Колмогоров А.Н. Уравнения турбулентного движения несжимаемой жидкости (1124030), страница 91
Текст из файла (страница 91)
Однако позже в статье [34[ было показано, что рассмотрение простой модели каскадного про- Турбулентность (А. М. Яглом) цесса последовательного «дроблевия» турбулевтвых возмущевий, учитывающей автомодельвость этого процесса, позволяет просто обосновать эту гипотезу (см. также [35[ и [5, $25.3[), В [34[ было показаво, что постоянная )г = 9)е, где 9)е — коэффициент в формуле (2) (см. № 58), входит и в формулу Е ()г)— )е г+", описывающую поведевие одвомервого спектра пульсаций скорости диссипации энергии е на значительном интервале звачеиий волнового числа )г, после чего данные иэмеревий спектра Е ()е) здесь были использовавы для получевия первой оценки Р = 0,4 эвачевия постояввой Р.
В дальвейшем попытки эксперимеятальво оценить значение )г предпринимались также мяогвми другими авторами: сначала большинство из этих попыток приводило к согласующемуся с результатом статьи [34[ выводу о том, что р = 0,4 †: 0,5 (см., вапример, [11, 36, 37[), во в самые последние годы ряд исследователей пришел к заключению, что, по-видимому, более ранние оценки )ь были все же завышенными и что более правдоподобной предствляется оценка Р = 0,2 (см., например, [38, 57[).
В целом ряде эксперимевтальвых работ (в частности, в [11, 35, 36, 39 — 43)) измерялись распределения вероятвостей величины е (точвее говоря, родствеввых ей величия еы~ = 15т (диг(длг)г и е, = 7,5т (диг/длг)г) или тех же величии, осредвеввых по некоторой области размера г, с целью проверки предположевия статьи № 58 о логиормальвости этих распределений. При этом во всех случаях было обнаружено, что соответствующая фувкция распределения хорошо согласуется с логарифмически вормальвой функцией распределения ва гпироком интервале умереввых значений аргумента, во ва охвостахь (т. е. при очень малых или очень болыпих значениях аргумевта) эмпирическое распределение вероятвостей все же отклоняется от логарифмически нормального.
Эти откловеввя, как оказалось, существенно влияют ва момевты высших порядков распределеввй вероятностей, так что высшие моменты е„уже ве могут быть аккуратно вычислены с помощью относящейся к логарифмически нормальному распределению формулы (9) (см. № 58). С этим фактом связано замечавие Мавдельброта [44[ о том, что иэ асимптотического приближения при Ве оо распределения всроятвостей е„к логарифмически вормальвому распределению вовсе еще ве следует, что моменты е, при больших эяачевиях Ве будут близки к моментам этого предельного распределения.
Позже Новиков [45) показал, что, постулируя только автомодельвость каскадвого процесса дроблеввя турбулентных вихрей, можно Уже полУчить фоРмУлУ вида еР~ 7зугз — (Иг)ну, где Рр — некотоРые постоянные, которые, однако, с ростом р ве ыогут возрастать быстрее, чем векоторая ливейвая функция р (т. е. должны возрастать заметво медлеввее, чем показатели степени Р = р (р — 3) Р/18, отвечающие логарифмически вор(о1 р мальвому распределевию вероятностей величины з,).
Объединив формулу Новикова с первой и второй гипотезами подобия А. Н. Колмогорова, приведенными к статье № 58, мы получим результат [д (г))Р = С (х, Г) (ге )Р7з (Ь(г) Р (4) обобщающий формулу (10) (см. № 58). Результаты измерений структурвмх функций скорости [Лоб (г)[Р различных порядков р (вплоть до р = 8, 9 или даже 12) в турбулевтвых течениях с большими значениями Ве описаны в работах (38, 46, 47[; согласно воен этим работам функции [Лоб (г) )» ва звачительвом интервале 430 Комментарии значений г = [ г [ неплохо аппроксимнруются степенными функциями вида шз-и„ агг о, где рр ) 0 при всех р (т. е.
[Аее (г))р возрастает с ростом г медленнее, чем предсказывает формула (1)), и при возрастании значения показателя степени р заачение р также увеличивается, причем рр — )«1«[ = (р (р — 3) р)/18 при сравнительно небольших значениях р, но при дальнейшем возрастании р значения рр уже явно отстают от значений )«~~>. Работа № 48 А. Н. Колмогорова стоит особняком среди всех других егш работ по механике турбулентности. Эта работа посвящена уже не исследования» одной лишь мелкомасштабвой структуры турбулентности,но попытке построить полную (разумеется, приближенную) систеыу уравнений турбулентного движения, пригодную для расчетов характеристик реальных течений, очень важных для многих областей современной науки и техаики.
