Колмогоров А.Н. Уравнения турбулентного движения несжимаемой жидкости (1124030), страница 84
Текст из файла (страница 84)
Колмогоров в первой же статье (№ 32) вместе с когомологиями определяет и двойственные нм гомологии, причем это определение простое и прямое — оно не использует первичные понятия комбинаторной топологии и предельные процессы. В этом смысле — это совершенно новое изложение теории гомологии. Оно аналогично определению когомологии и в том смысле, что исходит из общематематического понятия функции — функции точки в случае Теория голояогий (Г. С. Чогошоияи) 407 когомологии и функции многкеств в случае гомологии. Оно двойственно когомологии в смысле теории характеров. Именно в статье № ЗЗ доказывается, что группы гомологвй в когомологий одного и того же пространства и одной н той ,ке раамерности (первая вад компактной, а вторая над дискретной группой когффициевтов) двойствеины, если двойственны группы коаффициентов.
Это есть новый, третий вид законов двойственности в алгебраической топологии — авион, связывающий гомологии и когомологви. (Первым двум законам — закону Пуанкаре и закону Александера, имеющему истоки в теоретико-множественной топологии — в теореме Жордана — посвящены статьи № 34 и № 35.) Верный своему аналитическому подходу, Колмогоров подчеркивает, что проиаведением при этом является и-кратный интеграл в смысле Радона — Стилтьеса от проиаведения соответствующих функций. Простота его определения проявляется и в том, что, налагая гомологии, ассоциированные с его же когомологиями, ои не крпользует каков-либо иа них при определении другого. Этим он отличается от многих последующих авторов, например от Масси, который важным, давно искомым и окончательным достижением считает введение гомологий череа когомологии Александера — Спеньера посредствомфунктора Нош (см.
[7, 16)). Вспомним, что сам Александер свою цель при введении когомологий видел [2[ в гпотребности построить полученную дискретную группу более непосредственным путемг, чем «сложный путь» ее определения через группу характеров, который ведь тоже представляет собой Нош. Статья № 34 посвящена связям гомологической теории автора с другими теориями и ааконом Пуанкаре. Однако она не менее ценна привлечением тех методов, которые Колмогоров испольаует при исследовании укааанных вопросов. Это — теории гомологий и когоыологий второго рода, как их теперь часто вавывают. Разбиения приводят (см.
[17, 18[) к той равновириости теории гомологии Александрова — Чеха, которая в отличие от самой теории Александрова — Чеха является точной и которая естественно ассоциируется с теорией (ко)гомологий Колмогорова. Бесконечные циклы и их гомологии, как будет укавано ниже, вскоре привлекли внимание и нашли разиообрааиые приложения [21]. Конечные коцепи дали те когомологив, к котормм пришла, как было отмечено выше, теория Александера — Спеньера в ревультате ее долгого развития (см. [10, 7[). Равбиеиия Колмогоров использует для сравнения своей теории гомологий с теорией Вьеториса — с наиболее равработанной к тому времени теорией гомологий. Гомологии Вьеториса были определены в то время для компактных метрических пространств.
Поэтому Колмогорову достаточно было рассмотреть лишь последовательности разбиений, хотя свои гомологни он определил для пшрокого класса локально компактных пространств. Он докавывает, что его группы гомологий в случае компактных метрических пространств и при комцактвой группе коэффициентов ивоморфны группам гомологвй Вьеториса, более того, что иаоморфивм имеет место на уровне цепных комплексов. Он ото делает, привлекая теорвю проекционных циклов П. С. Александрова.
Впоследствии, польвуясь проиввольными (квавиупорядоченнмми) спектрами, основанными на всех (конечных) равбвениях, Чогошвили покавал, что группы гомологий Колмогорова любмх локально компаитных пространств при компактной группе коэффициентов ивоморфны группам гомологий Александрова, вая- 408 Комменжарии тым стяосителько так вааываемых особых подкомплексов и, следовательно, группам гомологий Александрова — Чеха для компактных простракств (см. (17, 18)). Лефшец показал, что гомологическая теория Александера — Колмогорова представима в виде проекционной теории одкоэиачиого решеточиого спектра (19). Доукер докааал, что гомологические группы Алексаидрова— Чеха и Вьеториса иаоморфвы для любых пространств [20). Иа этих изоморфизмов следует, что группа гомологий Колмогорова иаоморфиа группе гомологий Стикрода (21) (и, следователько, иаоморфиой ей группе гомологий Ситникова, см.
