Колмогоров А.Н. Уравнения турбулентного движения несжимаемой жидкости (1124030), страница 79
Текст из файла (страница 79)
С неменьшим успехом в применении к проблемам математического анализа эта концепция проявляется в возникшей в конце 30-х годов гельфандовской теории коммутативных банаховых алгебр иад полем комплексных чисел (в этом, кстати, ее отличие от общей теории коммутативных колец, где главную роль играют ке максимальные, а простые идеалы; в отличие от простых идеалов максимальные идеалы банаховой алгебры замкнуты). Впрочем, не лишне, быть может, отметить, что в успехе этой теории принципиальную роль сыграл выбор в качестве основного именно поля комплексных чисел, что позволило не только установить естественное биективное соответствие между максимальными ндеаламв и комплексными гомоморфизмами, но и привлечь аппарат комплексного аиалиаа для изучения алгебр, весьма далеких от С (Х), что зачастую приводит к глубоким результатам, не имеющим простых вещественных аналогов. КРИВЫЕ В ГИЛЬВЕРТОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ (И.
А. Рованов) В работах уй 42 и 43 рассматриваются функции г " (г) действительного переменного с со аначениями Цг) ш Н в гильбертовом пространстве, для которых преобразования сдвига и подобия в пространстве переменного г индуцируют аналогичные преобразования в пространстве Н над 3 (в). При реализации К как К раоотг зо имтуидионигтгкой логике (А. Я. Колмогоров) 393 гильбертова пространства (тнпа В ) случайных величин речь идет о случайных процессах со стационарными приращениями н нх подклассах (стационарных процессах, процессах со стационарныии ортогональнымн приращениями, винеровском процессе) с точки зрения их корреляционной и спеитральной структуры.
Непосредственным продолжением работ № 41 и 42 явились многочисленные исследования различных авторов, посвященные случайным функциям на группах и однородных пространствах, а также обобщенным случайным функцияы, соответствующие классы которых (случайные поля с однородными приращениями и др.) были охарактеризованы с точки зрения их корреляционной и спектральной структуры, что потребовало, в частности, соответствующей характеризации положительно определенных функций, обобщающей известную теорему Бохнора — Хинчина (основные результаты н библиографию можно найти, например, в книге (1)).
нужно отметить, что классы случайных функций с (1), те или иные вероятностные свойства которых подобно-инвариантны относительно преобразования подобия над переменным д оказались важными в различных приложениях, в частности в статистической физике (см. по этому поводу, например, книгу (2)). ЛИТЕРАТУРА 1. Гвльфамд И. М., Вилвнзин Н. Я. Некоторые применения гарионичесиого анализа. Мл Физматгиз, 1961. 2. Синай Я. Г. Теория фазовых переходов. Мл Наука, 1980. К РАБОТАМ ПО ИНТУИЦИОНИСтСКОИ ЛОГИКК А. Н.
Л'олмогорог Работа № 9 (ПТНД) мыслилась мной как вводная часть более широкого вамысла. Построение в рамках интуицноннстской математики моделей различных разделов классической математики должно было служить для обоснования их непротиворечивости (непротиворечивость интунционистской математики при этом считалась следствием ее интуитивной убедительности). Для обоснования непротиворечивости классической логики высказываний такой путь, конечно, излишен, но предполагалось, что метод окажется применимым и к обоснованию непротиворечивости классической арифметики (ср.
работу Геделя 1933 г.). Работа №о 19 (ТИЛ) писалась в надежде на то, что логика решения задач сделается со временем постоянным рааделом курса логики. Предполагалось создание единого логического аппарата, имеющего дело с объектами двух типов — высказываниями и эадачамн. Комментарии 394 ИНТУИЦИОНИСТСКАЯ ЛОГИКА УВ, А, Успенский, В, Е. Или«ко) Обе логико-математические работы А. Н. Колыогорова — «О принципе 1ег- 1!пш поп <[а1пг»' (№ 9 наст. иэд,) [9] и <К толкованию интуиционистской логики» (№ 19 наст. изд.) [10) (в дальнейшем будем обоаначать их ПТНД и ТИЛ) — посвящены интуиционистской логике.
Они были написаны в то время, когда изучение неклассических логических систем только начиналось. Миогие вопросы, впервые рассмотренные в этих работах, впоследствии были исследованы другими авторами. Известный специалист в области математической логики Ван Хао в своем предисловии [42] к английскому переводу ПТНД в [30] пишет: «Эта статья в большой степени предвосхитила не только гейтингову формалиаацию интуиционистской логики, но и результаты о переводнмости классической математики в интуиционистскую.
