Колмогоров А.Н. Уравнения турбулентного движения несжимаемой жидкости (1124030), страница 80
Текст из файла (страница 80)
Для нас математические объекты являются абстракциями реал»но существующих форм неаависиыой от нашего духа действительности». Однако и интуиционистская критика классической теоретико-множественной математики оказалась весьма плодотворной для математики в целом, так как привлекла внимание к проблемам конструктивного образования абстрактных математических понятий и к вопросу о границах применимости классической логики. С точки зрения интуиционизма как конструированиематематических объектов, так и рассуждения о них должны подчиняться критерию интуитивной ясности и убедительности. Касаясь отношений между математикой и логикой, Гейтинг[3, с.
22[ указывает, что в интуиционистской математике умозаключения не производятся по заранее установленным правилам (как в формалистской концеп- ЗЗВ долм«атарик ции Гильберта), т. е. ие фиксируется какая-либо априорная логическая система. Убедительность каждого логического шага должна проверяться непосредственно в соответствии с интуицией. Это, однако, ие исключает существования общих правил, по которым иа одних истинных математических предложений интуитивио ясным путем получаются другие истинные математические предложения. Таким образом, имеет смысл говорить об иитуициоиистской логике как о совокупности интуитивно приемлемых способов математических умозаключений. Основоположник иктуициониама Брауэр предпринял аналиа принципов аристотелевой логики и пришел к выводу, что применимость закона исключенного третьего («ег«!пш) поп да«пг), выражаемого логической формулой а ~/ ) а, ие во всех случаях можно считать очевидной.
В работе ПТНД впервые предиривимается попытка построения формальной логической системы, которая содержала бы только иитуициоиистски приемлемые законы логики высказываний. С этой целью подвергается критическому анализу система аксиом классической логики, предложенная Гильбертом. В реаультате формулируется следующая система аксиом иитуиционистской логики, обоаиачаемая»Э: 1. а~(Ь )а); 2. (а )(а >Ь))~(а~Ь); 3. (а ~ (Ь ) с)) е (Ь ~ (а ~ е)); 4. (Ь >е) )((а еЬ)~(а~с)); 5. (а ) Ь) ~ ((а ~ ) Ь) ~ ) а). Другие законы логики выскааываиий раарешается получать иа этих аксиом с помощью правила подстановки и правила заключения, или правила «модус поиекс», поаволяющего от формул А ~ В и А перейти к формуле В.
Система Ф (как и рассматриваемая в ПТНД гильбертова система аксиом для классической логики высказываний) содержит логические законы, касающиеся импликацки-и отрицания, в то время как, скажем, дизъюккция и конъюнкция остаются впе поля зрения. В этом ааключается некоторая ограиичеииость предлагаемой системы. Однако ааметим, что связки ~ и ) выражают наиболее важные с логической точки зрения отношение следования и операцию отрицания, а дополнительные аксиомы, разъясняющие смысл коиъюикции и дизъюикции (например, упоминаемые в ПТНД аксиомы Аккермаиа для дизъюикции), могут быть без иамеиекий перенесены иа классической логики в иитуяциоиистскую. Кроме того, именно ограниченность системы к) делает реаультаты о возможности погружения в нее классической логики особенно сильными.
Пополиеиная естественными логическими законами для дизъюнкции и ноньюикции система й) превращается в так называемое минимальное исчисление. Это исчисление и термин «мииимальиое» были введены Иогансоном [ЗЗ). Черч (24, 4 26) называет минимальное исчисление «мииимальным пропоаициоиальиым исчислением Колмогорова и Иогансона». Оправданием такой терминологии служит ие только основополагающая роль А. Н.
Колмогорова в формировании минимального исчисления, ио и следующий факт: всякая формула, выводимая в минимальном исчислении и содержащая лишь знаки импликацви и отрицания, выводщш и в колмогоровской системе Ф. Внтуиэиомистскак логика 1В. А. У«иенский, В. Е. Плиско) 397 В $ 3 главы Ч работы ПТНД рассматриваются интуитивно очевидные предикатные аксиомы: 1.
т х (А (х) ~ В (х)):) (у хА (х) ) Ч хВ (х)). П М х (А ~ В (х)):~ (А:) Ч хВ (х)); Ш. Чх(А(х)~С) ~(йхА(х) >С); 1Ч. А (х) > 3 хА (х) и правило вывода Р, позволяющее от формулы А перейти к формуле Ч хА. После присоединения этих аксиом и правила Р к системе З возникает некоторый вариант интуиционистского исчисления предикатов.
