Колмогоров А.Н. Уравнения турбулентного движения несжимаемой жидкости (1124030), страница 78
Текст из файла (страница 78)
Н. Колмогорова о зависимостях между верхними гранями производных вещественных функций, заданных на всей оси.— Укр. мат. журн., 1975, т. 27, № 3, с. 291 — 299. 6, Динь Зунз, Тихомиров В. М. О неравенствах для производных в метрике Яз.— Вести. МГУ. Сер. мат., мех., 1979, № 2, с. 7 — 11. 7. Суббзтнн Ю.
Н. Экстремальная функциональная интерполяция и приближение сплайнами: Доит. дис. Свердловск, 1973. 8. Стечкин С. Б. Наилучшее приближение линейных операторов.— Мат. заметки, 1967, т. 1, № 2, с. 137 — 148. 9. Харди Г. Г., Питт.ььвуд Дж. Е., Полна Г. Неравенства ( Пер. с англ. Мл Иэд-во иностр. лиг., 1948. 10. Эссвп Е.
М. Рппс11опз о! ехропепМа1 !уре.— Апп. Ма!Ь., 1957, го!. 65, № 3, р. 582 †5. 11. Тайквв Л. В. Неравенства типа Колмогорова и наилучшие формулы численного дифференцирования.— Мат. ааметки, 1968, т. 4, № 2, с. 233 — 238. 12. Любин Ю. И. О неравенствах между степенями линейного оператора.— Иав. АН СССР. Сер. мат., 1960, т.
24, с. 825 — 864. 13. Купцов Н. П. Колмогоровские оценки для производных в Бз [О, ссЬ вЂ” Тр. МИАН СССР, 1975, т. 138, с. 94 — 117. 14. Габушин В. Н. О наилучшем приближении оператора дифференцирования на полупрямой.— Мат. заметки, 1969, т. 6, № 5, с. 573 — 582. 15. Мазарил-Илькзв Г. Г.
Вложение обобщенных соболевских классов и неравенства для производных: Каца. дис. Мл МГУ, 1980. 16. Мазарин-Ильхзв Г. Г. Неравенства для производных и двойственность.— Тр. МИАН СССР, 1983, т. 161, с. 183 — 194. 17. Мазарин-Ивьхвв Г. Г., Тихомиров В. М. О неравенстве Колмогорова для дробных производных на полупрямой.— Апа!. ша!Ь., 1981, чо!. 7, !Ч 1, р.
37 — 47. 18. Буслаев А. П. О точных константах и неравенствах для производных.— В кнх Школа по теории операторов в функциональных пространствах: Тез. докл. Минск, 1982, с. 29. 19. Алексеев В. М., Галеев Э. М., Тихомиров В. М. Сборник задач по оптимизации. Мх Наука, 1983. 20. Арвстав В. В. О наилучшем равномерном приближении операторов дифференцирования.— Мат. заметки, 1969, т.
5, № 3, с. 273 — 284. 21. ГабушннВ. Н. Неравенства для нормфункцийиее производныхв метриках Бю — Мат. заметки, 1967, т. 1, № 3, с. 291 — 298. 22. Габушнн В. Н. Наилучшее приближение функционалов на некоторых множествах.— Мат. заметки, 1970, т. 8, № 5, с. 551 — 562. 23. Буслаев А. П., Магариз-Изьксв Г. Г. Тихомиров В. М. О сгшестзозании эн- 390 Комментарии стремальных функций в неравенствах для проиаводных. — Мат. заметки, 1982, т.
32, № 6, с. 823 †8. 24. Кмоиу М. К., ХегВ А . Ваппйса!!опз о1 Ьапдаи'з 1пецпаН«у. — Ргос. Ноу. Бос. Бб!пЬпгб, 1980, чо!. 86А, р. 175 †2. 25. Весов О. В. Мультипликативные оценки для интегральных норм дифференцируемых функций многих переменных. — Тр. МИАН СССР, 1974, т. 131, с. 3 — 15. 26.
