Колмогоров А.Н. Уравнения турбулентного движения несжимаемой жидкости (1124030), страница 94
Текст из файла (страница 94)
В многомерном случае докавана лишь вмпрямляемость большинства блиаких к трансляциям диффеоморфизмов торов [24). Метод А. Н. Колмогорова успешно применялся и для отыскания инвариантных торов в негамильтоновых системах (Боголюбов [41), Мозер [42)). Эти реэультаты особенно важны в теории потери устойчивости автоколебавий, так как бифуркация рождения тора иэ цикла (а также торов большей размерности иэ торов меньшей размерности) — одно ив типичных явлений на пути к астохастиэацииэ движения динамической системы (например, в теории гидродинамической устойчивости — ва пути от ламинарного течения к турбулентному). Применения методов Колмогорова в теории бифуркаций торов раэбираются Шенсине в [43).
9. ЧИСЛЕННЫЕ ЭКСПЕРИМЕНТЫ После появления теоремы А. Н. Колмогорова была предпринята большая серия вычислительных экспериментов по ее проверке, главной целью этих экспериментов был анализ максимальной величины возмущений, еще не раэрушаютцих колмогоровские торы, определение ыеры дополнительного к колмогоровским торам множества и исследование эргодических свойств движения по этому множеству [14, 44). Все вычисления подтверждают: 1) сохранение большинства торов при малых воэмущениях; 2) быстрый рост меры дополнительного множества, начиная с мо.мента перекрытия эон влияния соседних реэонансов (до этого момента мера .дополнительного множества столь мала, что систему трудно отличить от интегрируемой); 3) стохастический характер движения в дополнительных к торам областях, а именно экспонеицнальное расхождение соседних траекторий.
Грин и Персиваль [45) исследовали численно границу аналитичности колмогоровских торов (при комплексных аначевиях угловых переменных) и обнаружили связь этой границы с эргодическими свойствами системы в комплексной области и с асимптотикой близких периодических движений. Величина возмущений, при которых сохраняются колмогоровские торы, шо данным численных экспериментов оказывается совсем не столь малой, как Няассическая механика (В. Н.
Арно*ьд) гарантируемые строгими доказательствами оценки втой величины сверху. Хорошее согласие с эксперимевтальнымн данными дает критерий перекрыти~ резонансов [14, 44[. 10. ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНАЯ НЕУСТОЙЧИВОСТЬ Системы с устойчивой транаитнвностью и перемешиванием на поверхностях уровня энергии, которые А. Н. Колмогоров обсуждает в конце 1 3 доклада в Амстердаме (работа № 53), действительно существуют: Свнай и Аносов докааали„ что геодеаические потоки ва компактных многообразиях отрицательной (по.
каждому двумерному направлению) кривизны обладают этими свойствами (а также другими стохастическими свойствами, вплоть до установленной Орнстейном и Вейсом метрической изоморфвости «системе Бернуллиз, индуцнруемой бросанием монеты) [46 — 48). Более того, эти свойства сохраняются при малом возмущении не тольков классе гамильтоиовых систем, во также и в классе.
общих динамических систем г. Сохраняется при возмущениях и типологическое строение системы: несмотря на всюду плотное множество долгопериодических траекторий и ва всюду плотность почти всякой траектории, малое возмущению задающего систему векторного поля оставляет ее гомеоморфной себе (гипотеза Смейла, докааанная Аносовым [49[). Открытие систем такого рода сделало эргодическую теорию классических динамических систем остро актуальной не только для гамильтоновой механики, но и для анализа явлений в системах с диссипацией энергии, которые, как окааалось, тоже способнм обнаруживать устойчиво стохастическое поведение Примером таких систем являются, между прочим, гидродинамические системы. (в которых, правда, ситуация осложняется бесковечномерностью фазового пространства).
А. Н. Колмогоров уже в 1958 — 1959 гг. посвятил свой семинар «Избранные вопросы анализа« [50[ объединению концепций аргоднческой теории классических динамических систем, с одной стороны, и теории гидродинамической неустойчивости — с другой. Программа семинара, вывешенная на доске объявлений механико-математического факультета Московского университета, предусматривала впаляя с точки зрения эргодической теории «хотя бы сколь угодно идеалиаированных моделей гидродинамической иеустойчивостиз. Здесь вмелась в виду прежде всего ыодель Ландау воаниквовения турбулентности путем последовательных бифуркации от ламвнарного течения к периодическому и условно периодическим движениям по торам, размерности которых растут с числом Рейнольдса Предпочтение именно торов с условно периодическими движениями другим динамическим системам А.
