Колмогоров А.Н. Уравнения турбулентного движения несжимаемой жидкости (1124030), страница 72
Текст из файла (страница 72)
е. без использования теоремы Привалова) были даны, в частностиь Тнтчмаршем [44) и Люмисом [47) (см. также [3, гл. 8; 4, гл. 7)). Далее, обратим внимание на то, что неравенство (12) послужило, вероятно, толчком к установлению Марцинкевичем [48) интерполяционных теорем для некоторого класса операторов слабого типа (см. такжа [4, гл. 12)). Об этом говорит Зигмунд в статье, посвященной Марцинкевичу (см.
[49, с. 19)). Более того, само введение понятия операторов слабого типа навеяно, по-видимому, также работой Колмогорова № 8. Бсе зто, к сожалению, не отмечается должным образом в соответствующей литературе. Заметим еще, что неравенство (12) выводится Колмогоровым иа одного лить предположения существования сопряженного оператора д = А), т. е.
одно существование оператора А автоматически влечет количественную оценку (12). Это указывает на определенную связь с работой № 8 последующих результатов Стейна об оценках слабого типа для операторов, инвариантных относительно сдвига, их последующих обобщений (Никишин [50)) и др. Наконец, упомянем книгу )Кижиашвили [51), специально посвященную сопряженным функциям и рядам, изложение в которой начинается с неравенства А.
Н. Колмогорова (13) и его обобщения. Теперь отметим еще одну теорему Колмогорова (см. работу № 14) о том, что если функция 1 (с) ш Е (О, 2я), то функция э я (с) является В-интегрируемой на отрезке [О, 2л), а сопряженный к о (7) ряд с ()) является рядом Фурье от г (г) в смысле В-интеграла,,где В означает интеграл Данжуа — Боиса (см. еще [3, гл. 8) и [4, гл.
7)). Из этого результата сраау же вытекает, что а()) = о(у), (15) иак только функции ) и г принадлежат пространству Е (О, 2н). Равенство (15) было также получено Смирновым [43) и Тнтчмаршем [44). Далее, в монографии [42) А. Н. Колмогоров ввел (см. там с. 73 — 75) понял тие обобщенного математического ожидания, которое повлекло аа собой олредс ление А-интеграла э. Именно, функция ю (г) является А-интегрируемой на отрез ке [а, Ь) (~р еы А (а, Ь)), если мера шез е (г: с ~ [а, ь), [ <р (г) [) и) = о (1)н) при н оо и существует предел Иш ~ [<р(г))„бг = I, а ' Функция у (г), вообще говоря, неинтегрируема по Лебегу на [О, 2я). э Наавание А-интеграла также было предложено А.
Н. Колмогоровым. Тригонометрические и ортогональные ряды (П. Л. Ульянов) 371 где [Ф (!)]и = Ф (!) при [ ~р (!) ] ~ и и [Ф (!)]„= О при ] ~р (г) [ ) и. Число 1 и называется по определению А-интегралом функции !р (с) по отрезку [а, Ь]: (А) ~ р (!) йг = 7. а А-интеграл нашел применение и развитие в работах многих авторов (Ульянов, Церетели, Наканисхи, Очан, Виноградова, Хускивадзе, Бонди, Окано, Рубинштейн, Лукашенко и др.), относящихся к изучению разнообразных вопросов теории функций (тригонометрические ряды, граничные свойства аналитических функций, теория интегрирования и др.). Так, например, было покааано (см.
Титчмарш [44] и Бари [3, гл. 8)], что если функция ( гы Б (О, 2я), то сопряженная к ней функция я ьы А (О, 2я) и сопряжеинып ряд (к ряду Фурье от () является рядом Фурье от д в смысле А-интегрирования. Далее, Ульянов [53] устаяовил, что если область 6 ограничена достаточно гладкой замкнутой кривой Г, то всякий интеграл типа Коши — Лебега Ф(г) = (Х) ь йь (гш 6, )(",) вней(Г)) 2я! ь! ( — г г является А-иитегралом Коши, т. е.
Ф(г)= (А) ~ ' й; при ггы6, 1 гФ;к) ,2л~ г где Ф! (ь) — предельные угловые значения Ф (г) изнутри области 6 пря э Ь ш Г. С другой стороны, Хускивадзе [54) показал, что этот результат теряет силу, если контур Г недостаточно гладок (например, содержит угловые точки). ЛИТВРАТУРА ь 1. Мигсгнряеты л. 8иг 1ез эепез йе Роипег.— Рнпй. ша!Ь., 1936, чо1. 27, р. 38 — 69. 2. Зипоисй! 6. Ропг1ег зег1ез нЬ!сЬ Ье]опзз !о !Ье с!аш Н й!чег9еэ а]шоз! ечегуьчЬеге.— Койа1 Ма!Ь. 8епь. Вер., 1953, чо1. 1, р. 27 — 28. 3. Бари Н. И. Тригонометрические ряды. Мл Физматгиа, 1961.
