Колмогоров А.Н. Уравнения турбулентного движения несжимаемой жидкости (1124030), страница 63
Текст из файла (страница 63)
Общая теория динамических систем и классическая механика 327 другой — с отсутствием транэитивности и по преимуществу дискретным спектром. Аналогичных результатов об устойчивости того или иного общего типа поведения неканонических динамических систем с интегральным инвариантом и компактным 1ск мне неиавестно.
14 НЕКОТОРЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ О НЕКОМНАКТНОМ СЛУЧАЕ Особенностью некомпактного случая является возможность существования траекторий, уходящих при б-н оо или при 1 -~ — оо иэ всякой компактной части П. Я изложу здесь некоторые общие положения эргодической теории, пригодные для любых непрерывных потоков 8с в локально компактных пространствах йе. Так как односторонний уход в бесконечность воаможен лишь для траекторий, образующих множество меры нуль, то сразу определяют уходящую точку х требованием существования для любого компакта К такого Т, что все точки Ух с [ 1[ ) Т лежат вне К.
Через йс" обозначим множество всех уходящих точек. Для целей детального анализа конкретных классических динамических систем целесообраано строить «индивидуальную эргодическую теориюэ не в чисто метрическом варианте, изложенном в книге Хопфа [9), а следуя более раннимработам Хопфа и Степанова [10, 11), а в некоторых пунктах непосредственно следуя изложению мемуара Крылова и Боголюбова [12[, хотя в нем имеется в виду компактный случай.
При таком изложении основным остается, как и в компактном случае, понятие регулярной точки. Так называется точка х, если для нее существует инвариантная мера р, обладающая следующими свойствами: 1. р (Й вЂ” 1к) = О, где Х„ — замыкание траектории, проходящей через х. 2. р ([ги) ) О для любой окрестности й„точки у е= е„. 3. Для любых двух отличных от нуля лйшь на компактных множествах непрерывных функций 7' (х) и у (х) т 1 У(д' ) 17дР 11ш а и т ~ б(8 х)б« если только ~у [р~о. 4, Мера р транзитивна.
328 бд. Общая теория динамических систем и классическая механика Так как отсутствует требование нормировки, то мера р определяется точкой лишь с точностью до постоянного множителя. Тем не менее мы ее будем обоаначать )» и называть «индивидуальной мерой» точки х. Из-за этого в определение эргодических множеств вводится небольшое изменение: две точки х и х' относятся к одному эргоднческому множеству, если их индивидуальные меры совпадают в смысле совпадения с точностью до постоянного множителя. Таким образом, все множество»с' регулярных точек представляется в виде суммы эргодических множеств Р.' = Хе. Меры )»„естественно, теперь тоже определяются эргодическим множеством лишь с точностью до постоянного множителя.
Индивидуальная эргодическая теорема утверждает, что »е = й' +»«" + Л', где )с (У) = О в любой инвариантной мере )с. Для нас существенно, впрочем, главным обрааом лишь то, что всегда т (1«) = О. Любая транэитивная инвариантная мера )» является или мерой р, некоторого эргодического множества е, или имеет вид р (А) =- те (А () 1), где т« — «временная» мера на уходящей траектории 1. В отличие от второго тривиального случая естественно меры первого типа называть эргодическими, так как им соответствует множество ер с Р~„= Р. Те соображения, которые в случае компактного»«можно привести в пользу мнения, что «общего вида» компактная динамическая система транзитивна, в применении к некомпактным динамическим системам приводят к гипотезе, что, «вообще говоря», имеет место один из двух случаев: или система диссипативна (т.
е. почти все ее точки уходящие), или мера т эргодична (очевидно, что во втором случае уходящие точки обраауют лишь мно'кество меры нуль). Иногда эту гипотезу применяют и к отдельным классическим задачам в такой форме: если у данной задачи имеется некоторое число первых интегралов и нет основания ожидать открытия новых, то считают правдоподобным, что на многообрааиях, определяемых указанием значений иавестных первых интегралов, имеет место транзитивность. В подтверждение такой практики можно привести то замечание, что, по исследованиям Хедлунда и Хопфа, эта альтернатива всегда имеет место для движений по геодезическим постоянной отрицательной крнвианы. Если заведомо известно, что существует множество положительной меры из уходящих точек, то в соответствии со сказанным возни- 53.
