Колмогоров А.Н. Уравнения турбулентного движения несжимаемой жидкости (1124030), страница 87
Текст из файла (страница 87)
Мл Изд-во иностр. лиг., 1959. 399 с. 4. Гил»берт Д. Основания геометрии. М.; Лл Гостехнздат, 1948. 497 с. 5. Ко)толею(( А. 2иг Вебгйвйивб бег рго[ейг)теп Пеошегг1е.— Агш. Ма«Ь., 1932, то). ЗЗ, Х 1, р. 175 — 176. Комментарии 6.
37«итани х". Соп«!ппоиз 8еоще«гу. Ргьпсе«оп: ()и!ч. Ргез», 1960. 299 р. 7. Роигг(арки Ь. БЬег в«е«кйе а1деЬга!»сЬе Когрег.— Апп. Ма«Ь., 1932, чо1. 33, Х 1, р. 163 — 174. 8. Понтрягин Л. С. Непрерывные группы. М.: Наука, 1973. 519 с. 9. Яа!гтанн Л. 77. Торо1о8!са! р1ааез.— Адч.
Ма«Ь., 1967, чо1. 2, Х 1, р. 1— 60. 10. Скорняков Л. А. Дедекипдовы структуры с дополнениями и регулярные кольца. М.: Гостехиздат, 1961. 198 с. К РАБОТЕ ОБ УРАВНЕНИИ ДИФФУЗИИ А. О. Лолмогоров Постановка задачи принадлежит мне, как и интуитивный прогноа ожидаемых качественных результатов. Вместе с некоторыми другими моими работами, которые войдут во вторую книгу моих трудов, настоящая работа (№ 38) своим возникновением обязана моим длительным контактам с А. С.
Серебровским и группой его сотрудников Н. П. Дубининым, А. А. Малиновским и Д. Д. Ромашовым. Наиболее глубокие моменты в математическом решении проблемы принадлежат И. Г. Петровскому. Тогда же мной была намечена программа дальнейших исследований, из которой я здесь отмечу лишь следующие пункты: 1) исследование«фронта наступления» для рецессивного гена (такой фронт «расползается», неограниченно расширяясь); 2) исследование судьбы «островка», заполненного носителями, дающего преимущество гена(такой островок будет «растворяться», если он слишком мал, и будет неограниченно расти, если он достаточно велик).
В комментарии Г. И. Баренблатта сказано, как и кем эта программа к настоящему времени выполнена. В биологической литературе работа не вызвала особенно широкого отклика. Более актуальной она оказалась во многих разделах физики, о чем подробно рассказано в комментарии Г. И. Баренблатта. УРАВНЕНИЕ ДИФФУЗИИ (Г. Л, Бареннгаттпн) 1. Математическое содержание коммеатируемой работы № 38 (мы будем называть ее далее работа 1) кратко сводится к следующему.
Рассматривалось уравнение диффузии с нелинейной правой частью до дг — )од«о!дхг = Р (о), (1) где Р (о) — достаточно гладкая функция, определенная иа интервале 0 ( о ( 1 и такая, что Р(0) = Р(1) =0; Р(о)>0 при 0(о(1; Р'(0) = и>0, Г' (и) ( и при о > О, 7« = соп»1 > О. Было показано, что»то уравнение имеет Уравнение диффузии (Г. И.
Баренблатт) инвариантные решения типа бегущей волны е = у (х + Ьг + е), (2) удовлетворяющие условиям г (сс, с) = 1, и ( — сс, с) = 0 с любыми скоростя ми распространения Х, удовлетворяющими неравенству й ) Хв = 2[еейи. Константа с при непосредственном построении инвариантного относительно группы сдвига решения (2) остается неопределенной. Далее, было установлено, по решение задачи Коши для уравнения (1) с произвольными начальными данными, такими, что с(э, 0) ш 0 при э<а, 0<э(х, 0)<1 при а<з<Ь, э (э, 0) ш 1 при х > Ь, стремится при г - оа к решению вида (2), отвечающему Х = "ьв и некоторому единственным образом определяемому значению константы с.
Научное долголетие работы 1 связано с тем, что именно в этой работе впервые появилнсь математически законченная постановка и метод решения проблемы «промежуточной асимптотикиэ нелинейной задачи математической физики: инвариантного аснмптотического поведения решений, когда время стремится к бесконечности, но система еще не пришла в состояние равновесия. В самом деле, на промежуточво асимптотической стадии процесс продолжается, но зависимость от деталей начальных условий (распределения и(х, 0)) исчезает, поскольку процесс описывается иввариантным решением вида (2).
При атом система еще далека от состояния равновесия и(э, сс) = 1. Вслед за работой 1 в различных областях математической физики появилось изобилие иввариантных промежуточно асимптотвческих решений. Вся возникшая здесь громадная литература существенно опирается на идеи, впервые высказанные в работе 1.
