Колмогоров А.Н. Уравнения турбулентного движения несжимаемой жидкости (1124030), страница 77
Текст из файла (страница 77)
15. 3. Никольский С. М. Приблюкевие фушщий тригонометрическими полввомами в среднем.— Ивв. АН СССР. Сер. мат., 1946, т. 10, с. 207 — 256. 4. Никольский С. М. Ряд Фурье функций с давным модулем непрерывности. ДАН СССР, 1945, т. 52, с.™191 — 194. 5. Вфимее А. В. Приблюкевие функций с заданным модулем непрерывности суымами Фурье.— Ивв. АН СССР. Сер. мат., 1959, т. 23, с.
Иб — 134. 6. Доронин Г. Я. Некоторые неравенства для приблйжений тригонометриче- скими поликомами.— ДАН СССР, 1949, т. 69, с. 487 — 490. 7. Окко,экое Н. Н. Оценка приближения непрерывных функций подпоследова- тельпостями сумм Фурье.— Тр. МИАН СССР, 1975, т. 134, с. 240 — 253. 386 Комментарии 8. Соколов ХХ.
Гч Остаточный член ряда Фурьедиффереицируемыхфувкций.— ДАН СССР, 1955, т. 103, с. 23 — 26. 9. Телаковекий С. А. Приближеяие диффереяцируемых фуякций частными суммами их рядов Фурье.— Мат. заметки, 1968, т. 4, с. 291 — 300. 10. Стечкин С. Б. Оценка остатка ряда Фурье для дифферевцируемых функций.— Тр. МИАН СССР, 1980, т. 145, с. 126 — 151.
Ы. КиЖп И'. 5;арргох!ша1!оп Ьу раг!!а! зшпз о! ог!Ьо9опа! дете!оршеп1з.— Ппйе МаНь 1., 1952, чо!. 19, 5) 1, р. 1 — 4. 12. Колмоеоров А. К., Петров А. А., Смирнов Ю. М. Одна формула Гаусса из теории метода наименьших квадратов.— Изв. АН СССР. Сер. мат., 1947, т. 11, с. 561 — 566. 13. Мальцев А. ХХ. Замечание к работе А. Н. Колмогорова, А.
А. Петрова, Ю. М. Смирнова «Одиа формула Гаусса из теории кавмекьших квадратовв.— Изв. АН СССР. Сер. мат., 1947, т. Ы, с. 587 — 588. 14. Стечкин С. Б. О наилучшем приближении заданных классов любыми поли- комами.— УМН, 1954, т. 9, вып. 1, с. 133 — 134.
15. Бабенко К. ХХ. О приближении периодических функций многих перемеякых тригокометрическими миогочлеиами.— ДАН СССР, 1960, т. 132, с. 247— 250. 16. Бабенко К. ХХ. О приближении одного класса периодических функций мкогих перемеииых тригонометрическими миогочлеками.— ДАН СССР, 1960, т. 132, № 5, с. 982 — 985. 17. Теоретические основы и конструирование численных алгоритмов задач математической физики/Под род. К.
Й. Бабенко. Мл Наука, 1979. 18. Тихомиров В. М. Поперечники мкожеств в фуикциокальиом пространстве и теория наилучших приближекий. — УМН, 1960, т. 15, вып. 3, с. 81 †1. 19. Тихомиров В. М. Наилучшие методы приблшкекия и интерполирования в пространстве С [[ — 1,1]). — Мат. сб., 1967, т. 80, № 2, с.
290 †3. 20. Тихомиров В. М. Некоторые вопросы теории приближений. Мл Иад-во МГУ, 1976. 21. Кеми«илов Р. С. Поперечкики множеств в ликейиых яормироваввых простраиствах и приближение функций тригонометрическими миогочлеиами.— УМН, 1974, т. 29, вып. 3, с. 161 — 178. 22. Катин Б. С. Поперечиики некоторых коиечиомериых множеств и классов гладких функций.— Ивв.
АН СССР. Сер. мат., 1977, т. 41, с. 334 — 351. 23. Корнейчук П. П. Экстремальные аяачекия функционалов и каилучшее приближекие иа классах периодических функций.— Иав. АН СССР. Сер. мат. 1971, т. 35, № 1, с. 93 — 124. 24. Прохин В. Д. О наилучшей лииейиой аппроксимацви функций, аиалитически продолжаемых с данного коитикуума в данную область.— УМН, 1968, т. 23, вып.
1, с. 91 — 119. 25. Каг!во!!в Б. Оп а с1азз о1 Ко!шобогоч и-аЫ«Ь ргоЫешз.— АЬМ Ассад. паз. Ыпсе!. Кепд. С!. зсг. 1!э., шаг., 1973, чо1. 53, Я 3 — 4, р. 241 — 245. 26. ТоперК 5. 1 ройпопп д[арргозз!шишпе гП ТсЬеЬусЬеч.— Апп. гаа1., 1908, чо!. 15, !Ч 3, р. 47 — Ы9. 27. Р!г«7«ив А. и-ъ!д!Ьз ш арргох!ша!!оп !Ьеогу. Вег!!и, Зрг!пб.-Чег!., 1985. 28. Пикольекий В. 1Х.