Первые еще очень грубые методы расчета были предложены в промежутке между 1915 и 1935 гг. Прандтлем, Тейлором и Карманом; в их основу были положены строгие (во незамкнутые) уравнения Рейнольдса для средней скорости, которые затем искусственнэ замыкались с помощью гипотезы о коэффициенте турбулентной вязкости и привлечения понятия «пути перемешивания» для определения значений этого коэффициента (см., например, [48, $5.8)).
В самом конце 30-х и начале 40-х годов были предложены первые более совершенные модели замкнутых уравнений механики турбулентности, опирающиеся уже не только на уравнения Рейнольдса, но также и на динамические ураваения для каких-то вторых моментов пульсаций скорости и для некоторых других характеристик турбулентности. Одной нв саммх ранних таких систем уравнений была предложенная А. Н. Колмогоровым в работе № 48 система, включающая уравнения для средней скорости зм интенсивности турбулентности (т.
е. энергии пульсаций) Ь и «типичной частоты» ю »/ (или, что эквивалентно, масштаба турбулентности 5 = 5//ю). Уравнения А. Н. Колмогорова оказались достаточно удачными (т. е. хорошо описмвающимв данные измерений) и удобными для конкретных расчетов; см.
в этой свяам выполненные под руководством Колмогорова прикладные работы Монина [49) и Баренблатта [50, 51), в которых используется немного модифицированная форма этих уравнений. Поаже близкая система уравнений турбулентного движения была независимо предложена также Прандтлем [52); на этом основании замкнутые уравнения относительно переменных о;, Ь н Ь в аастоящее время в литературе часто называются уравнениями Колмогорова — Прандтля (см., например, [53, гл.
8[). В последующие годы замкнутые системы уравнений различной степени сложности, приближеапо описывающие турбулевтпыо точения яшдкостей н газов, получили очень широкое распространение и им посвящена огромная литература, представление о которой могут дать, например, книги [54„ 55[, а также гл. 5 книги [56) и гл. 8 и 9 книги [53). ЛИТЕРАТУРА 1.
Кеуао[йе О. Ов «[ге йуваш!са) 1[»еогу о[ гасошргезз! Ые ч1зсопз Ппгйз авй «Ье йе«егш1ва«[оп о1 1)«е сг1«ег1оп.— РЫ[оз. Тгавз. Воу. 8ос. Ьопйов, 1894, чо1. 186, р. 123 — 161. Рус. пер. в кнл Проблемы турбулентности. Мл ОНТИ, 1936, с. 185 — 227. 2. гыиллионщиное М. //. Вырождение однородной изотропной турбулентности в вязкой несжимаемой жидкости.— ДАН СССР, 1939, т.
22, № 5, с. 236— 240. Турбулентность (А. М. Яглом) 3. В!ейагйвои 5. Р. ЧЧеа!Ьег ргей)с!!оп Ьу ппшеНса1 ргосезв. СашЬПййе: Нп!ч. Ргезз, 1922. 236 р. Тотттий А. А. Ехрег!шеп!а! еч!йепсе 1ог !Ье !Ьеогу о1 !оса1 1во!гору.— Ргос. СашЬг!ййе РЫ1ов. Яос., 1948, чо1. 44, Х 4, р. 560 — 565. 5, Монин А. С., Яглом А. М. Статистическая гидромехавика. Мл Наука, 1967.
Ч. 2. 720 с. 6, Обухов А. М. Локальная структура атмосферной турбулектпости.— ДАН СССР, 1949, т. 67, № 4, с. 643 — 646. 7. Оойеейе К. Мезвппйеп йег а!шоврЬаг!всйеп ТпгЬп1епх ш ВойеппаЬе шК е1пег НКхйгайзпге!Ьойе.— Апп. Ьуйгобг,, 1935, Ы 10, р. 400 — 410. 8, Мои!и А. Я., Уау!от А. М. Б!аИв!!са1 1!п!й шесйап!св. СашЬг!69е (Мавв.): М1Т-Ргевв, 1975. Чо!. 2. 9, Яглом А .
М. Закокомеркости мелкомасштабвой турбулевтвости в атмосфере и океаве (К 40-летию теории локально изотропной турбулентности).— Изв. АН СССР. Физика атмосферы и океана, 1981, т. 17, № 12, с. 1235— 1257. 10. Апгота В. А., Сватвегв А. в., Яазуаргайагй В. В. Ко1гаойогоч совззап!в 1ог в!гпс!пге 1ппс!!опв 1а !пгЬп1еп! зЬеаг 1!охчз.— Опас!.
Х. Коу. Ме!еог. Бос., 1981, чо1. 107, Ы 453, р. 579 — 589. 11, Чаи Ае!а С. И'., Свеи Иг. у. Б!гас!псе!пас!!опв о! !пгЬп1епсе !п !Ье а!шоврЬепс Ьоппйагу 1ауег очег !Ье осеап.— !. Р!шй МесЬ., 1970, чо1. 44, р! 1, р. 145 †1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