Аналогичным путем вз минимального пропозиционального исчисления получается минимальное исчисление предикатов. Таким обрааом, система Ф, введенная в работе ПТНД, является первой аксиоматнзацией интуиционистской логики высказываний, а ее предикатное расширение — первой аксиоматиаацией интуиционистской логики предикатов. Позднее другие системы интуиционистской логики (с более широким запасом вводимых форыул) были предло>иены Гливенко [28], Гейтингом [31], Генценом [27]. Все они окааались эквивалентными в том смысле, что в них выводимы одни и тв же логические принципы. Особенностью системы 6 и минимального исчисления, отличаю>цей их от системы Гейтинга и эквивалентных ей систем, является неприятие логического принципа ]а )(а гЬ).
По мнению А. Н. Колмогорова, эта формула не имеет интуитивных оснований «как утверждающая нечто о последствиях невозможного: мы обязаны прианать В, если признали ложным истинное суждение А> (ПТНД, гл. Н, ] 4). Невозможно докааать адекватность представления интуиционистской логики посредством какой-нибудь системы аксиом, если сама эта логика не имеет точной семантики. Все же, независимо от каких-либо семантических уточнений, наиболыпее признание получила система аксиом, предложенная Гейтингом (как и в ТИЛ, мы сохраняем нумерацию аксиом, назначенную Гейтингом [31]); 2.1 а~а/~а 2.11 а /~ Ь ) Ь /~ а 2Л2 (а "г Ь) г (а /~ с г Ь /~ с) 2.13 (а г Ь) гн, (Ь ) с) г (а г с) 2Л4 Ь г (а г Ь) 2Л5 а /~ (а ~ Ь) ~ Ь 3.1 а ~ а ~/ Ь 3 11 а ~/ Ь ' г Ь '/ а ЗЛ2 (а г *) /~ (Ь г с) ~ (а '/ Ь ~ с) 4.1 ] а г (а г Ь) 4.11 (а г Ь) Л (а:З ] ~):) Эта и эквивалентные ей системы и получилн в дальнейшем название кнтуиционнстского исчисления высказываний. Были найдены разрешающие процедуры для этого исчисления, т.
е. алгоритмы, позволяющие для проиавольной формулы установить, выводима ли она в этом исчислении (Генцен [27], Яськовсккй [32], Пильчак [15], [16], Воробьев [2] и др.). Обнаружены алгебраические и топологвческие интерпретации интуиционистскоп логики высказываний, естест- К»ммеиюарии пенным образом обобщающие интерпретации классической логики посредством булевых алгебр (Стоун [40), Тарский [41), Маккинон и Тарский [36, 37), Расева [38[). Наиболее близкой к собственно логическому содержанию интуиционистскохо исчисления высказываний (и исчисления предикатов) оказалась семантика этого исчисления, предложенная Кринке [35[.
Детальное наложение рааличных интерпретаций интуиционистской логики содержится в книгах [5, 20). П! Выше ыы отыечали, ссылаясь на Рейтинга [3), что фиксирование иитуициомистской логики в виде какой-либо системы аксиом не имеет принципиального вначения для интуиционизма. Однако построение такой системы позволяет сделать интуицпонистскую логику предметом математического исследования, уже не зависящего от методологических принципов интукционизма. После того как мнтуиционистское исчисление высказываний явно сформулировано, сам термин «интуиционистское» свидетельствует лишь об истории возникновения его ы не должен вводить в заблуждение при оценке подлннной сущности этого исчисления как логика-ыатематического объекта.
Таким образом, систему 9 из работы ПТНД можно характеризовать как подсистему интунционистского исчисления высказываний и одновременно как ммпликативно-негативный фрагмент минимального исчисления Иогансона, Именно в таком контексте основные реаультаты этой работы и формулируются в книге Черча [24[. А именно реаультаты главы П1 из ПТНД сформулированы в [24) (упражнение 26.20) следующим образом: если в некоторой теореме классического исчисления высказываний, в которой нет связок, отличных от импликации и отрицания, заменить все вхождения каждой переменной на ее двойное отрицание, то получающаяся формула будет теоремой минимального исчисления.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