Наилучшее приближение элемеитами выпуклых мкожеств в линейных кормироваииых иростраяствах.— Уч. зап. Калииии. гос. пед. ии-та, 1963, т. 29, с. 85 — Ы9. 29. 8«пбег 1. СЬоцпе! арасеэ апд Ьезз арргохппаМоп.— Ма«Ь. Апп., 1962, Вй. 148, К 4, 3. 330 — 340. 30. Сйоцие! С. Зпг !а шеПепге арргох!газ!!оп йапз !еэ езрасез частот!е[э погшбе.— Кеч. шагЬ. Рпгез ег арр!. (КРК), 1963, чо1. 8, К 4, р. 541-542. 31. Гаркави А. Л.
О критерии элемента каппу«шаго приближеиия.— Сиб. мат. журн., 1964, т. 5, № 2, с. 472 — 476. Нвраввпвтва для проивводяих [В, М. Тихомиров, Г. Г. Маварш)Ильявв) 387 НЕРАВЕНСТВА ДЛЯ ПРОИЗВОДНЫХ 1В. М. Тихомиров, Г. Г, Маварил-И*ъявв) Первые результаты, относящиеся к исследованию неравенств для проиаводных вида [[ ОО [в (г) < и [[ [1"„10 [*~" Ф„П> (1) (О~й(п — целые, 1~р, о, г~(оо, св,[)> 0 и 7=К или В+), были получены в работах Ландау [1[ и Адамара [2).
Там были найдены точные константы в (1) при й = 1, я = 2, р = о = г = во в случаях 7 = В+ (Ландау) и в = В (Адамар). В конце ЗО-х годов А. Н. Колмогоров поставил перед своим курсовиком, впоследствии замечательным математиком Шиловым, задачу распространить неравенство Адамара на произвольные й и и. Шилов докааал ряд частных результатов (составивших его первую научную кубливацию) и сформулировал верную гииотеву относительно общего случая. Гипотеза состояла в том, что при р = д = г = оо, 7 = К экстремальной функцией в неравенстве (1) (т. е.
функцией, на которой неравенство обращается в раввнство) является периодическая функция, и-а производная которой принимает одинаковые по модулю значения, чередуя знаки на равных интервалах. Такие функции изучал еще Эйлер, а неаадолго до описываемых событий интерес к этим функциям был вновь возрожден известными работами Фавара, Ахиезера и Крейна. Доказать свою гипотезу Шилов ие смог. А. Н. Колмогоров сам увлекся втой задачей и получил ее полное решение. Этот результат и поныне остается наиболее ярким во всей проблематике, свяванной с неравенствами вида (1).
В комментируемой работе 74 40 сформулирована более общая задача, а именно аадача о неравенствах между произвольными конечными наборами норм в Ь (В) последовательных производнмх. Такая постановка возможна и на других многообразиях, а не только на В и Вв. Некоторые частные результаты в етом иаправлениидляЬ ~(В) получены Родовым [3[ и Дзядыком и Дубовиком [4, 5). В работе Динь Зувга и Тихомирова [6[ укаваиная задача полностью решена для функций из ьэ (В~) и Ьэ (Т') и дробных производных. Важнейший частный случай, когда 1 = ВМ, р = о = г = 2, был изучен ранее в диссертации Субботина [7). По-видимому, случай р = о = г = 2 единственный, когда в общей постановке аадача может быть исследована до конца.
При докавательстве основной теоремы А. Н. Колмогоровым был установлен ряд вспомогательных утверждений, которые впоследствии многократно использовались при доказательстве некоторых результатов теории приближений и в других вопросах (Корнейчук, Тайков, Габушин и др.). Стечкин [3[ обнаружил тесную связь между аадачей о вычислении точной константы в (1) и задачей о наилучшем приближении оператора дифференцирования на соответствующем классе функций.
Эти исследования вызвали новый интерес к проблематике, связанной с неравенствами (1). Результаты по своей завершенности, подобные колмогоровскому (т. е. когда вычислена точная константа в (1) для всех й и пи некоторых р, о и г), получены еще всего лишь в трех случаях на прямой: Харди — Лнттлвуд — Полна Коммевюарив [9] (р = д = г = 2); Штейн [10] (р = д = г = 1); Тайков [11] (т ='оо Р г = 2) и в двух случаях на полупрямой: Любич [12), Купцов !13) (Р =Я = г = = 2); Габушин [14) (д = ос, р = г = 2). Некоторые качественные и количественные аспекты в задаче при р = д = г = со, 1 = Ке были получены Швнбергом и Кавареттой и Тихомировым. Кроме того, иам известно порядка 20 частныхслучаев.
