о р е м а 7. Для бесконечномерного банахова пространства Е множество Ф пусто.
Таким образом, все бесконечномерные банаховы пространства имеют общую размерность с(, (Е) = з, которая является максимальной среди размерностей сз (Е). Нам кажется, что этот результат не должен рассматриваться как обстоятельство, компрометирующее размерность с(,. Она является содержательным понятием для пространств, в известном смысле более близких к конечномерным, какими являются приобретающие все болыпее значение в аналиае счетнонормированные пространства такого типа, как ВГ~ и Ао. Т е о р е м а 8.
Аппроксимативная раамерность пространств В~ > не зависит от и и определяется условием ф Е= Ф, если суирествует такое о ) О, что 1пп (е' 1оя ф (е)) = О. 348 58. Уточнение представлений о локальной структуре турбулвнтности Т е о р е м а 9. Аппроксимативная размерность а, пространств Аа (гг — произвольная ограниченная открытая область ь-мерного комплексного прогтранппва) не зависит от выбора области б и определяетея условием ф Е= Ф, если в е (!08 (1/г)) Из теоремы 9 непосредственно вытекает Теорема 10. Если г(з", то а,(а, 18 уезраля 1958 г.
ЛИТЕРАТУРА) 1. Вопаса Ю. Орете!!опв !!пса!гев. Рвмв, 1933. 2. Колмогоров А. Н.— ДАН СССР, 1956, т. 108, № 3, с. 385 — 388. 3. Тихомиров В. М.— ДАН СССР, 1957> т. 117„№ 2, с. 191 — 194. 4. Витушкин А. Г.— ДАН СССР, 1957, т. 117, № 5, с. 745 — 747.
5. Вгогавпй!вой А.— Мепь Агоег. МвгЬ. 8ос., 1955, )Ч 16. УТОЧНЕНИЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ О ЛОКАЛЬНОЙ СТРУКТУРЕ ТУРБУЛЕНТНОГТИ В НЕСЖИМАЕМОЙ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ ПРИ БОЛЬШИХ ЧИСЛАХ РЕЙНОЛЬДСА е В программу примыкающего к нашему коллоквиуму симпозиума включен доклад А.
М. Обухова '. Один из разделов этого доклада посвящен уточнению представлений о локальной структуре турбулентности и) имеет более широкий интерес для всех специалистов в области статистической теории турбулентности. По просьбе некоторых участников коллоквиума я хочу изложить здесь более подробно происхождение этих уточнений и дать изложение последних результатов А. М. Обухова в этой области. Разработанные в 1939 — 1941 гг. мною (1 — 3) и А. М. Обуховым [4, 5) представления о локальном строении турбулентности при больших числах Рейнольдса имели своей наглядной основой идею Ричардсона о существовании в турбулентном потоке вихрей всех возможных масштабов 1(г(Ь * !п: Месап!с)пе Ае !а !пгЬп!енсе: Со!!сс.
1п!егп. Сгч'88, Магве!!!е, асй!— вер!. 1961!На рус. и фр. яг. Раг!в, 1962, р. 447 — 458. х 8огое грег!!!с 1ев!пгев о1 а!шсврЬег!с !пгЬп!епсе.— 1. Р!и!6 МесЬ., 1962, чо!. 13, 5! 1, р. 77 — 81. бд. Уточнение представлений о локальной структуре турбулентности 349 между «внешним масштабом» л. и «внутренним масштабом» 1 и некоторого единообразного механизма передачи энергии от вихрей более крупного масштаба к вихрям более мелкого масштаба. Эти представления, к которым пришли независимо и ряд других авторов, получили весьма широкое распространение. Однако еще вскоре после их возникновения Л.
Д. Ландау заметил, что они не учитывают одного обстоятельства, которое непосредственно вытекает из предположений о существенно случайном, хаотическом характере механизма передачи энергии от более крупных вихрей к более мелким: с возрастанием отношения Х,: 1 изменчивость диссипации энергии должна неограниченно возрастать. Более точно, естественно предположить, что дисперсия логарифма величиныеимеетприЬ: 1)) 1 асимптотику вида с1,«, А + 1«' [оа (ЕЛ), где 1«' — некоторая универсальная константа.
Лишь недавно А. М. Обухов наметил путь к уточнению результатов [1 — 5] с учетом замечания Л. Д. Ландау. Этот путь опирается на рассмотрение диссипации е (х,1)= [[ з(х+[»,1)с[[», ~ь[че (2) где й — универсальная константа, а А (х,д) зависит от макроструктуры потока. Мое изложение концепции А. М. Обухова будет примыкать непосредственно к [1) и опираться на соответствующее видоизменение двух гипотез подобия из [1).
В виде третьей гипотезы будет использована уже сформулированная гипотеза нормальности распределения логарифма е, с формулой (2) для дисперсии этого логарифма. Известная формула Вла (г) = Сгпве-Чв из [1[ при новых допущениях заменяется формулой Ва, (г) = С (х, г) гч с л (Иг)-", осредненной по сфере радиуса г, и допущение, что при большом отношении 1,: г логарифм величины е„(х, 1) имеет нормальное распределение.
