Колмогоров А.Н. Уравнения турбулентного движения несжимаемой жидкости (1124030), страница 64
Текст из файла (страница 64)
Чтобы выяснить вопрос подробнее, рассмотрим вновь уравнения движения по двумерному тору, введя в них параметр б, изменяющийся в каких-либо пределах (б,; Ое): бз. Общая теория динамическая систем и классическая механика 331 Будем предполагать функции Ра (х» х„О) аналитическими. Очевидно, что аналитически зависеть отО будет и отношение средних частот Т (0). Если у (6) непостоянно, то множество Л тех О, для которых систему можно преобразовать аналитически к виду с]$ /с]1 = Х, будет занимать почти весь отрезок (Ою Оа]. Собственные функции сртп = е при возвращении к первоначальным координатам х„х, будут для О ~ Л аналитическими функциями от х, и хе.
Но, вообще говоря, даже на Л они будут на этом множестве по 6 всюду разрывными, причем эту разрывность нельая будет уничтожать выкидыванием из Л множества меры нуль. Эти обстоятельства значительно существеннее, чем то, что ср „(хю хе, 6) можно определить и в некоторых точках остаточного множества (Ою Оа] — Л меры нуль за счет допущения их неаналитичности и разрывности по х, и х,. Возможно, что зависимость ср „(х„х„О) от параметра 0 на Л относится к классу функций типа моногенных функций Бореля ]24] и допускает, несмотря на всюду разрывный характер, исследование надлежащими аналитическими средствами.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ Я буду считать свою цель достигнутой, если мне удалось убедить слушателей в том, что, несмотря набольшие трудности и ограниченный характер уже полученных результатов, поставленная задача использования общих понятий современной эргодической теории для анализа качественного характера движения в аналитических и специально канонических динамических системах заслуживает большого внимания исследователей, способных охватить те многообрааные связи, которые здесь обнаруживаются с самыми различными отделами математики. В заключение мне хочется поблагодарить организационный комитет Конгресса аа предоставленную мне воэможность прочесть этот доклад и за любезную помощь в размножении конспекта с формулами н лнтературньгми ссылками, а всех собравшихся за внимание, оказанное мне в этот последний день наших занятий, когда все уже и без того перенасыщены огромным материалом докладов предшествующих дней.
ЛИТЕРАТУРА 1. Асеитакн г. Масйепгапесйе Сгппс11адеп бег Спап1епшесЬап11с. Вег11п, 1932, 2. Марков А. А. Почти периодичность и гармоииеируемость.— В кни Труди второго Всесоюз. математического съеада Л.; М.: Изд-во АН СССР, 1933, т. 2, с. 227 — 231. 3. Колмогоров А.
К. О динамических системах с интегральным ннкариантом на торе.— ДАН СССР, 1953, т. 93, № 5, с. 763 — 766. бд. Общая теория дин мических систем и классическая механика 4. Та!?до!гг Н. Х. СЬег й!е Ветчебипб е!пев Рипйхев, чге!сЬег чоп хтче! 1евхеп Еепхгеп пасЬ йеш !1ехчхопвсЬеп Севе!хе апбехобеп в!гй.— Асха Яос. вс!. 1епп. А, НЯ, 1927, чо!. 1, !? 5. 5.
Бадалян Г. К. О форме траекторий в проблеме двух неподвижных центров.— В кил Труды второго Всесоюз. математического съевда. М.: Изд-во АН СССР, 1935, т. 2, с. 239 — 241. 6. ВгсайоН 6. Р. Ьупаш!са! вувсешв. !чехч Уогй, 1927. Рус. перл Биркгоф Лж. Д. Динамические системы. Мл Гостехтеориздат, 1941. 7. Ландау Л., Пятигорский Л. Механика. М.; Л.: Гостехивдат. 8. Нор! В. Я!ах!вх!Ь йег беойах!всЬеп 1!п!еп 1п Мапл!8!а!х!бйе!!еп пебах!чег Кгйпппипб.— Вег.
УегЬ. ЯасЬв. А!хай. гч!вв. 1,е!Рх!б, 1939, Вй. 91, !? 3, Я. 261 — 304. Рус. перл Хонф Э. Статистика геодеаических линий иа многообразиях отрицательной кривизны.— УМН, 1949, т. 4, вып. 2, с. 129 — 170. 9. Нор? К. ЕгбойепхЬеог!е. Вег!1п: Ярг!пбег, 1937. Рус. перл Хокф Э. Эргодическая теория.— УМН, 1949, т.
4, вып. 1, с. 113 — 182. 10. Нор? В. Етче! Яа!хе 0Ьег йеп чгаЬгвсЬе!п!!сЬеп Уег!аи1 йег Веиебипдеп йупапивсЬег Яувгеше.— МаХЬ. Апп., 1930, Вй. 103, Я. 7Г0 — 719. 11. В!срано?Х Иг. Япг ипе ех!епв1оп йи хЬбогеше егбой!Яие.— Сошр. гаахЬ., 1936, Н 1, р. 239.