Бесов О. В., Ильин В. П., Никольский С. М. Интегральные представления функций и теоремы вложения. Мл Наука, 1975. 27. Магарил-Вльлев Г. Г. Задача о промежуточной производной.— Мат. заметки, 1979, т. 25, № 1, с. 81 — 96. 28. Коновалов В. Н. Точные неравенства для норм функций, третьих частных, вторых смешанных или косых производных.— Мат.
заметки, 1978, т. 23, № 1, с. 67 — 78. 29. Буслаев А. П., Тихомиров В. М. 0 неравенствах для проиаводных в многомерном случае.— Мат. заметки, 1979, т. 25, № 1, с. 59 — 74. 30. Клоц Б. Е. Приближения дифференцируемых функций функциями большей гладкости.— Мат. заметки, 1977, т. 21, № 1, с. 21 — 32. КОЛЬЦА НЕПРЕРЫВНЫХ ФУНКЦИЙ (Е. А. Горин) Работа № 41 явилась одной из первых, где по существу обсуждается тезис: «если Х вЂ” топологическое пространство с достаточно благополучной топологией и С (Х) — совокупность всех действительных (или комплексных) непрерывных функций на Х, то снабженное достаточно богатой алгебраической или топологической структурой С (Х) определяет Х с точностью до гомеоморфизмао. Существуют (хаусдорфовы и регулярные) топологические пространства вообще без непрерывных действительных функций, кроме констант. В этой связи по соображениям, приведенным в работе, пространство Х разумно предполагать вполне регулярным и, более того, хотя бы сначала — компактом (ие обязательно метризуемым).
Разумеется, дополнительные операции и структуры на С (Х) предполагаются согласованными с естественными поточечиыми. Имея зто в виду и считая для простоты Х компактом, мы можем наделить С (Х) структурой аддитивной группы, векторного пространства, мультипликативной полугруппы, решетки, метрического пространства с метрикой, порожденной зир-нормой, банахова пространства, кольца, алгебры, топологического векторного пространства, топологической (банаховой] алгебры и т. д. Часть вз названных структур слаба для идентификации компакта Х. Например„аддитивные группы всех сепарабельных банаховых пространств изоморфны. В качестве векторного пространства С (Х) позволяет отличить бесконечные метрические компакты от конечных и в последнем случае определить число элементов.
Первме примеры негомеоморфных метрических компактов Х с топологически изоморфными векторными пространствами С (Х) укааывали Банах и Барсук еще в начале 30-х годов, а в 1951 г. Милютин установил, что все пространства С (Х), где Х вЂ” несчетный метрический компакт, линейно топологически изоморфны между собой. С другой стороны, класс изометрии С (Х) определяет Х с точностью до гомеоморфизма (Банок, 1932; предположение о метризуемости Х в атой теореме в даль Кольца ненреривниа функций (Е. А. Горин) 391 иейшем было снято Стоуном).
С (Х) определяет Х и как векторная решетка (Накутани, 1941), В первой части данной работы устанавливается, что алгебраический иэоморфизм С (Х) и С (е ) влечет аа собой гомеоморфность компактов Х и г . По нашему мнению, аначение этой части работы не столько в том, что данный результат является формальным усилением предшествующей теоремы Стоуна — Шилова, которые предполагали наличие топологического изоморфизма между алгебрами С (Х) и С (У), сколько в методе, основанном на идентификации максимальных идеалов с точками компакта. Во второй части, где речь идет об алгебрах С' (Х) ограниченных непрерывных функций на проиэвольном вполне регулярном пространстве, существенно используются чеховские расширения.
И адесь, на наш вэгляд, важнее доказанных теорем соображения, позволяющие в алгебраических терминах описать чеховское расширение. В дальнейшем эти идеи развивались: беря вместо С' (Х) ту или иную подалгебру, в качестве «пространства максимальных ндеалов» можно получать различные полеаные компактификации исходного пространства Х. Беэусловный интерес представляют и схемы докааательств, различные моднфикации которых в дальнейшем применялись при исследовании максимальных идеалов других симметричных алгебр функций. Наэванная в начале предыдущего абваца теорема фактически сводится к рассмотрению топологического иэоморфиама алгебр.
