Колмогоров А.Н. Уравнения турбулентного движения несжимаемой жидкости (1124030), страница 74
Текст из файла (страница 74)
А. Скворцов) личных интегралов, являющихся частным случаем интеграла Колмогорова (12[. В (3[ изучаются двойные и повторные интегралы Колмогорова и устанавливается соответствующий вариант теоремы Фубини. В [3[ также рассмотрены некоторые приложения интеграла Колмогорова к функциональному аналиау: показано, что для некоторых пространств общие виды линейных операторов и функционалов имеют интегральные представления в форме соответствующих интегралов Колмогорова; доказаны теоремы существования и единственности некоторых нелинейных интегральных уравнений, в записи которых участвуют эти интегралы. Этот интеграл нашел применение и в математической физике [20, 24[.
Интеграл Колыогорова рассматривался и для случая функций со значениями в топологической группе [22[. Большую роль в дальнейшем развитии теории дифференцирования аддитнвных функций множества сыграло Добавление П к работе № 16 (см. (4[). Здесь устанавливается возможность дифференцирования одной аддитивной функции множества относительно другой независимо от каких бы то ни было геометрических свойств пространства. Прп этом, по-видимому, впервые отмечена возможность определить дифференцирование через интегрирование, т.
е. положить в основу определения производной для некоторой функции множества интегральное представление последней. В современной литературе производная в указанном смысле часто именуется производной Радона — Никодима (25[. Высказанные во введении к работе № 16 (см. также работу № 6) мысли о неиабежном возникновении принципиальных трудностей при попытках объединить единой схемой »абсолютные» интегралы и интегралы, связанные с отношением порядка иа числовой прямой, нашли в дальнейшем подтверждение и развитие во многих работах, посвященных взаимосвязи различных понятий интеграла. В связи с этим упомянем многочисленные работы, посвященные А-интегралу, определение которого (в форме обобщенного математического ожидания) также принадлежит Колмогорову (26). Именно на том обстоятельстве, что А-интеграл не зависит от сохраняющей меру замены аргумента (хотя н не является абсолеотным), основаны примеры, показывающие, что он может противоречить интегралам Даяжуа и другим упорядоченным интегралам (см.
[27— 29[). Отметим, что и в теории упорядоченного интегрирования в последние десятилетия возник для решения различных задач теории функций ряд онределений обобщенных интегралов, которые также принципиально не поддаются объединению в единую схему, так как они могут приводить к разным значениям интеграла яа пересечении тех классов функций, для интегрирования которых они введены [30 — 32).
К СТАТЬЕ «О ГРАНИЦАХ ОБОБЩЕНИЯ ИНТЕГРАЛА» В работе № 6, публикуемой впервые в настоящем издании, не только доказываются утверждения, сформулированные без доказательства в № 5, но содержится ряд реаультатов, нигде ранее не публиковавшихся. Содержащееся в № 6 (см. ( 6) описание класса обобщений широкого интеграла Данжуа, основанных на введении обобщения понятия плотности множества, было бы интересно сравнить с многочисленными обобщенпяып интеграла Данжуа в современной литературе (см., например, [33[). Сделанные во введении к работе № 6 замечания о важности 378 Еоммеигаарии для некоторых разделов математики рассмотрения разрывных примитивных, высказывавшиеся ранее и Н.
Н. Луаиным [34[, нашли подтверждение, в частности, в многочисленных работах по применению теории интегрирования в теории ортогональных рядов [32, 35 — 37[. Однако при атом до сих пор не предпринималось попыток построить аксиоматизацию таких интегралов, сходную с осуществленной в № 5 и № 6.
К кругу идей о границах возможного расширения понятия интеграла, развитых во введении к № 6, примыкает также работа № 7 настоящего издания. К СТАТЬЕ»О ПРОЦЕССЕ ИНТЕГРИРОВАНИЯ ДАНЖУА» Результат статьи излагается в монографии [38[. Сходные вопросы рассмат ривались в [39 — 4Ц. См. также [42 — 46[ и комментарий П. Л. Ульянова «Тригонометрические и ортогональные ряды». К СТАТЬЕ »К ТЕОРИИ МЕРЫ» Значение работы № 21 для общей теории меры отмечалось во многих обзорах и монографиях (см.
[8, 47, 48[). Особенностью комментируемой работы является то, что в ней вопросы теории меры рассматриваются с геометрической, а не только лишь с теоретико- множественной точки зрения. А. Н. Колмогоров накладывает на функции множеств, лежащих в евклидовом пространстве К", помимо стандартны х требований полуаддитивности и о-аддитивности (требования 1 и П), а также требования нормировки (1Ч), следующее геометрическое требование (П1): при отображениях без растяжения мера множества не возрастает. Это обстоятельство приводит к существованию при й ~( п двух мер — верхней меры р" и нижней меры )»з таких, что любая й-мерная мера р удовлетворяет для любого А-множества Е ~ Ки неравенству )»г (Е) ~()» (Е) ~ ра (Е) и при этом оказывается, что )»з (Е) = = рз (Е), если Е есть отображение без растяжения некоторо»о множества из К".