12. Кгу!о!! А о Водо!!оиЬо?! Н. Ьа ХЬдог!е йбпбга!е йе !а шевиге йапв воп арр!1сайоп й !'егийе йев! вувМшев йупаш$9иев йе !а тесал!аие поп !!пда!ге.— Апп. МахЬ., 1937, чо!. 38, р. 65 — 113. 13. Грабарь М. И. О строгой зргодичпости динамических систем.— ДАН СССР, 1954, т. 95, № 1, с. 9 — 12. 14. Гельфанд ХХ. М., Фомин С.
В. Уиитарпыв представлеиия групп Ли и потоки геодезических ка поверхностях постоянной отрицательной крививны.— ДАН СССР, 1951, т. ?6, с. 771 — 774. 15. Гельфанд ХХ. М., Фомин С. В. Геодезические потоки ка мкогообравиях постоянной отрицательной крививиы.— УМН, 1952, т. 7, вып. 1, с. 118— 137. 16. Кайн!як! В. Вергевепхайоп о1 гаеавшаЫе Волг !п еис1!йеап З-врасе.— Ргос. Ма!. Асай.
Яс1. 1?ЯА, 1942, чо!. 28, 71 1, р. 16 — 21. 17. Сйаху Х. Япг 1'а1!иге Впа!е йи шоичешеп! йапв 1е ргоЫеше йев хго!в согрв.— Х. МахЬ., 1929, чо1. 8, р. 353 — 380. 18. Сйаху Х. яиг !'а!!иге Впа!е йи шоичехпепг йапв !е ргоЫеше йев хго!в согрв.— Ви!!. Авхгоп., 1952, чо!. 8, р. 403 — 436. 19. Веййег Б. Оп сархиге огЫхв.— Моп.
НоИс. Воу. Ав!гоп. Яос., 1920, чо!. 80, Н 6, р. 590 — 597. 20. Шмидт О. Ю. О возможности вахвата в кебесиой механике.— ДАН СССР, 1947, т. 58, № 2, с. 213 — 216. 21. Ситникое К. А. О вовможпости захвата в вадаче трех тел.— Мат. сб., 1953, т. 32, № 3, с. 693 — 705. 22. Колмогоров А. Н. О сохранении условно периодических движепий при малом изменении функции Гамильтона.— ДАН СССР, 1954, т. 98, № 4, с. 527 †5.
23. Кадоган! Э. Егбой!с хЬеогу. — 1п: Ргос. 1пхегп. Сопбгевв МахЬ., 1950, чо!. 2, р. 128 — 142. 24. Ваге! В. Ьесопв виг 1ев 1опсИопв шопобепев ипИогшев й'ипе чапаЫе сошр!ехе. Раг!в, 1917. бб. О нрибвижвнном и точном нрвдотовввнии фуннциэ ЗЗЗ 54 НЕКОТОРЫЕ ПРИНЦИПИАЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ ПРИВЛИЖЕННОГО И ТОЧНОГО ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ФУНКЦИИ ОДНОГО И НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ* 1.
Вопрос о трудности указания с точностью до э функции у из некоторого класса г" может рассматриваться с точки зрения содержащегося в таком указании <количества информации». Естественной характеристикой класса г' с этой точки зрения является функция Х~ (е) = 1од 1ч'г (е), где А1~г (е) есть минимальное число точек в е-сети на г". В докладе собраны опубликованные ранее и полученные вновь оценки роста функции 1г (е) при е-н О для некоторых классов аналитических функций и функций, обладающих заданным числом производных.
Дальнейшее развитие подобных исследований представляется существенным, в частности, с точки зрения выработки правильных представлений о принципиальных воэможностях различных употребительных в вычислительной математике способов приближенного задания функций, их введения в машины и сохранения в памяти машин. При оценке пропускной способности каналов связи, передающих сигналы в виде непрерывных функций времени, принадлежащих классу Р, естественно возникает вопрос о максимальном числе )тг(е) «хорошо отличимых сигналов», т. е.
функций класса г', находящихся в надлежащей метрике попарно на расстоянии )е. Асимптотическое поведение функции А1г (е) в рассмотренных случаях вполне аналогично асимптотическому поведению функции Л"г (с). Достаточно далеко продвинутое исследование асимптотического поведения 1». (э) = 1оя 1Чр (е), по-видимому, моокет привести к выяснению некоторых трудных вопросов теории передачи информации по каналам связи (например, вопроса о реальном содержании так называемой теоремы Котельникова) даже без обращения к понятиям теории вероятностей.
2. Вторая часть доклада посвящена ряду специальных задач приближенного и точного представлений функций нескольких переменных при помощи различного вида формул, в которые входят лишь произвольные функции меньшего числа переменных. Одной из таких проблем является проблема приближения функций двух переменных о В внл Труды 111 Всесоюа. мат.