Арестов:1 = Килий,,5= 1, я= 2,р = со,диглюбые; 1 = = К или В+, й = 1, 2, я = 3, р = 9 = ос,.г любое; Бердышев: 1 = К~, й = 1, и=2,р=д=-г=1; Габушин:1=й,в=0,1, в=2,рлюбое,т= г= =со; Магарил-Ильяев: 1=К+, /е=О, 1, я=2, р любое, 1= г=оо; 1= = К или Ке, й = О, 1, и = 2, р = 1, д = со, г) 1; Маторин: 1 = К, й = = 1, 2, я = 3, р = е = г = со; Надь: 1 = К или й+, й = О, в = 1, р, о, г любые; Соляр: 1 = В, 2/е = и, с = 2, р любое, г = р/ (р — Ц. Ссылки на все зги результаты содержатся в [15). В работе [16] доказана одна теорема двойственности для неравенства (1), когда 9 = ос.
Из втой теоремы получаются следующие точные результаты: 1 = В или К+, я = О, в = 2, р любое, д = сс, г = 1; 1 = В или Кю й = 1, л = 3, р любое, д = ос, г = 1. Отметим еще работу [17), где разобран один случай неравенства (1), когда й дробное, а я целое. Буслаев получил точные неравенства в случаях: 1 = В, 0 ( й ( я, в = = 2, 3, в/д = (я — й)/р, г = ос [18). Здесь нет теоремы существования, однако наилучшая константа в неравенстве достигается на последовательности функций, сходящихся в пределе к функции, являющейся экстремалью в собственно колмогоровском неравенстве (1 = К, р = д = г = со, 0 ( е ( я).
Подобные точные неравенства представляют несомненный интерес для теории экстремальных задач — зто ее полигон. Почти все неравенства могут быть установленм непосредственным применением стандартных методов теории или незначительными их модификациями (частично об этом см. Алексеев, Галеев, Тихомиров [19, т 12]]. По нашему мнению, число точных результатов не может значительно увеличиться в будущем, поскольку это связано с необходимостью решать трудные нелинейные уравнения. Поэтому интересны разного рода качественные вопросы, которые могут заложить основы общей теории нелинейных уравнений, подобных тем, которые возникают как уравнения Эйлера соответствующих экстремальных задач.
Среди работ, относящихся к этой тематике, укажем рабаты Арестова [20], Габушина [21, 22] (в [21] получен критерий существования неравенства (1)), Буслаева, Магарил-Ильяева и Тихомирова [23) (где доказана теорема существования экстремальных функций в неравенстве (1)), Квонга и Зеттла [24). Мультипликативные неравенства вида (1) для функций многих переменных играют важную роль в теории уравнений с частными производными и в теории вложения классов гладких функций. Вопросы существования такого сорта неравенств рассмотрены, например, в работах Бесова [25), Бесова, Ильина и Никольского [26], Магарил-Ильяева [27). Что касается точных реаультатов, то, помимо уже цитированных работ [6, 7), отметим работы Коновалова [28) и Буслаева и Тихомирова [29].
Аналогичную роль играют неравенства (1) и для периодических функций. Вопросам существования посвящены работы [25, 26) и работа Клоца [39]. Ряд точных неравенств установлен в работах Лигуна. Классическое неравенство Колмогорова послужило отправным моментом для Неравенства двя производных (В. М. Тихомиров, Г. Г. Мазарин-Ильзсв) 389 осмысления вообще функционально аналитической природы мультипликативного неравенства. В частности, изучались такие неравенства для степеней операторов, определенных на абстрактных гильбертовых и банаховых пространствах. Здесь следует указать на пионерскую работу Любича [12[. ЛИТЕРАТУРА 1.
Бапдаи Е. Е!и!9е Ппб!е!сЬппбеп !ог зае!ша! 6Н[егепгх!егЬаге РппЬМопеп.— Ргос. Ьопс[оп Ма1Ь. Зос., 1913, то[. 2, № 13, р. 43 — 49. 2. Надатагд з. Заг 1е шос[п!е шах!шпш 6'ппе 1опс!1оп е! Ае зез дог!чеее.— С. г. зеапзез Зос. ша!Ь., 1914, чо!. 41, р. 68 — 72. 3.
Родов А. М. Зависимость между верхними гранями производных функции действительного переменного.— Изв. АН СССР. Сер. мат., 1946, т. 10, с. 257— 270. 4. Дзкдык В. К., Дубовик В. А. К проблеме А. Н. Колмогорова о вависимостях между верхними гранями производных вещественных функций, заданных на всей осн.— Укр. мат. журн., 1974, т. 26, № 3, с. 300 — 317. 5. Дзкдык В. К., Дубовик В. А. К неравенствам А.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