Кстественно считать, что дисперсия логарифма з„(х, 11 имеет вид и» (х, 1) = А (х, 1) + 9Й1оя (Ыт), 350 5В. ук>очненне нредсоенеленнй о локальной структуре турвулентностн где й — константа из (2), а множитель С (х, г) зависит от макроструктуры потока. Вместо предложения о постоянстве асимметрии Я(г)= ~" я (В„(сцу при / н!"= г ~< Х., сформулированного в (21, получим теперь Я (г) = Яо (Иг)вйе>с, (4) где коэффициент Яо тоже зависит от макроструктуры потока. Свяжем с масштабом длины г и точкой (х, с) масштабы времени и скорости Т„=г'>ее„уе, - у„=гн~е„" и «внутренний масштаб» длины с„= тусе„н'.
Очевидно, что образованное из У„и г число Рейнольдса выражается через отношение г: 1„по формуле Ве = У„г/т = (г/1 )чч (б) Координаты хс;, ~' точки (х', 8') из окрестности точки (х, ~) выразим через безразмерные с„и т: ха = хн + Гог, е = с + т7». Введем безразмерные относительные скорости ин (х+ й., «+ «Г„) — и„(х, «) рн(5,т)— Первая гипотеза подобия.
Еслиг ~~А,то при заданных сна, тй>, а = 1, 2, 3; й = 1, 2,..., и, условное распределе<»> ние Зп величин у (»зе»> тй>) при фиксированном значении Ве„= Ве зависит только от Ке и одинаково во всех турбулентных потоках, Вторая гипотеза подобия. При Ке~) ~ указанные в первой зипогиезе распределения не зависят от Ке. Безусловные математические ожидания (средние) будем обозначать чертой сверху. Так как з почти постоянно в областях, малых по сравнению с внешним масштабом Ь, то при г (( Ь можно считать е„= е.
(е) ВВ. уточнение нредстаелений о локальной струнтуре одурбуаентности 35$ Рассмотрим разность продольных компонент скоростей в двух точках на расстоянии г: Авй (д') = с/д (Х + Г, Хо, Хо, д) — д/д (Хд1 Хое Хз ))' Легко видеть, что Авл (г) = Г'д (1, О, О, 0) гнее„с'. (7) Коли г )) 1, где 1 верхняя грань (за исключением случаев пренебрегаемо мало вероятных) внутреннего масштаба 1„, то из (6), (7) и гипотез 1 и 11 вытекает, что ) Авв (г)(8 = Сге, (8) где С вЂ” абсолютная константа. Теперь следует воспользоваться отмеченной А. М. Обуховым формулой, выражающей моменты величин, имеющих логарифмически нормальный закон распределения. Эта формула такова (9) 1Р = ехр (рт + р'о'/2), где т и о' — среднее и дисперсия 1оя ес.
Из (2) и (7) †(9) вытекает (Авв (г)]Р = С (х,"г) (Гй)Р18 (Х/г)дйи-оно (10) в частности, при р = 2 Ь~м (г) = С, (х, 1) (ге)'~е (Иг)-", т. е. формула (3). Так как сохраняет силу укаванная в (2) формула Вввв (г) = — (4/5) ег, то из (3) вытекает (4). Возможно освободить наше изложение от специального выбора лежащей в основе рассмотрений А. М. Обухова величины е, (х, д). Две гипотезы подобия формулируются тогда так: Первая гипотеза подобия. Если (хве — х )<',. ~ Ь, /с = О, 1,..., и, то условное распределение 3п величин Г/ (кД8>) 1Г се=1,2,3; /8=1,2,...,п, (11') г/ (хсо~) — г/ (х) зависит только от числа Рейнольдса ) У (х<о~) — 1Г (х) ) ) хез — дд Ве— т бв.
К. С. Александров и теория бг-внврациа 352 В т о р а я г и п о т е з а п о д о б и я. При Ве>) 1 указанные в первой гипотезе распределения не зависят от Ве. Существенное содержание дополнительных допущений А. М. Обухова может быть сформулировано так: Т р е т ь я г и п о т е з а. Две группы величин (11) стохастически независимы, если в первой группе (х<Ю вЂ” х (~ )гю во второй (хоо — х)(т, гг )) гю Естественно, что при желании извлечь иэ третьей гипотезыстрого математически нужную нам логарифмическую нормальность распределений разностей скоростей н формулу для дисперсий логарифмов этих разностей, аналогичную (1), (2), необходимо уточнить формулировку этой гипотезы.
1 севтября 1961 г. ЛИТЕРАТУРА 4. Квамвгврвв А. К. Локальная структура турбулентиостп з несжимаемой вязкой жидкости при очень больших числах Рейнольдса.— ДАН СССР, 1941, т. 30, № 4, с. 299 — 303. 2. Квлмвгврвв А. Н. К вырождению иэстропяой турбулентности в несжимаемой вязкой жидкости.— ДАН СССР, 1941, т. 31, № 6, с. 538 — 541. 3. Колмогоров А.
Н. Рассепвпе эперглм при локально пэотропной турбулектности.— ДАН СССР, 1941, т. 32, № 1, с. 19 — 21. 4. Обухов А . М. О распределенпм эпергкп э спектре турбулеитиого потока.— ДАН СССР, 1941, т. 32, № 1, с. 22 — 24. 5. Обухов А. М.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