Общая теория динамических систем и кяассическая механика 329 кает гипотеэа о том, что система диссипативна. По-видимому, на такого рода соображениях основано предположение Биркгофа о диссипативном характере эадачи трех тел. Однако представляется вероятным,что указанными в [22]методами для канонических систем можно построить примеры устойчивого одновременного нахождения в 1ст диссипативной части положительной меры и положительной области 6, заполненной в основном ~мерными инвариантными торами.
Замечу, что иэ более элементарных вопросов специалисты по качественной теории дифференциальных уравнений мало занимаются конкретными эадачами об уходящих траекториях рааличных специальных типов. Ярким примером этого является то обстоятельство, что опровержение утверждений Шаэи о невоаможности «обмена» и «эахвата» в аадаче трех тел [17, 18] было сначала достигнуто тяжелым (и без точных оценок ошибок логически неубедительным!) путем численного интегрирования (Беккер [19], Шмидт [20]) и лишь недавно пример «захвата» был построен Ситниковым весьма просто и почти беэ вычислений [21].
15 ТРАНЗИТИВНЫЕ МЕРЫ, СПЕКТРЫ И СОБСТВЕННЫЕ ФУНКЦИИ АНАЛИТИЧЕСКИХ СИСТЕМ Назовем меру )» в 1«" аналитической, если она может быть задана в виде Р (-4) = ] ~ (9) с[В... И$», т»СА где г'к — некоторое локально замкнутое в Й" аналитическое многообраэие какого-либо числа намерений й ( п, а функция / от координат $а на р" (эависящих аналитически от координат х„ в 1«") аналитическая. Многообравие р'» одновначно определяется мерой р (если она не тождественный нуль). Число й поэтому может быть наэвано и размерностью меры [«. Нас будут специально интересовать транэитивные меры.
В этом случае многообразие 1с" должно быть инвариантным. Инвариантные многообрааия одной и той же раэмерности не пересекаются, а равной размерности могут только целиком включаться одно в другое (меньшей размерности в большую). Каждое инвариантное многообраэие несет на себе не более одной транэитивной меры.
В силу сказанного система аналитических транэитивных мер имеет сравнительно обоэримую структуру. До последнего времени в аналитических системах были известны только аналитические транэнтивные меры. Лишь недавно Грабарь [13] построил аналитический аналог примера Маркова (аналитическую неприводимую, но не строго эргодическую динамическую си- 330 58. Общая еерия динамических систем и кяассичеекая механика стему) и тем самым дал пример неаналитической транзитивной меры в аналитической системе. Возможно, однако, что сумма всех неаналитнческих эргодических множеств всегда пренебрегаема в смысле основной меры т.
Эргодическне множества однозначно определяются своими мерами р„ которые по самому определению транзитивны. Что касается эргодических множеств, соответствующих аналитическим транзитивным мерам (не сводящимся к мере р, одной траектории), то заметим только, что в случае аналитичности меры р, эргодическое множество лежит на носителе У' меры )а„ будучи на нем всюду плотным, но уже в некоторых простых классических примерах разность 7 — е может быть тоже всюду плотной на У". Спектральные свойства транзитивных мер на аналитических системах мало изучены. Дискретные спектры пока получены только с конечным базисом независимых частот причем для аналитических мер число независимых частот совпадает во всех известных случаях с размерностью.
Непрерывный спектр полностью определен лишь недавно Гельфандом и Фоминым [14, 45) для некоторых случаев движений по геодезическим на поверхностях постоянной отрицательной кривизны. В этих случаях он оказался счетнократным лебеговским. Не исключена воаможность, что только эти случаи (дискретный спектр с конечным числом независимых частот и счетнократный лебеговский) являются возможными для аналитических транзитивных мер или что только они являются в том или ином смысле общими, типичными случаями.
Для неаналитических транзитивных мер представляется более вероятным их совершеяно произвольное строение. Это было бы несомненным, если бы был установлен аналитический аналог теоремы Какутани (46) об изометрическом вложении произвольного потока в поток непрерывной динамической системы. По поводу собственных функций остановимся только на примере аналитической динамической системы на двумерном торе Тя с дискретным спектром и всюду разрывными собственными функциями. Правда, пример этот, связанный с ненормально хорошо приближаемым рациональными дробями г!г отношением у = Лд(Ля средних частот, по самому своему происхождению указывает скорее на то, что мы имеем дело не с типичным, а исключительным явлением.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