Оиа устанавливает важную связь между интуицпопиамом и другими исследованиями по основаниям математики». В предисловии к хрестоматии [30] ее составитель отмечает, что ПТНД представляет,' собой первое систематическое исследование иятуицнонистской логики. Цель настоящего комментария — проследить развитие идей, выдвинутых А. Н.
Колмогоровым в его логика-математических работах. Текст статьи ПТНД перепечатывается в настоящем издании без существенных изменений (исправлены только замеченные опечатки). Статья ТИЛ переведена с немецкого. При переводе несколько иамеяева вались логических формул: выесто принятой в оригинале точечной системы ааписи (см.
[24, ] 1Н), ныне редко употребляемой, используется более привычная для современного читателя скобочная система. Эта же скобочная система принята и в ПТНД, и в настояще и комментарии. При записи пропозициональных формул мы придерживаемся си»валики, которая испольаовака в ТИЛ. Она несколько отличается от символики,принятой в ПТНД. Именно мы пишем > вместо для обоаначения импликации, )А вместо А для обоаначения отрицания; в качестве пропоаициональных переменных мы используем строчные латинские буквы (в ПТНД используются прописные буквы).
Квантор всеобщности в ПТНД и ТИЛ ааписывается в виде (х), а квантор существования в ПТНД вЂ” в виде (Ех) (в ТИЛ кваитор существования не встречается); мы пользуемся современными формами записи: ех и Зх. Интуициоиистское направление в математике (иазываемое в ПТНД «интуитивистским») возникло в начале ХХ в. благодаря работам Брауара, Вейля и др Философские и методологические предпосылки интуициоиизма наложены, например, в книге Гейтвнга [3], где, в частности, говорится: «К интуиционистам мы относим тех математиков, которые принимают еле дующие два принципа: 1. Математика обладает не только чисто формальным, но и содержательным вначением.
' Тег«[иш поп <]а«пг (лат.) — третьего не дано. Интуиционистскак логика (В. А. У«конский, В. Е. Плиско) 395 2. Математические предметы непосредственно постигаются мыслящим духощ следовательно, математическое познание не аависит от опыта». Первый принцип противопоставляет интуиционизм формалистской точке зрения, принятой в качестве рабочего методологического принципа гильбертовой я«колой обоснования математики. Как отмечается в ПТНД, гл. 1, формалистская (иазываеыая в ПТНД «формальной») точка зрения на математику утверждает, что математика представляет собой совокупность предложений определенного формализованного языка, выводимых из некоторой системы аксиом, причем выбор аксиом нроиаволен и подчиняется лишь более или менее условным соображениям практического удобства, а также обязательному требованию непротиворечивости.
Покрое об истинности или ложности математических суждений с формалистской точки арения не имеет смысла. Можно говорить лишь об их доказуемости или опровержимости на основе аксиом. Таким обрааом, первый из перечисленных принципов интуициониама признает за математикой существование предмета ее исследования, однако второй принцип объясняет его исключительно продуктом мышления, отрицая какой бы то ни было объективный, независимый от мышления характер математических предметов. Отвергая свяаь истинности математических суждений с опытом, в качестве единственного критерия истинности в математике Брауэр провозглашает интуицию.
При атом, как указывает Гейтинг [3, с. 20), браузровскую интуицию не следует понимать в каком-то «мистическом» смысле. Речь идет лишь о том, что согласно концепции Брауара математические объекты рождены человеческой мыслью н потому истинность суждений о них полностью определяется представлениями (об этих объектах) того математика, в сознании которого сложились ати объекты. Строго говоря, с точки арения интуиционизма сколько математиков — столько и математик. Однако в силу каких-то общих свойств человеческого мышления воз»«ожив[ образование в сознании разнмх людей сходных математических понятий. К ниы относится, например, понятие натурального числа.
Отправляясь от этого понятия, ка основе интуиционистских представлений может быть развита своеобрааная математическая теория. Исходные[ философские предпосылки интуиционизма окааались неприемлемыми для значительной части математиков и были подвергнуты обоснованной критике. Так, А. Н. Колмогоров в предисловии к книге[3) пишет: «Мы не можем согласиться, что математические объекты являются продуктом конструктивной деятельности нашего духа.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