4. Зигмунд А. Тригонометрические ряды(Пер. с англ. М.: Мнр, 1965, Т. 1, 2. 5. Прохоренко В. И. О расходягцихся рядах Фурье.— Мат. сб., 1968, т. 75, с. 185 — 198. О. Тапйог! К. Е1в В!чегзевэ Гйг Гоиг!егге1Ьев.— АсСа зс!. шасЬ., 1969, чо). ЗО, р. 43 — 48. 7. ЯеИег К. ОЬег Копчегзепэшепзеп чоп Роппеьте1Ьеп.— АгсЬ.
Ма1Ь., 1955, Вй. 6, 8. ЗЗ5 — 346. 8. Кбгпег Г. И'. Яе!з о1 й!чегдепсе 1ог Ропг!ег зепез.— ВпН. Еопйоп Ма!Ь. зос., 1971, чо1. 3, р. 152 — 154. 9. Ульянов П. Л. Расходящиеся ряды Фурье класса Бг (р > 2).— ДАН СССР, 1961, т. 137, с. 786 — 789. ' Список всех работ, содержание которых тесно связано с исследованиями А. Н. Колмогорова по теории тригонометрических и ортогональных рядов, просто необозрим. Рискованно даже назвать примерную цифру. Цитируемые же здесь статьи и книги составляют незначительную часть из общего их количества.
372 Комментарии 10. Каык В. Я. Оп СдгеуГв ши!с!р!!егв 1ог а!шов! ечегуъЬеге сопчегйепсе о1 огсЬойопа1 вепев.— Апа1. шасЬ., 1976, чо!. 2, р. 249 — 266. 11. Такйсп' К. Е1гйасЬег ВехчеМ ехпев За!зев чоп В. 8. Кая!и. — Асса вс1. шасЬ,, 1977, чо!. 39, р. 175 — 178. 12.
Мексйв7 Р. 8иг !ев вег!ев йе !опас!опя огсйобопа1ев Ьогиеев йапв 1еиг епвепхЬ1е.— Мат. сб., 1938, т. 3, с. 103 — 120. 13. Мексдву! Р. 8иг 1ев ши!С!р1!сахеигея йе сопчегйепсе роиг 1ев вег!ев йе ро1упопхев огсйобопаих.— Мат. сб., 1936, т. 1, с. 27 — 52. 14. 2айсгвй! 2. Нпе вегхе йе Рош!ег регшисее й'ипе !опас!оп йе с1авве Бх й!чегйепСе ргевссие рагсоис.— С.
г. Асай. вс!. Раг!з, 1960, чо1. 251, р. 501 — 503. 15. Ульянов П. Л. Расходящиеся ряды Фурье.— УМН, 1961, т. 16, вып. 3, с. 61 — 142. 16. Олевсккй А. М. Расходящиеся ряды из Бх по полным системам.— ДАН СССР, 1961, т. 138, с. 545 — 548.
17. Бочкарев С. В. Расходящийся на множестве положительной меры ряд Фурье для произвольной ограниченной ортонормироваиной системы.— Мат. сб., 1975, т. 98, с. 436 — 449. 18. Казарян К. С. О некоторых вопросах теорни ортогональных рядов.— Мат. сб., 1982, т. 119, № 2, с. 278 — 294. 19. Ихх!ешввй Т. Е., Ра!еу я. Е. А. С. ТЬеогешв оп Роиг!ег вепез апй росчег зепев.— Х. Ьопйоп МаСЬ. Зос., 1931, чо1.
6, р. 230 — 233. 20. Савве!ск В. Р. Оп сйе й!чегдепсе о1 Роипег вег1ев.— Ргос. Ашег. МасЬ. 8ос., 1958, чо1. 9, р. 278 — 282. 21. 2уутнкй А. Оп сЬе сопчегйеисе о1 1асипагу сг!8опошесг!с вег1ев.— Рипй. вхасЬ., 1930, чо!. 16, р. 90 — 107.
22. Качмазс С., ТЛтейнвауе Г. Теория ортогональных рядов/Нер. с нем. М. Физматгиз, 1958. 23. Гаквшкнн В. Ф. Лакунарные ряды и независимые функции.— УМН, 1966, т. 21, вып. 6, с. 3 — 82. 24. Р!ееекег А. ОЬег Копчегйепх чоп Сг!8опошегг!всЬеп Ве!Ьеп.— 7. ге!пе ипй апйехч. МаСЬ., 1925, Вй. 155, 8. 15 — 25.
25. Саг!еевк 5. Оп сопчегйепсе апй дгомсЬ о1 рагС1а1 вшие о1 Роипвг вепея.— Асса пхасЬ., 1966, чо!. 116, р. 135 — 157. 26. Карлссон Л. О сходимости рядов Фурье и о росте их частичных сумм.— Математика, 1967, т. 4, с. 113 — 132. 27. Панс В. Оп сйе сопчегйепсе о1 Роиг!ег зепев.— 1п: ОгсЬой. Ехрап. апй сЬе!г СопМп Апа1.: Ргос. Соп1. СагЬопйа1е: Н1!по1в Ргевз, 1968, р. 235 — 255. 28. Бхв!ск Р.
