Колмогоров А.Н. Уравнения турбулентного движения несжимаемой жидкости (1124030), страница 68
Текст из файла (страница 68)
О распределеппп энергии э спектре турбулентного потока.— Иэз. АН СССР. Сер. геогр. и геофпэ., 1941, т. 5, № 4 — 5, с. 453 — 466. П. С. АЛЕКСАНДРОВ И ТЕОРИЯ бз-ОПЕРАЦИЙ* Множества точек числовой прямой, допускающие сколько-нибудь простое определение, либо конечны, либо счетны, либо имеют мощность континуума. Вопрос о том, будет ли это верно в применении к любому подмножеству числовой прямой, составляет, как известно, проблему континуума. В начале ХХ в.
казалось естественным искать решение проблемы континуума, рассматривая все более в УМН, 1966, т. 21, вып. 4, с. 275 — 278. оо. ее. С. Александров и теория 6тояерациа общие классы точечных множеств. В ряду классов борелевских множеств Рое Ров~ Робое ° ° е С~ С«1 Сбое С»обе ° ° ° положительное решение проблемы очевидно для класса Ро (и, конечно, для заключенных в нем классов Г и С). Юнг в 1906 г.
добрался до класса Сне, а в 1914 г. Хаусдорф в первом издании своих «Оснований теории множеств» показал, что решение остается положительным для множества класса Сь,бо. Естественно, что дальнейшее продвижение в этом направлении должно было сильно интересовать математиков, ванимавшихся теорией множеств. Полное положительное решение проблемы для всех борелевских множеств было найдено в 1916 г. независимо П.
С. Александровым [1[ и Хаусдорфом [4]. Как П. С. Александров, так и Хаусдорф приходят к решению проблемы континуума для борелевских множеств, доказывая, что борелевское множество, мощность которого больше счетной, содержит совершенное подмножество. В основе доказательства у обоих авторов лежит рассмотрение схемы порождения любого борелевского множества: Е=Л [[Е;;, 3, ь Е['"~?.ы л ~ Е~'"5-»~ь б".е)» ~ ~ у ео..е»»бы ех еь где зсе цепочки множеств »»и ьь" 'ь Е,',,Е„;,...,Е;„;; обрываются при каном-либо конечном Х на замкнутом (у Хаусдорфа открытом) множестве. Общее число замкнутых множеств, из которых получается таким образом борелевское множество Е, счетно.
Их можно занумеровать натуральными числами рм ре~ ° ° е рве и.записать множество Е в виде Е Ф (Ры Р» ° ° ° Рв ° ° ) где Ф вЂ” знак некоторой операции над множествами Рв. Легко видеть, что операция эта: а) аналитическая и б) положительная в смысле определений, введенных Канторовичем и Ливенсоном [5[. 354 дз. 1Т. С. Александров и теория Ьтоперациа Определение 1.Операция Е=Ф(Е„..., Е„...) нааывается аналитической, если иа равносильности включений хЕЕвттус=Ее) (при любом з) вытекает равносильность включений х 6= Е ЕЕ у Е= Е, т.
е. если принадлежность точки х к множеству Е полностью определяется номерами тех Е„в которые входит точка х. Определение 2. Операция Е = Ф (Е,, ..., Е„...) называется положительной, если иа Е, с Е, (при всех з) вытекает Ф (Ет,..., Еес ° ° ) С Ф (Еы..., Ее, ° ). Любая аналитическая операция может быть заменена аналитической положительной операцией над множествами Е, и их дополнениями. Класс же аналитических положительных операций совпадает с классом бз-операций, т. е. операций, которые могут быть записаны в виде Ф(Е, Е ° )= 0 () Е.
где Ф вЂ” некоторое множество подмножеств натурального ряда. В пространстве подмножеств натурального ряда существует естественная топология '. Рассмотрения, проведенные П. С. Александровым в заметке (11, по существу обозначают следующее. $. При записи конструкции (1) в виде бз-операции Е=Ф(Рп..,Р., )= (') '0 Р. (2) выев=в множество Я оказывается (при наиболее естественном его построении) замкнутым. 2.
Если множество последовательностей в формуле (2) замкнуто, то операция Ф из замкнутых множеств г"е производит множество Е, которое либо конечно, либо счетно, либо содержит совершенное множество. т Эта топология задается, например, расстоянием Р (Еь Ее) = чт $ и' пня1ск, где ЕтбЕе обозначает симметрическую разность множеств Ет и Е . 355 1оз. ее. С. Аяекеаидров и теория бе-операций Естественно возникает вопрос, какие множества можно получить, применяя бг-операции с аамкнутым ео к: а) замкнутым множествам, б) открытым множествам, в) борелезским множествам? Ответ во всех случаях один: суслинские множества и только их.