Н. Колмогоров связывал с тем, что системы с перемешивавием (вроде геодеаических потоков на многообразиях отрицательной кривианы) не были известны Ландау (см. $3 доклада в Амстердаме). При обсуж денни модели Ландау А. Н. Колмогоров подчеркивал, что устанавливающийсв г С инвариавтной гладкой ыерой. У системы с экспоненциальной неустойчивостью может не быть гладкой инвариавтной меры, а эргодических негладких мер, вообще говоря, много. В случае дискретного времени среди всех этих мер выделяется одна «гиббсовская мера максимальной энтропии».
Обвор вопроси об инвариантных мерах см. в [61). 440 Л'»ммеитарии после потери устойчивости режим движения может возникать «в стороне» от бифурцнрующего «ламинарного» движения и еще до того, как оно потеряет устойчивость (так что переход к сложному, «турбулентному» движению может происходить скачком, путем «жесткой», а ие «мягкой» потери устойчивости). Это открывает возможность для появления движений, не связанных с торами; уже в те годы А.
Н. Колмогоров предсказывал также возможность притягивающих множеств (как теперь говорят, аттракторов), не являющихся многообраэиями, а представляющих патологии на теоретико-множественном уровне (численные эксперименты Лоренца (51) появились лишь через несколько лет и, к сожалению, не сраау сделались известными математикам).
Впрочем, наряду с конечномерными аттракторами А. Н. Колмогоров выдвигал и модель с аттрактором в виде бесконечномерного тора, появляющегося после бесконечного числа бифуркаций в духе модели Ландау — спектр с бесконечным баэисом частот в эксперименте воспринимается как сплошной, а движение — как перемешивающее, турбулентное. Смелая гипотеза Смейла (1961) о структурной устойчивости диссипативных систем с экспоненциальным раэбеганием траекторий явилась в атой области полной неожиданностью, а ее докаэательство (49) в 1962 г.— сильным доводом в пользу выбора модели с конечномерным притягивающим множеством.
С тех пор этим вопросам было посвящено очень много работ (Юдович, Ладыженская, Малле-Паре, Фояш и др.). Сегодня конечномерность аттрактора при любом числе Рейнольдса доказана в двумерной гидродинамике (сперва Ильяшенко оценил размерность аттрактора сверху четвертой степенью числа Рейнольдса для модели А. Н. Колмогорова (см. (60)) гидродинамики на двумерном торе, .а затем Вишик и Бабин — червертой степенью числа Рейиольдса длягидродинамики на двумерном компактном многообразии с краем).
Для трехмерного же случая вопрос о том, остается ли аттрактор конечномерным при любом числе Рейнольдса, остаетсн открытым. 11. ОБМЕН, ЗАХВАТ И ССЦИЛЛЯЦИЯ Вопрос о финальных движениях в аадаче трех тел, обсуждаемый в конце 9 4 доклада в Амстердаме, был подробно исследован позже учениками А. Н. Колмогорова Ситниковым и Алексеевым. Ситников (52) первым построил осциллирующие движения, т. е. подобрал начальные условия так, что одно из тел временами уходит сколь угодно далеко от двух других, остающихся на конечном расстоянии друг от друга, а временами воавращается к ним. В его примере осцилляция происходит как при т — со, так и при е + оо.
Алексеев (23, 53) с помощью построенной им теорик квазислучайных динамических систем нашел движения всех типов, существование которых оставалось еще сомнительным после работ Шмидта и Ситникова (и отрицалось Шази): пришедшее недалека тело может быть захвачено двойной системой так, по »»браэуется тройная система (хотя вероятность атого и нуль), а может начать «»сциллировать, временно уходя сколь угодно далеко от двух других. Осцилляции при е + ос могут возбудиться и в такой системе, которая при т — оо Классическая механика (В.
Н. Арнольд) остается ограниченной. Нерешенными остались лишь вопросы о мере множества иачальвмх условий, приводящих к осцилляциям (предположительво оиа положительна). 12. СПЕКТРАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА Гипотеза А. Н. Колмогорова (4 5 доклада в Амстердаме) об устойчивости непрерывного (а именно счетвократкого лебеговского) спектра докааава Сипаем и Аиосовым [46, 47[. Гипотеза о преимуществеввой типичности дискретного спектра с кояечвым числом независимых частот (ие превосходящим размерности фазового пространства) и счетвократвого лебеговского спектра ве опровергиута для аналитических систем. Однако в бесковечво дифферевцируемом случае Аносов и Каток [54[построили диффеоморфизмы с гладкой иввариаитвой мерой (вапример, яа круге), имеющие: а) дискретный спектр с любым наперед задавяым (ковечвым или бесконечным) числом базисиых частот; б) простой иепрерыввмй сиигуляряый спектр при отсутствии перемешивавия; в) комбинацию того и другого.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