съезда. М.:1Иад-во МГУ, 1956, т. 2, с. 28 29. 334 бб. О приближенном и точном представлении функций «номографируемыми» функциями, т. е. функциями з = ер (х, у), которые могут быть заданы соотношением а(х) Ь(х) ( с (у) б (у) 4 — О. е (г] г (г) 1 Описаны различные возможные подходы к такого рода задачам и систематизированы полученные разными авторами результаты. В виде примера скрывающихся здесь даже в простейших задачах неожиданностей можно привести два недавних результата В. И. Арнольда, относящихся к представлению функций двух переменных функциями вида )( (я~ (х) + ~р (р)) с непрерывными )(, ер и гр. Пусть Е Д) = ий зпр ) 1 (х, у) — )((ер (х) + гР (у)) ). х, ц, Ф *, о В. И.
Арнольд доказывает, что существуют: а) непрерывные функции с Е (1) ) О; б) непрерывные функции с Е (р) = О, но тем не менее не представимые в виде (1). 3. К специальным задачам из п. 2 примыкает выдвинутая Гиль- бертом проблема существования функций нескольких переменных, не представимых никакими конечными, хотя бы и сколь угодно сложными суперпозициями непрерывных функций меньшего числа переменных. В применении к функциям четырех переменных нолучен неожиданный результат: любая непрерывная функция четырех переменных представима в виде с=в ~(хг хз,хз,хе)= Х )(е(хе ер,(хг,хз хз) гре(хм хмхз))» с=1 где функции )(„, ер„и гре непрерывны. Возможно ли представление произвольной функции трех переменных в виде суперпозиции конечного числа непрерывных функций двух переменных — неизвестно (если бы такая возможность была доказана, то это означало бы полное решение так называемой 13-й проблемы Гильберта).
Доказано лишь, что любая непрерывная функция трех переменных ~ (х„х„х,) мокнет быть с любой точностью аппроксимирована функцией вида с=з Р (хг, хы хз) = 3 Ое(хз, ~е(ерс(хз. хг), гре(хз, х,))), где функции О„, )(„, ер„игр, непрерывны. Остается неизвестным положение в случае, если на входящие в суперпозиции функции наложить ограничения характера сущест- БУ. О представлении непрериених утункциа су пернели циями 335 вования у них заданного числа производных. А. Г. Витушкиным было доказано существование лишь таких функций, что при их представлении суперпозициями функций меньшего числа переменных происходит неизбежная потеря степени их гладкости.
Результаты А. Г. Витушкина нашли прозрачное объяснение с точки зрения оценок роста функцийдгг(е), которым посвящена первая часть доклада. О ПРЕДСТАВЛЕНИИ НЕПРЕРЫВНЫХ ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ СУП ЕРПОЗИЦИЯМИ НЕПРЕРЫВНЫХ ФУНКЦИЙ МЕНЬШЕГО ЧИСЛА ПЕРЕМЕННЫХ* Из сообщаемой далее теоремы 3 вытекает такое несколько неожиданное следствие: любая непрерывная функция сколь угодно большого числа переменных представимо в виде конечной суперпогиции непрерывных функций не более чем трех переменных. Для произвольной функции четырех переменных такое представление имеет вид 4 ~ (хь хь хг, хе) = с~~ вв [хев 81 (Хь хь хг), ух (хь Хх хг)1.
еуа Вопрос о возможности представления любой непрерывной функции трех переменных в виде суперпозиции непрерывных функций двух переменных остается открытым. Доказательство возможности такого представления обозначало бы полное решение 13-й проблемы Гильберта [1) в смысле опровержения высказанной Гильбертом гипотезы. Теорема 2 показывает лишь, что представление любой непрерывной функции трех переменных в виде суперпозиции непрерывных функций двух переменных становится заведомо возможным, если в качестве вспомогательных переменных допустить переменные, пробегающие одномерное образование, несколько более сложное, чем отрезок числовой прямой, а именно: универсальное дерево (деревом называется локально связный континуум, не содержащий в себе гомеоморфного обрааа окружности; как показал Менгер (2), существует универсальное дерево Е, содержащее в себе гомеоморфные образы всех деревьев).
В дальнейшем вс, т, и, г — натуральные числа; а, Ь, с, С, а, М, Л, х, у, и, о, 7", р, у, й, з, 6, р — действительные числа; $, ц, ф е ДАН СССР, 1956, т. 108, № 2, с. 179 — 182. 336 йй. О иредекеавлении непрерывных функций еуперпвеициями элементы деревьев; Е" — единичный и-мерный куб; О ( х; ( 1; 1=1,...,п. Т е о р е м а 1. а) При любом п )~ 2 существуют такие заданные на Е" непрерывные функции >пег со значениями из универсального дерева Е, что любая непрерывная задан я на Е" действительная функция ( представимо в виде и-~-1 г'(х1,..., х„) = ~ Ь][1р" (хы..., х„)], где действительные функции Ь1 Я) определены и непрерывны на и. б) При этом функции Ь1 могут быть выбраны так, что они будут непрерывно зависеть от ~ в смысле топологии равномерной сходимости в пространствах непрерывных функций на Еп и на Е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