При этом нет необходимости пользоваться всеми возможными 6г-операциями с аамкнутыми множествами б. Можно указать одну такого рода стандартную бг-операцию, которая из замкнутых (открытых) множеств производит все суслинские множества. Хорошо известно, что такую операцию можно записать более обозримым образом, если нумеровать исходные множества не натуральными числами, а «кортежами» из натуральных чисел (г» ° ° ° , гп). Интересующая нас А-операция определяется формулой где суммирование распространяется на все последовательности г«г,ге По этой операции суслинские множества называют также А-множествами.
Определение А-операции по существу содержится в той же заметке П. С. Александрова [1). Произвольное борелевское множество Е получается в этой заметке «с точностью до счетного множества» из «канонических множеств» я„. Так как эти канонические множестве еь ва, являясь конечными пересечениями исходных множеств Е. ' ' Ф' замкнуты, а пренебрежение счетным множеством несущественно (легко набегается), то тем самым было установлено, что любое борелевское множество получается А-операцией иэ эамкнутыхмножеств. К сожалению, более систематического наложения с явным определением А-операции и формулировкой теоремы о том, что каждое боре- левское множество является А-множеством, П. С.
Александров не опубликовал. Естественно возник вопрос о том, является ли класс А-множеств более широким, чем класс борелевских множеств, или же он существенно шире. В том же 1916 г. вопрос был решен М. Я. Суслиным, который показал, что существуют А-множества, не являющиеся борелеаскнмн, что н привело к развитию самостоятельной теории суслинских множеств. М. Я. Суслиным, в частности, было установлено, что, вообще суперпозиция А-операции по схеме Е=А(Е,), Е,=А(Е,") приводит только к множествам Е, которые могут быть получены из множества Е," (взятыми с новыми номерами и с повторениями) однократной А-операцией. В общей теории бе-операций такие операции называются нормалънмл»и.
В работе (2] П. С. Александров ввел еще одну бг-операцию над множествами, названную им Г-операцией. Чтобы компактно высказать 356 59. Н. С. Алеяеандров и теория де-операция ее определение, следует заметить, что кап«дому кортежу (21 22 ' ' '~ га) соответствует множество А, числовых последовательностей г1гз ° ° ° гогае1 имеющих начало г,г,...
г„. Множество кортежей (5 называется Г-цепью, если соответствующие множества А, покрывают все множество числовых последовательностей (которое в такого рода вопросах принято называть бэрогсним пространством). Г-операция определяется формулой Е= [) () Е., Ежг е е где Г-множество всех Г-цепей. П. С. Александров устанавливает формулу А (Е,) = Г (Е,), (3) где Е обозначает дополнение к множеству Е.
По существу здесь П. С. Александров для частного случая А-операции вводит «дополнительную» к ней Г-операцию. Общее определение бг-операции Ф, дополнительной к данной бе-операции Ф, и обобщающая (3) формула Ф (Е„..., Е„...) = Ф (Е1,..., Е„...) лежат в основе моей работы [6). В заметке [3[ П. С. Александров пользуется тем, что Г-операция приводит к «положительному» определению множеств, дополнительных к А-множествам, и доказывает топологическую инвариантность этого класса множеств. Теория бг-операций далее разрабатывалась мною, Хаусдорфо»1 (второе иадание «Оснований теории множества»), Канторовичем, Ливенсоном, Ляпуновым и многими другими.
ЛИТЕРАТУРА 1. А1еяаиггоН Р. Биг 1а ри!ззапсе без епвешЫез шевшаЫез В.— О. г. Асад. зсг. Раг!в, 1916, чо). 162, р. 323 †3. 2. А!еяаиггвН Р. 8пг 1ев епвешЫев сошр1епгеп1а!гев апх епвеп»Ыев (А).— Рппб. пга«Ь., 1924, чо1. 5, р. 160 — 165. 3. А!еяаибгоН Р. 8пг 1'(пчаг!апсе 1оро1об!бпе бев епзепгЫев сопгр1епгеп1а1гев аих епзеп»Ыез (А).— Мат. сб., 1924, т. 31, с. 310 — 318. 4. НаиегогЯ Р. О!е МасЫ19Ье(1 бег Воге1всЬег Мепбеп.— Ма«Ь. Апп., 1916, Вб. 77, 8. 430 — 437.
5. Каигогоо!геа 5., Иоеиеои К. Мешо!г оп 1Ье апа1умса1 орега1(опв апб рго1ес- 1!че ве1в.— Рппб. ша«Ь., 1932, чо). 18, р. 234 — 279. 6. Колмогоров А. Н. Об операциях над множествами.— Мат. сб., 1928, т. 35, с. 415 — 421. 60, поучение математические моделей динамики популаций 357 КАЧЕСТВЕННОЕ ИЗУЧЕНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ ДИНАМИКИ ПОПУЛЯЦИЙ" 1 1 ВВОДНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ Просматривая литературу последних лет по математическому моделированию динамики популяций, я убедился в том, что при большом развитии этого направления исследований в одном отношении работы последних лет остаются на уровне знаменитого первого опыта Вольтерра: все исследование ставится в зависимость от специального и неизбежным образом произвольного выбора математических выражений для закономерностей, управляющих динамикой популяции.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