Действительно, если, например, основное поле — действительные числа, то неотрицательность функции равносильна представимости ее в виде квадрата, а это свойство сохраняется при иэоморфиэме. Поэтому сохраняются соотношения 7 > д, откуда вытекает непрерывность. Сам по себе факт автоматической непрерывности изоморфиэма сохраняется для алгебраическиг1 ивоморфизмов и коьшлексных алгебр всех непрерывных функций. Более того, в дальнейших исследованиях Гельфанда было обнаружено„что каждый гомоморфизм иа банаховой алгебры в полупростую коммутативную банахову алгебру автоматически непрерывен.
Это, конечно, влечет за собой автоматическую непрерывность иэоморфизмов полупростых коммутативных банаховых алгебр. Окааалось (Джонсон, 1967), что и коммугативность эдесь не важна: каждый эпиморфиам иэ банаховой алгебры на полупростую банахову алгебру непрерывен. О другой стороны, в допущении континуум-гипотезы для каждого бесконечного компакта Х имеются разрывные мономорфизыы иа С (Х) в некоторую банахову алгебру (так что норма на С (Х) допускает раарывное усиление; Далес, Эстерль, 1977). Если компакт Х обладает дополнительной структурой, например является гладкиы или аналитическим многообразием с краем, то вместо всего С (Х) имеет смысл рассматривать его надпространства и подалгебры.
Пусть для простоты Х вЂ” выпуклый компакт в комплексном евклидовом пространстве Он и А (Х) состоит из непрерывных функций, аналитических внутри Х. Относительно естественных операций и нормы А (Х) является замкнутой подалгеброй в С (Х) и, как и в случае С (Х), максимальные идеалы А (Х) соответствуют точкам. Алгебраический иаоморфизм между двуми такими алгебрами А (Х) н А (е') окаэывается топологическим и индуцирует гомеоморфивм между Х и е', сохраняющий аналитическую структуру внутри. Этот факт по существу есть легкое следствие общих теорем теории банаховых алгебр. В частности, если Х вЂ” шар, У вЂ” коли- диск и и ) 2, то ввиду теоремы Пуанкаре А (Х) и А (г ) неиэоморфны.
Более тон- 392 Комментарии кий результат принадлежит Хенкину (1968): в последнем случае А (Х) и А (У) неизоморфны даже как банаховы пространства. В последней части работы рассматривается алгебра С (Х) всех непрерывных функций иа произвольном вполне регулярном пространстве Х. Такую алгебру, вообще говоря, не удается снабдить какой-либо топологией с хорошими свойствами, и поэтому принятый в работе подход, свяаанный с рассмотрением С (Х) как чисто алгебраической структуры, в атой ситуации выглядит особенно естественно.
Результаты последней части данной работы получили непосредственное дальнейшее раавитие в исследованиях Хьюитта, Нагаты, Сироты и многих других. Если от произвольных пространств Х перейти, например, к многообразиям Штейна и ваять совокупность А (Х) голоморфных функций, то возникают вопросы типа обсуждавшихся выше, но за пределами банаховых пространств. Снабдим А (Х) топологией равномерной сходимости на коьшактах. Топологическийизоморфизм векторных пространств А (Х) и А (У), вообще говоря, не приводит к (биголоморфной) эквивалентности миогообрааий, например, такие пространства в шаре и полидиске той же раамерности изоморфны.
Однако для полидисков рааличной размерности изоморфнама пространств уже нет,и первые доказательства были основаны на оценках е-энтропии компактов в атих пространствах (А. Н. Колмогоров, 1958). Заметим, кстати, что алгебраический изоморфизм алгебр А(Х) непрерывен и порождает биголоморфную эквивалентность многообразий. Таким образом, данная небольшая по объему работа может рассматриваться в качестве одного из источников многочисленных и разнообрааных исследований. Наряду с работами Стоуна и Шилова она явилась одной из первых работ, где общеалгебраическая идея максимального идеала и новая концепция пространства максимальных идеалов были с успехом привлечены к проблемам теоретнко-множественной топологии.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