Общность и внутренняя связь этих иввариаитных проыежуточных асимптотик выясннлась в основном в последнее время. 2. Идея промежуточно асимптотических режимов типа бегущей волны оказалась прежде всего очень плодотворной в математической теории горения, Спустя год после выхода работы 1 появилась статья Зельдовича и Франк-Каменецкого [1[ (болееподробное изложение было дано в [2[), где та же идея была применена для построения тепловой теории распространения пламени. В простейших предположениях эта задача также сводилась к построению решений типа бегущей волны для уравнения (1), ио в отличие от работы 1 здесь не выполнялось условие Р' (с) < Р' (0) при 0 < е < 1.
В работах [1, 2[ предполвгалось в соответствии с физикой задачи, что функция Р (г) — скорость химической реакции — быстро возрастает с ростом э вплоть до и, близких к единице, после чего спадает до нулевого значения при г = 1. Для получения решения типа бегущей волны в работах [1, 2[ было сделано дополнительное предположение о том, что Р (е) ш 0 при 0 < и < [) < 1. При таком предположении в отличие от работы 1 значение скорости распространения пламени — параметра Лв — определилось единственным образом.
Поэтому актуальный для работы 1 вопрос о выборе скорости распространения бегущей волны здесь не возникал. В связи с атим доказательство того, что и в таком предположении о Р (г) решение вида бегущей волны, соответствующее Х = Хв, действительно является асимптотикой при г сс решения задачи Коши было дано лишь много позже в работе [3[; оно существенно опиралось иа идеи и методы, развитые в работе 1. 418 Комментарии Такие докааательства важны и для самой теории горения: в более сложных задачах атой теории Ло определяется неодноаначно и выбор надлежащего значения становится нетривиальнмм.
Сравнительно недавно в математической теории горения удалось избавиться [4, 5] от сильного предположения о том, по функция Р (о) тождественно равна нулю на некотором интервале вблиаи а = О. Было покааано, что и при отказе от етого предположения промежуточная асимптотика решения аадачи Коши описывается решением (2) типа бегущей волны. Замечательно, что несмотря на то, что в задачах теории горения условие Е'(о) ( Р' (О) ве выполняется, оказалась справедливой основная формула рабаты 1: Ле = 24е )сЕ' (О). Это обстоятельство было сперва обнаружено численными расчетами, а аатем получило аналитическое объяснение [5]. К настоящему времени литература по математической теории горения насчитывает тысячи названий (большой, хотя и далеко не полный список литературы, можно найти в книге [6]).
Однако идея промежуточно асимптотических режимов типа бегущей волны с неизвестной заранее и определяемой в ходе решения скоростью распространения нашла применение и во многих других областях математической физики, помимо теории горения. Отметим среди иих знаввенитую проблему о распространении импульса возбуждения по нерву [7] и, в частности, ее электрохимическую модель [8]. Исследование последней модели, непосредственно опирающееся ва идеи работы 1, было дано в [9] Отметим также, что в последнее время были исследованы различнме процессы, включающие з себя аффекты распространения плазменных фронтов в электрических, электромагнитных, световых (лазерных) полях, так называемые волны распространенвя разрядов [10 — 13].
Эти процессы также приводят к рассмотрению решений типа бегущей волны с заранее неизвестной и определяемой в ходе решения задачи скоростью распространения. Их исследование полностью основано на идеях, впервые сформулированных в работе 1. 3. Исчезновение из промежуточной асимптотики параметров, характеризующих детали начального условия — линейных размеров и времен, и структура основного уравнения (1) обеспечили для рассмотренной в работе 1 задачи о распространении гена, имеющего преимущество в борьбе за существование, инвариантность промежуточного асимптотического режима относительно некоторой подгруппы группы преобразований сдвига.
Существует обширный класс задач, в котором промежуточные асимптотические режимы инвариантны относительно некоторой подгруппы группы преобразозапвй подобия и представляются так называемыми автомадельными решениямв. При исследовании таких задач идеи, высказанные впервые в рабате 1, также оказались фундаментальными. Действительно, перейдем в задаче, рассмотренной в работе 1, к новым независимым переменным $ = е", т = е ' н обозначим А = е '. Тогда решение вида бегущей волны (2) ааписывается в автомодельной форме о = У (1п $ — Л 1п т + с) = Б (5[Ать), (3) причем оказывается заранее неизвестным и подлежащим определению показатель степени Л.
Константа А при непосредственном построении автомодельиога решения не определяется, она находится сшиванием решения вида (3) с решением аадачи Коши, асимптотикой которого является автомодельное решение Уравнение диффузии (Г. И. Баренблатт) 419 (3). После появления работы 1 автомодельвые решения такого типа появились во многих областях, ови получили название автомодельиых решеиий второго рода.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