[22, 23)) в случае компактвых метрических пространств (для которых и построеиа группа Стикрода), так как сам Стиирод покааал, что его группы иаоморфвы группам Вьеториса при компактвой группе коеффициеитов~ Отметим далее, что иа изоморфизма групп гомологий, конечно, следует иэоморфиам и двойственных им групп когомологий (ср. [24)). Теория гомологий Колмогорова обладает рядом замечательвых свойств, Остановимся подробнее ка одном из иих, ка так каеываемом свойстве точности— желательного соотношения между множествами циклов и ограиичивающих циклов определенных родов — понятия, введенного в 40-х годах [15).
Теории Александрова — Чеха в отличие от сингулярной ие обладает свойством точиости. Компактность групвы коэффициентов, иесколько раа упомянутая выше, требуется потому, что при вей гомологии Александрова †Че и Вьеториса, вэятые, кроме того, для компактных пространств, обладают как раа свойством точности. Долго велись поиски усовершеиствоваккых вариавтов [теорий Алексакдрова — Чеха и Вьеториса, обладающих при тех илк иных дополкительных условиях свойствами, аналогичными свойству точкооти. Иопшкые циклы Александрова, проекционные циклы Лефшеца, компактификации Понтрягииым группы коэффицкевтов и группы гомологии Вьеториоа были основными моментами в процессе этих исканий.
(Правда, точность обычно приобреталась аа счет потери какого-либо хорошего свойства, капример иепрерывкости [15).) Цель была достигнута, когда в 1940 г. Стикрод для компактиых метрических пространств построил теорию гомологий, существекио опирающуюся иа теорию бескокечвых циклов, которая является точкой при любой группе коэффициентов.
В 1951 г. иаоморфиую теорию построил Ситников (см: [22, 23)). Чогошвили построил группы гомологий, иаоморфкые группам А. Н. Колмогорова и дающие их спектралькое представление [17). Одкако Валавадае в своей диссертации (25), имеющей целью аксоиматическое исследовакие (ко)гомологий Колмогорова и рассмотреиие случая с аамекеикой группой коеффициеыгов (диск. реткые гомологии и компактвые когомологии, а ке наоборот, как у А. Н. Колмогорова), ввел ведостававшиеся для этого понятия (ивдуцировавкые гомоморфиамы и т. п.) и в числе других теорем (капример теоремы деюйствеяиости между гомологиями и когомологиями) доказал, что теория Колмогорова удое летворяет всем аксиомам Стикрода — Эйлеиберга, в частиости аксиоме точности, Мдаикаришвили (см. [26, 27)) покааал, что ета теория удовлетворяет условиим теоремы едикствевиости Милкора и, следовательио, иаомофиа теории Стиирода при дискретной (а ие только при компактиой) группе коэффвциеитов; Таким обрааом, окаэалось, что искомая точная теория была найдена в виде теории Колмогорова ва четыре года раиьше Стикрода и притом для более широкого класса локально компакткых пространств.
Отметим, что теории (ко)гомологяи Теория гомология (Г. С. Чооошо ли) локально компактных пространств, в том числе со звачевиями в (ко)пучках, посвящево большое число работ (см., например, [28 — 301). Отдельный раадел под вазвавием «Гомологии Стиврода — Ситвиковао (а фактически это — гомологии Колмогорова) имеется в предметной классификации аа (980 г.
Американского математического общества, чем признается актуальвость этой тематики ва 80-е годы. Эта тематика и указанные работы вепосредствевво касаются теории Колмогорова. Теорема Пуанкаре доказывается (№ 34) для групп гомологий и когомологий с конечными и бесконечными (ко)цепями клеточиого разложения открытого и-мериого многообразия. Группы коэффициентов дискретвые в случае ковечиых и компактные в,' случае бесконечных (ко)цепей. Соотношения выражены в изоморфизмах и двойствевностях. Представление закова двойственности Пуанкаре одновременно в гомологиях и когомологиях придает ему особую ясность, полноту и естественность. В последней статье (№ 35) доказывается, что обе группы Колмогорова— когомологическая и гомологическая — являются объеьтами закона двойствевности Алексавдера.
Закон Александера служил в то время показателем целесообразности и полезиости введенвого гомологического понятия и в этом смысле закон Александера выполиял те фувкции, которые сейчас выполняют аксиомы (ко)гоыологий. Это понятно, так как аксиомы (ко)гомологий в основном и представляют собой главные моменты доказательства законов двойствепвости. Например, аксиома вырезания, являющаяся характерным свойством функтора (ко)гомологий, отдельво приведена Колмогоровым в ее сильной форме. Сам вид теорем Колмогорова, соотносящий (ко)гомологии соседних, а ве дополвительных размервостей, выражает освоввое авено (ко)гомологической последовательвости — так вазываемый связывающий гомоморфиам.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