Ап !педиа1!су о1 Ра1еу апй сопчегйепсе а. е. о1 ууа1сЬ вЂ” Роиг!ег вег1ев.— Аг1с. 1бг шас., 1969, чо1. 7, р. 551 — 570. 29. Ре!!егтак С. Ро!псччве сойчегбепсе о1 Роиг!ег вепев.— Апп. МаСЬ., 1973, чо1. 98, р. 551 — 571. 30. Лукашенко Т. П. Сходимость почти всюду рядов Фурье функций, суммируемых с квадратом. Мл Изд-во МГУ, 1978, с. 3 — 109. 31.
Касхтагх Ю. 8иг 1а сопчегйепсе ес 1а вопнпаЫ1!се йев йече1орреппепс огсЬобопаих.— 81ий. шаСЬ., 1929, чо1. 1, р. 87 — 121. 32. Такйвгх К. Оепаие Жеу1всЬе Ми!с!р1!Ьасог1о!8еп.— Асса вс1. шасЬ., 1959, чо1. 20, р. 1 — 13. 33. Мсоге С. В. Оп спсепа 1ог Роипег сопвсапсв о1 Б !псебгайе 1ипсМопв.— Ргос. !Час. Асай Зс!. СЗА, 1933, чо1. 19, р. 846 — 848. 34.
Мввге С. В. Оп СЬе иве о1 Севаго пхеапя !п йесегш!п!пб спсепа !ог Роиг1ег сове!вися.— Ви11. Ашег. МасЬ. Зос., 1933, чо1. 39, р. 907 — 9!3. 35. Сееап' Б. 8и11е сопй1х!оп1 виН!сепМ рег 1е виссевясоп! йх Роиг!ег.— Апп. 8сио1а попп. вирег. Р!ва, 1934, чо1. 3, р. 105 — 134. 36. Бсйск Я. Н!пге!сйеййе ВеоНпбипйеп Гйг йеп Роиг!ег-СЬагайсег е!пег сг!8опошесг1ясЬеп Ве!Ье.— 7. Еопйоп МасЬ. 8ос., 1939, чо1. 14, р. 158 — 160. 37. Ввав В.
Р. АЬво1Ше сопчегбепсе апй 1псебгаЬг1Ну о1 спйопогоесг!с вег1ев.— 7. ВаМопа1 МесЬ. апй Апа1., 1956, чо!. 5, р. 621 — 632. 38. Теляковский С. А. Условия интегрируемости тригонометрических рядов и Дескриптиеная теория .иноместе (ХХ. Н. Парсоиченко! 373 их приложение к изучению линейных методов суммирования рядов фурье.— Изв.
АН СССР. Сер. мат., 1964, т. 28, с. 1209 — 1236. 39, Теляковский С. А. Об одном достаточном условии Сидона иптегрируемости тригонометрических рядов.— Мат. заметки, 1973, т. 14, с. 317 — 328. 40. Фомин Г. А. Об одном классе тригонометрических рядов.— Мат. заметки, 1978, т. 23, с. 213 — 222. 41, ЬВНешоой Х.
Е. Оп гЬе шеап ча!вез о1 ракет зег!ез.— Ргос. Ьопйоп Ма!Ь. Бос., 1924, чо!. 25, р. 328 — 337; Х. Ьопйоп Ыа!Ь. Бос., 1930, чо!. 5, р. 179— 182. 42, Колмогорое А. Н. Основные понятия теории вероятностей. М.; Л.: ОНТИ, 1936; 2-е изд. М.: Наука, 1974. 43. Ет!гиоХХ У. Бпг !ез ча!епгз !!пп!ез йез !опсПопз апа!у!!с!пез.— С. г. Асай. ес!. Раг!з, 1929, чо!. 188, р. 131 — 133. 44. Т!гсйтагей Е. С. Оп соп!пба!е 1ипс!!опз.— Ргос. Ьопйоп Ма!Ь.
Бос., 1929, чо!. 29, р. 49 — 80. 45. ХА!!!ешоой Х. Е. Оп а гйеогеш о! Ко!шодогоИ.— Х. Ьопйоп Ма!Ь. Бос., 1926, чо!. 1, р. 229 — 231. 46. Нагйу С. ХХ. Вешагйе оп !Ьеге гесеп! по!ез !и !Ье Хоигпа!.— Х. Ьопйоп Ма!Ь. Бос., 1928, чо!. 3, р. 166 — 169. 47. Ьоотм Ь. А пасе о! Н!!Ьег!'з !гапз1огш.— Вп!!. Ашег. Ма!Ь. Бос., 1946, чо1. 52, р. 1082 †10. 48. Маге!ищет!сз Х. Бпг Г!и!егро!аМоп й'орегаНопз.— С.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