Идеи и методы, развитые в этой работе, широко использовались в дальнейших исследованиях. Функция мери, удовлетворяющая условиям 1 — 1Ч, сформулированным во введении к № 21, получила в последующей литературе название меры Колмогорова, а свми условия — аксиоматики Колмогорова. Эта аксиоматика обсуждается, в частности, в монографиях [48 — 50[. Безикович [5Ц научал природу класса множеств, для которых мера Колмогорова однозначна в случае одномерной меры для множеств на плоскости.
Он же дал в [5Ц отрицательный ответ на высказанную в конце 16 работы № 21 гипотезу о совпадении длины множества по Хаусдорфу с минимальной линейной мерой по Колмогорову. Усилением этого результата является построенный Витушкиным, Ивановым и Мельниковым [52) пример множества на плоскости конечной положительной длины по Хаусдорфу и нулевой минимальной линейной меры по Колмогорову. Таким обрааом, рассматряваемые меры не только не совпадают, но и несоизмеримы. Поставленные в работе № 21 вопросы единственности й-мерной меры в и- мерном пространстве рассматривались затем в [53, 49, 55, 56). Взаимоотношение колмогоровской меры с другими мерами изучал Небе- линг [53, 54[.
Он доказал, что для поверхностей ограниченного растяжения мно- 379 Теория мера и интеграла (В. А. Скесрцее) гие меры совпадают с колмогоровской, хотя и не удовлетворяют, вообще говоря, аксиоматике Колмогорова. Некоторые из дальнейших исследований в направлении изучения й-мерных мер в и-ыерном пространстве были свяааны со стремлением ввести такую аксиоыатизацию функции меры, чтобы охватить меры, связанные с проектированием и могущие возрастать при отображениях, не увеличивающих расстояния.
Одна из таких аксиоматик была сформулирована Витушкиным [57[. К СТАТЬЕ «ОВ ОПРЕДЕ)!ЕНИИ СРЕДНЕГО» О роли обобщенной формы среднего, найденной в № 17, см. в статье А. Я. Хинчина [47[ (см. также [59, 60[). Результаты, близкие к теореме статьи № 17, были получены Нагумо [58[. Дальнейшее продолжение ематики см. в цикле работ Акцеля [61, 62!. ЛИТЕРАТУРА 1. Математическая энциклопедия.
Мл Сов. энциклопедия, 1979. Т. 2. 2. Смирное В. Я. Курс высшей математики. Мц Л.: Гостехиздат, 1947. Т. 5. 3. Глиеенкс В. ХХ. Интеграл Стилтьеса. М.; Л.: ОНТИ, 1936. 4. Гогуадзе Д. Ф. Об интегралах Колмогорова и их некоторых приложениях. Тбилиси: Мецииереба, 1979. 5. Медведев Ф. А. Развитие понятия интеграла. Мл Наука, 1974. 6. Песин ХХ. Я.
Развитие понятия интеграла. Мл Наука, 1966. 7. Бари Я. К., Ляпунов А. А., МеньшееД. В., Толстов Г. П. Метрическая теория функций действительного переменного.— В кил Математика в СССР за тридцать летн Мб Л. Гостехиздат, 1948. 8. Александров П. С., Хин«ин А. Я.
Андрей Николаевич Колмогоров (К 50- летию со дня рождения).— УМН, 1953, т. 8, вып. 3, с. 194 — 200. 9. Глиеенкс В. Я. Опыт общего определения интеграла.— ДАН СССР, 1937, т. 14, с. 61 — 64. 10. ЛеЛФман Л. Я. Об условиях существования интеграла Колмогорова и понятии дифференциальной эквивалентности.— УМН, 1957, т. 12, вып. 3, с. 343— 352. 11. Ле ~ Фиан Л. Я. О предельном переходе под знаком интеграла Колмогорова.— Изв.
вузов. Математика, 1958, № 2, с. 182 — 196. 12. ЛейФман Л. Я. Предельный переход под знаком интеграла с общей точки зрения теории интеграла Колмогорова. — Изв. вузов. Математика, 1960, № 1, с. 139 †1. 13. Кгг!аг М., ргеп)ге! У. 8оЬге !а !пседга! «)е Ко1пюдогоИ.— Сопгг!Ь. с!еп1. Вег. А (Пп!ч. Виепоз А!гез), 1950, чо!. 1, )Ц 3, р. 48 — 63. 14. Палииеец Б. С.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
